Dengan cara yang sama, kita dapat memilih nilai-nilai lain yang mendekati 1 baik dari kiri maupun dari kanan, dapat dilihat pada tabel 2.2. berikut ini.
Dipilih, nilai-nilai yang mendekati 1 dari kiri adalah 0,992, 0,994, 0,996, 0,998, untuk yang dari kanan adalah 1,0001, 1,0002, 1,0003, 1,0004.
x
mendekati 1 dari kiri
x
mendekati 1 dari kanan
x
0,99 2
0,99 4
0,99 6
0,999 8
1 1,0001 1,0002 1,0003 1,0004 1,0005
x f
2,8 2,9
2,99 2,999
9 3 3,0001 3,0002 3,0003 3,0004 3,0005
x f
mendekati 3
x f
mendekati 3 Tabel 2.2.
Dari tabel 2.2. diperoleh 2
, 3
2 4
lim
2 1
x x
x
x
. Jadi, mesin tersebut dapat memproduksi satu buah produk dalam waktu kurang lebih 3
jam. Untuk alternatif cara yang lain, dapat dipilih nilai-nilai
x
yang mendekati 1 dari kiri maupun dari kanan yang lain.
2.7.2 Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk
lim x
f
a x
Ada beberapa cara untuk menentukan nilai
lim x
f
a x
menurut Wirodikromo 2003:148, meliputi:
1. Metode Substitusi Langsung
Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar yang berbentuk
lim x
f
a x
dengan metode substitusi langsung, simaklah beberapa contoh berikut ini. a
5 2
lim
1
x
x
b
2 3
lim
2
x
x
c
1 1
lim
1
x x
x
Penyelesaian : a
3 5
1 2
5 2
lim
1
x
x
Jadi,
3 5
2 lim
1
x
x
. b
2 4
2 2
3 2
3 lim
2
x
x
Jadi, 2
2 3
lim
2
x
x
.
c
2 1
1 1
1 1
1 lim
1
x x
x
Jadi,
1 1
lim
1
x x
x
. 2.
Metode Pemfaktoran Perhatikan limit fungsi berbentuk
2 4
lim
2 2
x x
x
. Apabila dikerjakan dengan
substitusi langsung diperoleh : 2
2 4
2 2
4 lim
2 2
2
x x
x
.
Pada pertemuan sebelumnya telah disebutkan bahwa disebut bentuk tak tentu
dan tidak didefinisikan. Maka digunakan metode pemfaktoran untuk
meyelesaikannya.
2 2
2 lim
2 4
lim
2 2
2
x x
x x
x
x x
, sebab
2
x
atau
2
x
.
4 2
lim
2
x
x
.
3. Contoh
Open-ended Problem
Limit fungsi aljabar berbentuk
lim x
f
a x
dalam bentuk
open-ended problem
dapat dilihat dalam contoh-contoh berikut ini. a.
Hitunglah dengan berbagai cara nilai dari 3
, 3
9 lim
2 2
x x
x
x
. b.
Pada setiap atraksi, kerja maksimum suatu roda sirkus untuk pemakaian 3 jam dapat dinyatakan dalam putaran. Putaran maksimum roda tersebut dalam 3 jam,
dinyatakan dalam suatu fungsi
10 ,
10 1000
3
x x
x x
f
. Tentukan putaran maksimum roda sirkus tersebut.
Penyelesaian : a.
Cara 1, menggunakan limit fungsi di satu titik. Untuk mendapatkan nilai
3 ,
3 9
lim
2 2
x x
x
x
, kita dapat memilih beberapa nilai
x
yang mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan, seperti pada tabel 2.3. berikut ini.
x
mendekati 2 dari kiri
x
mendekati 2 dari kanan
x
1,8 1,9
1,99 1,9999 2
2,000001 2,0001 2,001 2,05 2,1
x f
4,8 4,9
4,99 4,9999 3
5,000001 5,0001 5,001 5,05 5,1
x f
mendekati 5
x f
mendekati 5 Tabel 2.3.
Dari tabel 2.3. diperoleh 3
, 5
3 9
lim
2 2
x x
x
x
.
Jadi, nilai dari 3
, 5
3 9
lim
2 2
x x
x
x
.
Cara 2, menggunakan metode substitusi. 3
, 5
1 5
3 2
9 2
lim 3
9 lim
2 2
2 2
x x
x
x x
Cara 3, menggunakan metode pemfaktoran.
3 ,
5 3
2 3
lim 3
3 3
lim 3
9 lim
2 2
2 2
x x
x x
x x
x
x x
x
b. Cara 1 menggunakan limit fungsi di satu titik.
Untuk mendapatkan nilai 10
, 10
1000 lim
3 3
x x
x
x
, kita dapat memilih beberapa nilai
x
yang mendekati 3 dari kiri maupun dari kanan, seperti pada tabel 2.3. berikut ini.
x
mendekati 2 dari kiri
x
mendekati 2 dari kanan
x
2,8 2,9
2,99 2,999
3 3,00
1 3,00
2 3,00
3 3,00
4 3,00
5
fx
138,8 138,9
138,99 138,99
9 138
139, 001
139, 002
139, 003
139, 004
139, 005
x f
mendekati 5
x f
mendekati 5 Tabel 2.4.
Dari tabel 2.3. diperoleh 10
, 139
10 1000
lim
3 3
x x
x
x
.
Jadi, nilai dari 10
, 139
10 1000
lim
3 3
x x
x
x
. Cara 2, menggunakan metode substitusi.
10 ,
139 7
973 10
3 1000
3 lim
10 1000
lim
3 3
3 3
x x
x
x x
Jadi, nilai dari 10
, 139
10 1000
lim
3 3
x x
x
x
.
Cara 3, menggunakan metode pemfaktoran.
10 100
10 10
lim 10
1000 lim
2 3
3 3
x x
x x
x x
x x
10 ,
139 100
30 3
100 10
lim
2 2
3
x x
x
x
Jadi, nilai dari 10
, 139
10 1000
lim
3 3
x x
x
x
.
2.7.3 Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk
