E. Diagnosis Kesulitan Belajar
Adapun definisi diagnosis kesulitan belajar menurut Entang 1984 adalah salah satu upaya untuk menemukan kesulitan yang dialami siswa dalam
belajar dengan cara yang sistematis berdasarkan gejala-gejala yang nampak. Dan melalui diagnosis tersebut dapat menemukan faktor penyebabnya, baik
yang mungkin terletak pada diri siswa atau berasal dari luar siswa. Dengan kata lain, diagnosis kesulitan belajar merupakan segala usaha yang dilakukan
untuk memahami dan menetapkan jenis-jenis kesulitan belajar yang dialami siswa. Salah satu cara untuk memahami dan menetapkan jenis-jenis kesulitan
belajar yang dialami siswa adalah dengan berdasarkan kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa saat mengerjakan soal matematika. Hal ini sesuai
dengan yang diungkapkan Mulyono Abdurrahman 2012: 213 yaitu agar dapat membantu anak yang mengalami kesulitan belajar dalam matematika,
guru perlu mengenal berbagai kesalahan umum yang dilakukan oleh anak dalam menyelesaikan soal matematika. Selain itu, menurut Mc Loughlin dan
Lewis dalam Wahyuni, 2011 diagnosis kesulitan belajar siswa dalam pelajaran matematika sangat cocok dengan analisis kesalahan, karena respon
siswa dalam pelajaran matematika sebagian besar diberikan melalui jawaban tertulis. Hal tersebut juga didukung oleh pendapat Davis, dkk dalam
Wahyuni, 2011 yang menyatakan bahwa kesalahan siswa dalam banyak topik matematika merupakan sumber utama untuk mengetahui kesulitan siswa
dalam memahami matematika. Oleh karena itu, jenis-jenis kesulitan yang
dihadapi siswa didasarkan pada kesalahan-kesalahan yang dilakukan siswa ketika mengerjakan soal pada tes diagnostik yang diberikan.
F. Kesalahan
Dalam matematika, kesalahan dapat diartikan sebagai pemahaman yang tidak tepat dalam mempelajari atau menyelesaikan suatu masalah
sehingga terjadi kekeliruan. Akibat dari kekeliruan tersebut dapat dilihat sebagai kesulitan yang dialami siswa. Menurut kamus besar bahasa Indonesia
KBBI, kesalahan secara umum dipandang sebagai hasil tindakan yang kurang tepat, yang menyimpang dari aturan, norma atau suatu system yang
sudah ditentukan. Berdasarkan penjelasan sebelumnya, jenis-jenis kesulitan belajar yang dialami siswa didasarkan pada kesalahan-kesalahan yang
dilakukan siswa ketika mengerjakan soal-soal pada tes yang diberikan. Beberapa kekeliruan umum tersebut menurut Lerner dalam Mulyono
Abdurrahman 2012: 213 adalah kekurangan pemahaman tentang:
1. Simbol
Pada umumnya dipelajaran matematika siswa tidak terlalu banyak mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal jika kepada
siswa disajikan soal-soal seperti berikut ini:
tetapi siswa akan mengalami kesulitan jika model soal yang diberikan seperti berikut:
Kesulitan seperti ini umumnya terjadi karena siswa tidak memahami simbol-simbol seperti sama dengan =, tidak sama dengan
, tambah +, kurang -, kurang dari sama dengan , lebih dari sama dengan , dan sebagainya. Pada materi program linear, ini terjadi
ketika siswa hendak mengubah kalimat verbal ke dalam model matematika. Dengan kata lain, terjadi kesalahan ketika siswa akan
membuat apa yang diketahui dan ditanyakan, serta dalam membuat model matematika yang melibatkan siswa untuk membuat tanda
pertidaksamaan. Seringkali siswa kesulitan mengartikan kata tidak lebih dari
, hanya , menyediakan sebanyak
, paling sedikit , paling banyak
, dan kata-kata lainnya untuk diubah ke simbol matematika.
Contoh 1.1 : Sebuah tempat parkir dapat ditempati tidak lebih dari 250
kendaraan yang terdiri dari sedan dan bus. Jika luas rata- rata sedan 6 m
2
dan bus 20 m
2
, sedangkan luas tempat parkir hanya 2.700 m
2
. Tentukan model matematikanya Kesalahan yang dilakukan siswa pada tahap ini adalah siswa
kesulitan mengubah kalimat verbal yaitu kata „terdiri dari‟ dan „hanya‟ ke dalam simbol matematika. Kesulitan siswa membuat siswa keliru
dalam menyelesaikan soal tersebut. Penyelesaian yang seharusnya diperoleh adalah:
x + y 250
6x + 20y 2700 x
y Akan tetapi kesalahan yang mungkin dilakukan siswa dalam
menyelesaikan soal tersebut adalah siswa menuliskan: x
+ y 250 atau
6x + 20y 2700 Pada bagian ini siswa sering melakukan kesalahan karena tidak
memahami maksud soal untuk mengubah kalimat verbal ke model matematika.
2. Nilai Tempat
Ada siswa yang belum memahami nilai tempat seperti satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya. Ketidakpahaman terhadap nilai tempat
banyak diperlihatkan oleh siswa yang mengalami kekeliruan karena lupa cara menghitung persoalan pengurangan atau penjumlahan tersusun ke
bawah. Oleh karena itu, kepada siswa tidak hanya cukup diajak memahami nilai tempat tetapi juga diberi latihan yang cukup. Nilai
tempat dapat diartikan sebagai nilai suatu angka dalam suatu bilangan tertentu.
Sesuai dengan kekeliruan pada tahap ini, jika dilihat pada materi program linear, kesalahan nilai tempat terjadi saat siswa hendak
membuat fungsi objektif dari soal yang diberikan. Fungsi objektif adalah fungsi linear yang digunakan untuk menghitung nilai optimum. Fungsi
objektif dibuat berdasarkan apa yang ditanyakan. Misalnya soal menanyakan tentang keuntungan yang diperoleh, maka fungsi objektif
yang digunakan adalah keuntungan dari masing-masing barang yang ditawarkan. Akan tetapi ada siswa yang membuat fungsi objektif dari
jumlah barang yang diperlukan maupun yang dibeli.
Contoh 2.1 : Mima membeli es krim jenis I dengan harga Rp 500,00 per
buah dan es krim jenis II dengan harga Rp 400,00 per buah. Lemari es khusus penyimpanan es krim tersebut yang
dipunyai mima dapat memuat es krim tidak lebih dari 300 buah dan uang yang dipunyai mima hanya Rp 140.0000,00.
Jika es krim yang dijual kembali dengan mengambil untung masing-masing jenis Rp 100,00 dan es krim terjual semua.
Berapa keuntungan maksimal yang diperoleh mima? Penyelesaian yang seharusnya diperoleh adalah:
500x + 400y 140000, x + y 300
x 0 y 0
fungsi objektifnya z = 100x + 100y
Pada bagian ini, kemungkinan kesalahan yang dilakukan siswa adalah dalam membuat fungsi objektif siswa tidak membuat
sesuai dengan keuntungan yang diperoleh, tetapi berdasarkan harga pembelian ditambah dengan untung, misalnya z = 600x + 500y. Hal
ini jelas tidak sesuai dengan apa yang ditanyakan. Kekeliruan nilai tempat pada materi program linear bukan dilihat dari nilai satuan,
puluhan, ratusan, dan seterusnya. Akan tetapi nilai tempat yang dimaksud dalam materi program linear adalah dalam membuat
fungsi objektif sesuai dengan apa yang ditanyakan.
3. Perhitungan
Ada siswa yang belum mengenal dengan baik konsep perkalian tetapi mencoba menghafal perkalian. Hal ini dapat menimbulkan
kekeliruan jika hafalannya salah. Pada materi program linear, kekeliruan ini terjadi saat siswa hendak menentukan titik potong dari persamaan
garis yang diketahui. Siswa salah dalam melakukan perhitungan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Sehingga mengakibatkan
siswa salah dalam menemukan titik potong dari kedua garis tersebut. Kesalahan perhitungan tidak hanya terjadi saat siswa menentukan titik
potong kedua garis, tetapi kesalahan ini terjadi setiap kali siswa melakukan perhitungan. Dengan kata lain siswa melakukan kesalahan
dalam proses aljabar.
4. Penggunaan Proses yang Keliru
Kekeliruan dalam penggunaan proses penghitungan dapat dilihat pada contoh berikut ini:
a. Mempertukarkan simbol-simbol.
Contoh 4.1 : 6
12 2
5 8
17 b.
Jumlah satuan dan puluhan ditulis tanpa memperhatikan nilai tempat.
c. Semua digit ditambahkan bersama algoritma yang keliru dan tidak
memperhatikan nilai tempat. d.
Digit ditambahkan dari kiri ke kanan dan tidak memperhatikan nilai tempat.
e. Dalam menjumlahkan digabungkan dengan satuan.
Pada materi program linear, kesalahan berikut dapat dilihat ketika siswa hendak menggambar grafik untuk menentukan daerah
penyelesaian dan titik optimum. Sebelum membuat grafik, siswa terlebih dahulu membuat model matematika yang akan diselesaikannya.
Kemudian mencari titik potong yang diperlukan untuk menggambar grafik. Pada bagian ini, penggunaan proses yang keliru saat siswa salah
meletakkan nilai x dan y pada grafik. Seringkali siswa keliru membuat titik potongnya. Dalam arti ini siswa lupa bahwa untuk membuat sebuah
titik dimulai dari titik x kemudian titik y.
x -
Contoh 4.2: Diketahui
dan maka x,y = 3,2. Namun
kadang masih ada siswa yang keliru menuliskannya. Kesalahan yang dilakukan siswa pada proses yang keliru juga termasuk dalam kesalahan
siswa memanipulasi langkah-langkah dan kesalahan dalam menggambar grafik.
5. Tulisan yang Tidak Terbaca
Ada siswa yang tidak dapat membaca tulisannya sendiri karena bentuk-bentuk hurufnya tidak tepat atau tidak lurus mengikuti garis.
Akibatnya, siswa banyak mengalami kekeliruan karena tidak mampu lagi membaca tulisannya sendiri. Pada materi program linear, hal ini terjadi saat
siswa tidak dapat membaca tulisannya sendiri karena bentuk-bentuk hurufnya tidak tepat, akibatnya terjadi kekeliruan. Akan tetapi hal ini sangat jarang
terjadi pada siswa dalam menyelesaikan soal matematika materi program linear. Namun ini bisa terjadi ketika siswa diminta mengulang untuk membaca
grafik yang telah mereka gambar. Hal ini disebabkan karena ketika menggambar daerah penyelesaian siswa mengarsir lebih tebal dari tulisan
angka yang mereka tulis, sehingga angka yang tadi menjadi kurang kelihatan. Atau dalam hal lain misalnya menuliskan angka 4 atau 9, siswa juga kadang
lupa apalagi jika ditulis dengan buru-buru. Sehingga dalam langkah berikutnya ada kemungkinan siswa salah dalam melakukan perhitungan.
Dengan kata lain, siswa melakukan kesalahan memasukkan data grafik ke
dalam bentuk objektif yang disebabkan karena ketidaktelitian dalam melihat hasil coretan atau hasil tulisan sebelumnya.
G. Materi Program Linear
Program linear adalah suatu cara untuk menyelesaikan masalah persoalan dengan menggunakan model matematika yang dirumuskan dalam
bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear. Beberapa hal yang dibahas dalam materi Program Linear yang diambil dari Modul Matematika
Teknologi, Kesehatan, dan pertanian untuk SMK Kelas X serta Matematika 1 Untuk SMKMAK Kelas X Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran, dan
Akuntansi adalah: 1.
Menentukan Daerah Penyelesaian
Daerah penyelesaian adalah daerah yang dibatasi oleh garis yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear.
Berikut ini langkah-langkah
mencari daerah penyelesaian: a.
Gambar garis batas pertidaksamaan, yakni garis ax+by=c b.
Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu.
Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0 diapit titik x,0 Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0 diapit titik 0,y
c. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik x,0
dengan titik 0,y. Jika pertidaksamaan memuat atau , gambarkan grafik tersebut dengan garis putus-putus
d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penyelesaian
pertidaksamaan e.
Berikanlah arsiran pada daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan
Contoh 1.1:
Diketahui sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut
Jawab:
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan . Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut, yaitu
garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus.
Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas, yaitu:
Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 3,0
Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,9 Dengan menggunakan titik 3,0 dan 0,9, dilakukan pengecekan
untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan maka Ambil O 0,0 dan substitusi ke
salah Karena
salah maka arsiran dibuat menjauhi nol, sehingga diperoleh daerah penyelesaiannya berada di atas garis
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan . Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut, yaitu
garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus.
Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas, yaitu:
Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 9,0
Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,9 Dengan menggunakan titik 9,0 dan 0,9, dilakukan pengecekan
untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan maka: Ambil O 0,0 dan substitusi ke
benar Karena
salah maka arsiran yang dibuat menjauhi nol, sehingga diperoleh daerah penyelesaiannya berada di atas garis
Untuk , berarti sama dengan sumbu-y, karena
maka daerah penyelesaiannya di sebelah kanan sumbu-y
Untuk , berarti sama dengan sumbu-x, karena
maka daerah penyelesaiannya di sebelah atas dari sumbu-x
Dengan menghubungkan keempat daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang diketahui, maka diperoleh daerah penyelesaian
seperti pada Gambar 2.1 berikut:
Gambar 2.1 Daerah Penyelesaian contoh 1.1
2.
Menentukan Titik Penyelesaian Contoh 2.1:
Tentukan titik-titik penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut:
Jawab:
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut,
yaitu garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus. Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas,
yaitu: y
x 9
3 9
DP
Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 6,0 Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
2 2
, jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,4 Dengan menggunakan titik 6,0 dan 0,4 dan dilakukan pengecekan
untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan maka: Ambil O 0,0 dan substitusi ke
benar Karena
benar maka arsiran yang dibuat pada garis mendekati nol, sehingga diperoleh daerah penyelesaiannya berada di bawah garis
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut, yaitu
garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus.
Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas, yaitu:
Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 4,0 Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
2 , jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,8
Dengan menggunakan titik 4,0 dan 0,8 dan dilakukan pengecekan untuk mendapatkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
maka: Ambil O 0,0 dan substitusi ke
benar Karena
benar maka arsiran yang dibuat mendekati nol, sehingga diperoleh daerah penyelesaiannya berada di bawah garis
Untuk , berarti sama dengan sumbu-y, karena
maka daerah penyelesaiannya di sebelah kanan sumbu-y
Untuk , berarti sama dengan sumbu-x, karena
maka daerah penyelesaiannya di sebelah atas dari sumbu-x
Dengan menghubungkan keempat daerah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang diketahui, maka diperoleh daerah penyelesaian
seperti pada Gambar 2.2 berikut:
Gambar 2.2 Daerah Penyelesaian Nomor 2
Berdasarkan gambar di atas dapat diketahui titik-titik penyelesaian, yaitu 0,0; 0,4; 4,0 serta perpotongan garis i dan garis ii. Untuk
memperoleh titik perpotongan dari kedua garis tersebut, maka dilakukan metode eliminasi dan substitusi, yaitu:
, sehingga
Jadi, titik potong dari garis i dan garis ii adalah 3,2 y
x 4
8
6 4
DP i
ii
Sehingga diperoleh titik penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah 0,0; 0,4; 4,0; dan 3,2
3.
Menentukan Model Matematika
Model matematika adalah suatu bentuk interpretasi dalam menterjemahkan atau merumuskan persoalan-persoalan yang ada ke
bentuk matematika sehingga dapat diselesaikan. Pada umumnya model matematika digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam soal cerita
kebentuk matematika.
Contoh 3.1:
Sebuah mesin A menghasilkan 120 unit barang per jam dan mesin B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari kedua mesin
tersebut memproduksi tidak lebih dari 3.300 unit barang. Jumlah jam kerja kedua mesin tersebut dalam 1 hari tidak lebih dari 25 jam. Buatlah model
matematikanya
Jawab:
Misal: x = banyaknya jam kerja mesin A y
= banyaknya jam kerja mesin B Maka model matematikanya:
Contoh 3.2:
Mima membeli es krim jenis I dengan harga Rp 500,00 perbuah dan es krim jenis II dengan harga Rp 400,00 perbuah. Lemari es yang dimiliki
Mima dapat memuat es krim tidak lebih dari 300 buah dan uang yang dimiliki Mima hanya Rp 140.000,00. Kemudian, Mima berinisiatif untuk
menjual es krim tersebut. Es krim dijual kembali dengan mengambil untung masing-masing jenis Rp 100,00. Tentukan model matematikanya
Jawab:
Misal: x = banyaknya es krim jenis 1 y
= banyaknya es krim jenis 2 Maka model matematika:
Dengan fungsi objektif:
4.
Menentukan Nilai Optimum dari Pertidaksamaan yang Telah Diketahui
Contoh 4.1:
Tentukan nilai maksimum untuk fungsi objektif yang
memenuhi pertidaksamaan:
Jawab
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut,
yaitu garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus. Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas,
yaitu: Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
, jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 10,0 Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
2 2
, jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,20
Untuk menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan Gambarlah garis batas daerah penyelesaian tersebut,
yaitu garis . Karena tanda yang digunakan adalah
maka garis dibuat tidak putus-putus.
Kemudian tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis batas, yaitu:
Titik potong dengan sumbu-x, syarat y = 0 maka diperoleh:
12 jadi titik potong dengan sumbu-x adalah 12,0 Titik potong dengan sumbu-y, syarat x = 0 maka diperoleh:
4 , jadi titik potong dengan sumbu-y adalah 0,8
Menentukan titik potong antar dua garis:
Sehingga, jika y = 8 di substitusi ke persamaan, diperoleh:
Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 6,8
x2 x1
Grafik daerah penyelesaian:
Gambar 2.3 Daerah Penyelesaian Nomor 3
Berdasarkan daerah penyelesaian tersebut, diperoleh titik-titik penyelesaiannya adalah: 0,16; 0,20 dan 6,8
Nilai optimum diperoleh dengan mensubstitusi titik-titik penyelesaian terhadap fungsi tujuan fungsi objektif, yaitu:
Titik 0,16
Titik 0,20
y
x 16
20
12 10
ii i
DP
Titik 6,8
Jadi, nilai maksimum yang diperoleh adalah 60 yang terjadi pada titik 0,20
H. Kerangka Berpikir
Kategori