21
dijelaskan sebelumnya, setiap model atau persamaan harus dibentuk dalam matriks untuk memperoleh nilai eigen.
Dalam kasus persamaan diferensial tingkat homogen yang berbentuk
seperti berikut:
Substitusi Sehingga diperoleh
, jadi memiliki
buah akar yaitu Nilai eigen ada tiga macam, nilai eigen real sama, nilai eigen real beda,
nilai eigen kompleks. Berikut penjelasannya:
2.5.1 Nilai Eigen Real sama
Jika maka penyelesaian umumnya
adalah:
2.5.2 Nilai Eigen Real beda
Jika maka penyelesaian umumnya
adalah:
22
2.5.3 Nilai Eigen Kompleks
Jika sampai
adalah nilai eigen berupa bilangan kompleks, maka vektor eigen
juga berisi bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor
eigen yang terdiri dari bilangan kompleks tersebut pasti memiliki pasangan konjugat yaitu
� ̅̅̅ sampai �
̅̅̅ dan ̅ Sehingga penyelesaian
umumnya adalah: ̅
̅̅̅̅
̅
̅̅̅̅
atau dapat juga ditulis sebagai, .
2.6 Bidang Fase
Bidang fase secara matematika merupakan grafik hubungan antara fungsi dan . Banyak sistem yang rumit tidak bisa langsung dicari penyelesaiannya
secara detail, sistem rumit tersebut seperti model Fitzhugh-Nagumo hanya dapat diselesaikan secara kualitatif. Artinya hanya dapat diselesaikan menggunakan
analisis pada bidang fase. Ketika ingin menggambarkan sistem secara kualitatif, perlu dicari terlebih dahulu nilai titik tetap dari solusi dan juga mengklasifikasikan
dinamika dari solusi yang menyebabkan nilai titik tetap ini. Oleh karena itu misal diberikan suatu sistem, sistem ini akan dijelaskan
kembali secara detail dalam bab 4. ,
2.1
23
. 2.2
dengan nilai eigen -1 dan 3 sehingga solusi umumnya: ,
2.3 .
2.4 Titik tetap dari sistem ini adalah
yang diperoleh dari dan
. Solusi ini dapat dinyatakan secara kualitatif, jika ditunggu cukup lama maka sistem ini akan mendekati salah satu dari dua keadaan. Jika
maka . Oleh karena itu dikatakan bahwa
adalah kondisi yang menyebabkan model ini stabil. Jika maka
oleh karena itu satu-satunya solusi yang stabil dan terbatas untuk sistem ini adalah
. Tidak ada nilai kestabilan lain untuk sistem ini, karena kondisi awal yang mengarah pada
akan memiliki solusi yang cenderung menuju titik tetap
, sementara yang lain menuju infinity atau menjauhinya. Titik tetap dengan kondisi seperti ini, yaitu dengan
beberapa kondisi awal menuju ke titik tetap dan yang lain menjauhinya disebut saddle point titik pelana.
Hal seperti di atas dapat digambarkan menggunakan pplane8. Pplane8
adalah suatu program yang dibuat oleh Dr. John C. Polking dari Universitas Rice.
Program pplane8 dapat di-download di website http:math.rice.edu~dfield.
Setelah di-download program dapat dijalankan, lalu hal pertama yang dilakukan cukup mengganti persamaan diferensial yang ada dengan persamaan 2.1 dan
2.2 lalu biarkan yang lain tetap, lihat Gambar 2.1 lalu klik proceed. Perlu
24
diketahui sebelumnya bahwa setiap solusi yang digambarkan pada bidang fase disebut trajectory atau lintasan. Lalu akan muncul Gambar 2.2, untuk melihat
lebih jelas arah lintasannya, klik saja sebarang titik pada vektor field tersebut dan juga klik solutions menu lalu plih show nullclines. Dalam gambar tersebut
nullclines ditunjukkan sebagai garis yang berwarna kuning dan ungu. Terlihat pula kedua nullclines tersebut berpotongan tepat di titik 0,0 yang berarti titik
tersebut adalah titik tetap dari sistem seperti dugaan awal sebelumnya pada persamaan 2.3 dan 2.4. Hal yang terjadi pada Gambar 2.2 menunjukkan
benar bahwa arah lintasan atau solusi dari sistem ini adalah saddle point, artinya seiring bertambahnya waktu solusi sistem ini akan mendekati titik tetap 0,0
tetapi kemudian berbalik menjauhinya atau menuju infinity. Dapat ditarik kesimpulan bahwa setiap sistem linear pada persamaan diferensial biasa yang
dinyatakan mengunakan matriks dengan nilai eigen real berbeda tanda akan menghasilkan saddle point pada perpotongan nullclinesnya.
Gambar 2.1. Program pplane8 untuk sistem pada persamaan 2.1 dan 2.2
