Metode Numerik RETINA DAN ANALISIS BIDANG FASE

33 adalah parameter dari model. adalah nilai besarnya suatu stimulus yang diberikan. Sedangkan konstanta adalah nilai arus ion natrium, adalah nilai arus ion kalium dan adalah nilai arus eksternal yang masuk ke dalam membran untuk menentukan seberapa cepat perubahan dibandingkan . Berdasarkan penelitian Fitzhugh 1961, batasan untuk parameternya adalah Telah diketahui bahwa sistem persamaan diferensial linear memiliki bentuk: , 3.3 . 3.4 Dengan mempertimbangkan persamaan diferensial seperti yang terdapat di model FN, andaikan jika diperoleh persamaan diferensial yang berbentuk seperti berikut: , 3.5 . 3.6 Disini f dan g merupakan fungsi dari x dan y. Akan disketsakan titik keseimbangan atau perpotongan nullclines antara x dan y, dengan memberikan nilai awal dan Jika titik keseimbangan keduanya tidak berpotongan maka sistem tersebut tidak memiliki solusi berhingga atau dengan kata lain solusi sistem tersebut tidak ada. Jika berpotongan di satu titik maka sistem tersebut memiliki satu solusi. Sistem linear biasanya memiliki satu solusi, 34 tetapi sistem nonlinear dapat memiliki lebih dari satu nilai solusi. Hal tersebut sangat penting untuk diketahui dalam memahami lintasan yang terdapat di sistem nonlinear. Suatu medan vektor dan lintasan memberikan kondisi awal yang dapat dihitung pada sistem nonlinear sama seperti menghitung dalam sistem linear. Sebelumnya telah dipelajari mengenai cara membedakan titik tetap, menggunakan pengetahuan tersebut akan diasumsikan bahwa fungsi dan memiliki Ekspansi Taylor seperti berikut : , 3.7 . 3.8 Saat mendekati titik tetap, bentuk akan mendekati nol karena dan begitu juga , jadi : , 3.9 . 3.10 Substitusi persamaan 3.9 dan 3.10 ke dalam persamaan 3.5 dan 3.6 diperoleh: , 3.11 . 3.12 Sistem tersebut ditunjukkan dengan persamaan matriks: 35 [ ] [ ] [ ] Jika dimisalkan : [ ] dan [ ] maka persamaan 3.14 dapat ditulis sebagai | . 3.15 Matriks J disebut sebagai matriks Jacobi. Matriks ini sangat penting dalam kalkulus multivariabel yang ada di matematika. Persamaan 3.15 mengatakan bahwa aproksimasi orde satu pada sistem nonlinear dalam persamaan 3.5 dan 3.6 dapat diaproksimasi menggunakan sistem linear yang ada di persamaan 3.15. Nilai eigen pada matriks Jacobi evaluasi pada titik tetap diperlukan untuk mengklasifikasikan titik tetap sebagai sadle point titik pelana, spiral sink, dan lainnya. Persamaan 3.15 adalah suatu aproksimasi untuk sistem nonlinear. Suatu teorema mengatakan bahwa ketika dinamika titik tetap pada sistem linear dalam persamaan 3.12 adalah titik tetap generic, maka titik tetap dalam persamaan 3.1 dan 3.2 juga memiliki dinamika yang sama. Jika sistem linear memiliki titik tetap nongeneric sebagai suatu pusat, maka tidak ada penyelesaian yang dapat digambarkan dari dinamika titik tetap pada sistem nonlinear. Informasi tentang dinamika titik tetap hanya digunakan untuk kitaran terbatas yang berpusat 36 di sekitar titik tetap. Sebagai contoh, spiral, dapat bergerak spiral menuju ke tak hingga atau bergerak spiral mendekati orbit lingkaran.

3.2 Sistem Nonlinear Model Fitzhugh-Nagumo

Telah diketahui sebelumnya bahwa model FN berbentuk nonlinear, model FN juga sangat rumit jika ingin dicari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan menggunakan metode Euler dan nilai awal tertentu akan ditunjukkan kestabilan model ini. Berikut hasil dari penggunaan metode Euler dengan nilai awal untuk persamaan 3.1 dan 3.2 yang ditentukan sebagai berikut yaitu, lihat Gambar 3.1. Matlab akan memperlihatkan kestabilan model FN ini menuju ke nilai berapa untuk , dengan melihat pada command windows seperti berikut: Gambar 3.1. Nilai untuk v dan r saat I=0 Model FN dengan nilai awal tertentu ini stabil menuju dan , tetapi dalam bentuk programnya model FN ini akan terlihat kestabilannya atau gambar grafik terlihat mulus menuju titik tersebut ketika diambil nilai batas minimal dan panjang langkah , Gambar 3.2. Diambil nilai maksimal untuk demikian agar grafik pada program terlihat mulus, karena ingat kembali bahwa untuk metode Euler jika langkahnya semakin