S. Winkel 2012:59 menyatakan belajar adalah suatu aktivitas

13 e. Burton dalam Aunuraahman, 2011:35 menyatakan bahwa belajar sebagai perubahan tingkah laku pada diri individu berkat adanya interaksi antara individu dengan individu dan individu dengan lingkungannya sehingga mereka mampu berinteraksi dengan lingkungannya. f. Gagne dalam Suprijono, 2013:2 menyatakan bahwa perubahan disposisi atau kemampuan yang dicapai seseorang melalui aktivitas. g. Morgan dalam Suprijono, 2013:2 menyatakan bahwa learning is any relatively permanent change in behavior that is a result of past experience. Belajar adalah perubahan perilaku yang bersifat permanen sebagai prestasi dari pengalaman. h.

W. S. Winkel 2012:59 menyatakan belajar adalah suatu aktivitas

mentalpsikis, yang berlangsung dalam interaksi aktif dengan lingkungan, yang menghasilkan sejumlah perubahan dalam pengetahuan-pemahaman, keterampilan, dan nilai sikap yang bersifat relative konstan dan berbekas. Dari berbagai pengertian belajar di atas, tampak bahwa para ahli mendefinisikan belajar secara berbeda-beda. Berdasarkan definisi-definisi belajar di atas, dapat disimpulkan bahwa belajar adalah suatu perubahan yang dilakukan secara sadar tanpa sebuah paksaan oleh individu baik dalam bentuk perubahan tingkah laku sebagai akibat dari pengalaman yang menyangkut aspek kognitif, psikomotorik dan afektif dan bersifat permanen. Keberhasilan belajar ditentukan oleh berbagai factor. Menurut Suryabrata dalam Khodijah, 2014:58, faktor-faktor yang mempengaruhi keberhasilan belajar dapat digolongkan menjadi dua, yaitu : 14 a. Faktor Intern Faktor intern adalah faktor-faktor yang berasal dari dalam diri siswa, yaitu meliputi dua aspek yaitu: aspek fisiologis dan aspek psikologis. 1 Aspek fisiologis, meliputi a Keadaan tonus jasmani pada umumnya. Seseorang dengan kondisi fisik sehat dan bugar akan memberikan pengaruh positif terhadap kegiatan belajar individu dan sebaliknya. Oleh karena itu, siswa perlu ada usaha untuk menjaga kesehatan jasmani. Cara untuk menjaga kesehatan jasmani antara lain dengan menjaga pola makan yang sehat, rajin berolahraga, dan istirahat yang cukup. b Keadaan fungsi-fungsi fisiologis tertentu seperti pancaindra. Alat indra ialah alat yang digunakan untuk mengenal dunia sekitar. Kondisi alat indra yang baik akan mempermudah aktivitas belajar yang baik pula. Proses belajar sangat membutuhkan peran dari alat indra terutama mata dan telinga sehingga akan memberikan prestasi belajar yang memuaskan pula. 2 Aspek psikologis a Minat Minat adalah keadaan dimana seseorang menunjukkan keinginan ataupun kebutuhan yang ada dalam dirinya. Minat berpengaruh besar terhadap pencapaian prestasi belajar siswa dalam bidang tertentu. 15 b Motivasi Motivasi adalah keadaan internal organisme yang mendorong untuk berbuat sesuatu. c Inteligensi Intelegensi adalah keahlian memecahkan masalah, kemampuan untuk beradaptasi dan belajar dari pengalaman. d Memori Memori atau ingatan adalah sebuah fungsi dari kognisi yang melibatkan otak dalam pengambilan informasi. Memori dibagi menjadi dua kategori yaitu memori eksplisit dan memori implisit. Memori eksplisit digunakan untuk informasi social dan identitas, aturan social, norma dan harapan. Sedangkan memori implisit digunakan untuk tempat skema kelekatan, transfer, dan super ego. e Emosi Emosi adalah perasaan intens yang ditujukan kepada seseorang atau sesuatu. Emosi adalah reaksi terhadap seseorang atau kejadian. Hal ini dapat ditunjukkan ketika merasa senang terhadap sesuatu, marah karena suatu kejadian, ataupun takut terhadap sesuatu. b. Faktor-faktor yang berasal dari luar diri pembelajar, yaitu: 1 Faktor Sosial a Orang tua b Guru 16 c Teman-teman atau orang-orang di sekitar lingkungan belajar. 2 Faktor non-sosial a Keadaan udara, suhu, dan cuaca. b Waktu c Tempat d Alat-alat atau perlengkapan belajar. 2. Motivasi Menurut Mc. Donald, yang dikutip Oemar Hamalik 2003:158, motivasi adalah perubahan energi dalam diri seseorang yang ditandai dengan timbulnya perasaan dan reaksi untuk mencapai tujuan. Dengan pengertian ini, dapat dikatakan bahwa motivasi adalah sesuatu yang kompleks. Motivasi akan menyebabkan terjadinya suatu perubahan energi yang ada pada diri manusia, sehingga akan bergayut dengan persoalan gejala kejiwaan, perasaan dan juga emosi, untuk kemudian bertindak atau melakukan sesuatu. Menurut A.M. Sardiman 2005:75 motivasi belajar dapat juga diartikan sebagai serangkaian usaha untuk menyediakan kondisi-kondisi tertentu, sehingga seseorang mau dan ingin melakukan sesuatu, dan bila ia tidak suka, maka akan berusaha untuk meniadakan atau mengelak perasaan tidak suka itu. Minat adalah kecenderungan yang tetap untuk memperhatikan dan mengenang beberapa kegiatan. Kegiatan yang diminati seseorang, diperhatikan terus menerus yang disertai rasa senang. 17 Menurut Ridwan Abdullah Sani 2013:49, motivasi belajar merupakan suatu energy dalam diri manusia yang mendorong untuk melakukan aktivitas tertentu dengan tujuan tertentu. Ada dua jenis motivasi dalam belajar, yakni : a. Motivasi eksentrik, yakni motivasi melakukan sesuatu karena pengaruh eksternal. Motivasi eksentrik muncul akibat insentif eksternal atau pengaruh dari luar siswa, seperti: tuntutan, imbalan, atau hukuman. Factor yang mempengaruhi motivasi secara eksternal adalah: 1 karakteristik tugas; 2 insentif; 3 perilaku guru; dan 4 pengaturan pembelajaran. b. Motivasi instrinsik, yakni motivasi internal dari dalam diri untuk melakukan sesuatu, misalnya siswa mempelajari ilmu pengetahuan alam karena dia menyenangi pelajaran tersebut. Beberapa hal yang menyebabkan rendahnya motivasi belajar siswa: a. Metode pembelajaran yang monoton. b. Siswa menganggap pelajaran tersebut tidak perlu tidak berguna. c. Pengaruh dari sifat penggajar tersebut. d. Kepenatan atas gayasistem belajar yang diterapkan. e. Fasilitasprasarana pembelajaran yang kurang memadai. f. Suhu ruangancuaca. Gage Berliner dalam Slameto,2002:176, menyarankan sejumlah cara meningkatkan motivasi siswa, tanpa harus melakukan reorganisasi kelas secara besar-besaran. Saran tersebut adalah : 18 a. Pergunakan pujian verbal. b. Pergunakan tes dalam nilai bijaksana. c. Bangkitkan rasa ingin tahu siswa dan keinginanya untuk mengadakan eksplorasi. d. Untuk tetap mendapatkan perhatian, sekali-kali pengajar dapat melakukan hal-hal yang luar biasa. e. Merangsang hasrat siswa dengan jalan memberikan pada siswa sedikit contoh hadiah yang akan diterimanya bila ia berusaha untuk belajar. f. Agar siswa lebih mudah memahami bahan pengajaran, pergunakan materi-materi yang sudah dikenal sebagai contoh. g. Terapkan konsep-konsep atau prinsip-prinsip dalam konteks yang unik dan luar biasa, agar siswa jadi lebih terlibat. h. Minta pada siswa untuk mempergunakan hal-hal yang sudah dipelajari sebelumnya. i. Pergunakan simulasi dan permainan. j. Perkecil daya tarik system motivasi yang bertentangan. k. Perkecil konsekuensi-konsekuensi yang tidak menyenangkan dari keterlibatan siswa. l. Pengajar perlu memahami dan mengawasi suasana social di lingkungan sekolah. m. Pengajar perlu memahami hubungan kekuasaan antara guru dan siswa. 19 Berikut strategi motivasi terkait dengan peningkatan perhatian, relevansi, kepercayaan diri, dan kepuasan dalam Ridwan, 2013:50-51. a Strategi untuk meningkatkan perhatian siswa antara lain: 1 menggunakan metode instruksional yang bervariasi; 2 menggunakan variasi media untuk melengkapi pembelajaran; 3 menggunakan humor pada saat yang tepat; 4 mengunakan peristiwa nyata sebagai contoh untuk menjelaskan konsep; dan 5 menggunakan teknik bertanta untuk melibatkan siswa. b Strategi untuk meningkatkan relevansi antara lain: 1 menyampaikan tujuan pembelajaran dan kemampuan apa saja yang dapat diperoleh siswa setelah mengikuti proses belajar mengajar; 2 menjelaskan manfaat pengetahuanketerampilan yang akan dipelajari yang berkaitan dengan pekerjaan di masyarakat; 3 mengemukakan arti pentingnya hal yang dipelajari; 4 memberikan contoh, latihan atau tes yang langsung berhubungan dengan profesi atau pekerjaan tertentu; dan 5 mengaitkan materi dengan latar belakang kehidupan siswa. c Strategi untuk meningkatkan kepercayaan diri antara lain: 1 memperbanyak pengalaman berhasil peserta didik; 2 menyusun pembelajaran dalam bagian yang lebih kecil; 20 3 meningkatkan harapan untuk berhasil dengan menyatakan persyaratannya; 4 memungkinkan control keberhasilan pada siswa; 5 menumbuhkanmengembangkan kepercayaan diri siswa; dan 6 memberikan umpan balik yang konstruktif. d Strategi untuk meningkatkan kepuasan belajar antara lain: 1 menggunakan pujian secara verbal dan umpan balik yang informatif, bukan ancaman dan sejenisnya; 2 memberikan kesempatan pada siswa untuk segera mempraktikkan pengetahuan yang dipelajarinya; 3 meminta siswa untuk membantu teman yang belum berhasil menguasai suatu keterampilan atau pengetahuan; dan 4 membandingkan prestasi siswa dengan prestasinya sendiri pada masa lalu atau dengan standar lain. Berdasarkan beberapa pendapat yang menguraikan pengertian motivasi belajar, maka dapat disimpulkan bahwa motivasi belajar adalah keseluruhan daya untuk menggerakkan dalam diri siswa yang mengakibatkan kegiatan belajar yang menjamin kelangsungan dari kegiatan belajar dan memberikan dorongan untuk menggapai tujuan yang diinginkan oleh subyek belajar. 3. Prestasi Belajar Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, yang dimaksud dengan prestasi adalah hasil yang telah dicapai dilakukan, dikerjakan, dan sebagainya. 21 Prestasi dalam bidang akademik berarti hasil yang diperoleh dari kegiatan di sekolah atau perguruan tinggi yang bersifat kognitif dan biasanya ditentukan melalui sebuah pengukuran dan penilaian atau evaluasi. Wand and Brown dalam kutipan Wayan Nurkancana dan PPN, Sumartana mengemukakan: “ Pengukuran adalah suatu tindakan atau proses untuk menentukan luas atau kuantitas dari sesuatu, evaluasi adalah suatu tindakan atau suatu proses antuk menentukan nilai dari pada sesuatu ”. Perbedaan antara pengukuran dan penilaian terletak pada sifatnya kuantitatif, sedangkan hasil penilaian sifatnya kualitatif. Evaluasi dalam dunia pendidikan meliputi evaluasi terhadap prestasi belajar, proses belajar mengajar dan evaluasi terhadap kurikulum. Evaluasi pengukuran yang sifatnya kuantitatif pada hakikatnya simbol dari sebagian perilaku yang diharapkan dan dapat mewakili keseluruhan perubahan population of behavioral change dari peserta didik itu sendiri. Perubahan perilaku peserta didik secara keseluruhan sangat sukar untuk diungkapkan, karena perubahan perilaku peserta didik itu ada yang dapat diamati tangiable dan ada yang tidak dapat diamati untangiable. Sejumlah ahli telah mendefinisikan prestasi belajar, diantaranya adalah: a W.S. Winkel Prestasi belajar adalah keberhasilan usaha yang dicapai seseorang setelah memperoleh pengalaman belajar atau mempelajari sesuatu. b Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia 22 Prestasi belajar adalah penguasaan pengetahuan atau keterampilan yang dikembangkan oleh mata pelajaran, lazimnya ditunjukan dengan nilai tes atau angka nilai yang diberikan oleh guru. c Djalal 1986:4 “prestasi belajar siswa adalah gambaran kemampuan siswa yang diperoleh dari hasil penilaian proses belajar siswa dalam mencapai tujuan pengajaran” d Hamalik 1994:45 Prestasi belajar adalah perubahan sikap dan tingkah laku setelah menerima pelajaran atau setelah mempelajari sesuatu. e Benyamin S. Bloom dalam Nurman, 2006:36 Prestasi belajar merupakan hasil perubahan tingkah laku yang meliputi tiga ranah kognitif terdiri atas: pengetahuan, pemahaman, aplikasi, analisis, sintesis, dan evaluasi. f Saifudin Azwar 1996:44 Prestasi belajar merupakan dapat dioperasionalkan dalam bentuk indikator-indikator berupa nilai raport, indeks prestasi studi, angka kelulusan dan predikat keberhasilan. Dari beberapa pengertian prestasi belajar, maka dapat disimpulkan bahwa prestasi belajar adalah suatu penilaian akhir dari proses dan pengenalan yang telah dilakukan berulang-ulang, dapat disimpan dalam jangka waktu yang lama atau bahkan tidak akan hilang selama-lamanya karena prestasi belajar turut serta dalam membentuk pribadi individu yang selalu ingin 23 mencapai hasil yang lebih baik lagi sehingga akan merubah cara berpikir serta menghasilkan perilaku kerja yang lebih baik. 4. Metode Permainan Menurut beberapa pendapat para ahli peneliti menyimpulkan definisi permainan adalah suatu aktifitas yang dilakukan oleh beberapa anak untuk mencari kesenangan yang dapat membentuk proses kepribadian anak dan membantu anak mencapai perkembangan fisik, intelektual, sosial, moral dan emosional. Dengan menggunakan permainan, siswa tidak merasa jenuh dalam mengikuti proses pembelajaran. Rasa malas yang sebelumnya menjadi faktor utama minat siswa menjadi semangat ketika pembelajaran dimodifikasi menggunakan metode permainan. Dalam penelitian ini, permainan yang digunakan adalah permainan kode pada kunci gembok. Kode pada kunci gembok terdiri dari beberapa kombinasi angka dengan angka yang tersedia 0, 1, 2, …, 9. Banyak nilai tempat yang tersedia dalam setiap kunci gembok terdiri dari 3 –5 angka. Kunci gembok berkode ini biasa digunakan pada loker, pintu, atau koper. Cara membuka kunci gembok ini cukup dengan menggeser beberapa kali angka yang tersedia disesuaikan dengan kode yang sudah ditentukan. 5. Penggunaan Modul Menurut Winkel 2009:472, modul pembelajaran adalah satuan program belajar mengajar yang terkecil, yang dipelajari oleh siswa sendiri secara perseorangan atau diajarkan oleh siswa kepada dirinya sendiri. Sedangkan 24 menurut Vembrianto 1981:20, suatu modul pembelajaran adalah suatu paket pengajaran yang memuat satu unit konsep daripada bahan pelajaran. Menurut Vembrianto 1981, sifat-sifat dari modul adalah: a. Modul itu merupakan unit paket pengajaran terkecil dan lengkap. b. Modul memuat rangkaian kegiatan belajar yang direncanakan secara sistematik. c. Modul memuat tujuan belajar pengajaran yang dirumuskan secara eksplisit dan spesifik. d. Modul memungkinkan siswa belajar sendiri independent, modul memuat bahan yang bersifat self-instructional. e. Modul merupakan realisasi pengakuan perbedaan individual, merupakan salah satu perwujudan pengajaran individual. Menurut Mulyasa 2006, pembelajaran dengan system modul memiliki karakteristik sebagai berikut: a. Setiap modul harus memberikan informasi dan memberikan petunjuk pelaksanaan yang jelas tentang apa yang harus dilakukan ileh seorang peserta didik, bagaimana melakukannya, dan sumber belajar apa yang harus digunakan. b. Modul merupakan pembelajaran individual, sehinga mengupayakan untuk melibatkan sebanyak mungkin karakter peserta didik. c. Pengalaman belajar dalam modul disediakan untuk membantu peserta didik mencapai tujuan pembelajaran seefektif dan seefisien, 25 serta memungkinkan peserta didik untuk melakukan pembelajaran secara aktif, tidak sekedar membaca dan mendengarkan tetapi lebih dari itu. d. Materi pembelajaran disajikan secara logis dan sistematis, sehingga peserta didik dapat mengetahui kapan dia memulai dan kapan dia mengakhiri suatu pernasalahan dan tidak menimbulkan pertanyaan mengenai apa yang harus dilakukan, atau dipelajari. e. Setiap modul memiliki mekanisme untuk mengukur pencapaian tujuan belajar peserta didik, etrutama untuk memberikan umpan balik bagi peserta didik dalam mencapai ketuntasan belajar. Menurut Suryobroto 1983, maksud dan tujuan digunakannya modul dalam proses belajar mengajar ialah supaya: a. Tujuan pendidikan dapat dicapai secara efisien dan efektif, b. Siswa dapat mengikuti program pendidikan sesuai dengan kecepatan dan kemampuannya sendiri, c. Siswa dapat sebanyak mungkin menghayati dan melakukan kegiatan belajar sendiri, baik dibawah bimbingan atau tanpa bimbingan guru, d. Siswa dapat menilai dan mengetahui hasil belajarnya sendiri secara berkelanjutan, e. Siswa benar-benar menjadi titik pusat kegiatan belajar mengajar, f. Kemajuan siswa diikuti dengan frekuensi yang lebih tinggi melalui evaluasi yang dilakukan pada setiap modul berakhir, 26 g. Modul disusun berdasarkan konsep “mastery learning”, suatu konsep yang menekankan bahwa siswa harus secara optimal menguasai bahan pelajaran yang disajikan dalam modul tersebut. 6. Lembar Kerja Siswa Lembar kerja siswa LKS adalah lembaran yang berisi tugas yang harus dikerjakan oleh siswa. LKS biasanya berupa petunjuk atau langkah untuk menyelesaikan suatu permasalahan. Suatu permasalahan yang diperintahkan pada LKS harus sesuai dengan kompetensi dasar yang akan dicapai. LKS yang disediakan diharapkan dapat mengaktifkan siswa dalam proses pembelajaran. Melalui LKS, siwa diajak untuk menemukan dan mengembangkan keterampilan proses baik proses penyelesaian LKS maupun proses mencari sumber informasi dari referensi-referensi. LKS yang digunakan haruslah sederhana dan sistematis agar dapat dipahami oleh siswa. Bahasa yang digunakan dalam LKS diharapkan Bahasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari siswa. Hal ini dapat membantu siswa dalam memahami materi yang akan disampaikan dalam LKS. Dengan kata lain, siswa dapat mempelajari secara mandiri materi yang disampaikan melalui LKS. 7. Materi Pembelajaran Peluang Kaidah pencacahan adalah suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Jika banyak cara memilih unsur pertama ada cara dan banyak cara memilih unsur kedua 27 ada cara maka banyak cara memilih kedua unsur tersebut sekaligus ada × cara. Kaidah pencacahan memiliki 2 landasan utama supaya dapat menyelesaikan suatu masalah yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kaidah penjumlahan dapat dimisalkan suatu peristiwa dapat terjadi dengan cara yang berlainan saling asing. Dalam cara pertama terdapat kemungkinan hasil yang berbeda, cara kedua memberikan kemungkinan yang berbeda, dan seterusnya sampai cara ke- memberikan kemungkinan yang berbeda, maka total banyaknya kemungkinan kejadian dalam peristiwa tersebut adalah + + ⋯ + cara. Kaidah penjumlahan dapat diidentifikasi melalui kata hubung ”atau”. Sedangkan kaidah perkalianterjadi apabila suatu peristiwa terdiri dari tahap kejadian yang berurutan dimana tahap pertama dapat terjadi dalam cara yang berbeda, tahap kedua dapat terjadi dalam cara yang berbeda, dan seterusnya sampai tahap ke- dapat terjadi dalam cara yang berbeda, maka total banyaknya peristiwa tersebut dapat terjadi adalah × × … × cara. Kaidah perkalian dapat diidentifikasi den gan menggunakan kata hubung ”dan”. Contoh 1: Ilham memiliki 4 kaos berkerah dan 5 kemeja. Ada berapa cara Ilham mengenakan baju? Jawab: Cara mengenakan baju bisa kaos berkerah atau kemeja. Kedua baju tidak dapat dikenakan sekaligus. Kemungkinan yang akan terjadi 28 adalah menggunakan kaos berkerah 1 atau kaos berkerah 2 atau kaos berkerah 3 atau kaos berkerah 4 atau kemeja 1 atau kemeja 2 atau kemeja 3 atau kemeja 4 atau kemeja 5. Kata hubung yang digunakan adalah atau sehingga masalah ini dapat diselesaikan dengan kaidah penjumlahan yaitu = + = cara. Contoh 2: Kota A dan kota B dihubungkan oleh tiga alternatif jalan. Kota B dan kota C dihubungkan oleh tiga alternatif jalan. Jika bepergian dari kota A ke kota C melalui kota B, ada berapa rute berbeda yang bisa ditempuh? Jawab : Perjalanan dari kota A ke kota C melalui dua tahap yaitu tahap dari kota A ke kota B dan tahap dari kota B ke kota C. Tahap pertama dapat dilakukan dengan tiga jalan. Tahap kedua dapat dilakukan dengan tiga jalan. B A C 1 2 3 4 5 6 29 5 5 6 4 5 6 Atau dapat diilustrasikan menggunakan pohon faktor sebagai berikut: Kemungkinan yang terjadi dari pilihan jalan tersebut adalah melalui jalan 1 dan 4 atau jalan 1 dan 5 atau jalan 1 dan 6 atau jalan 2 dan 4 atau jalan 2 dan 5 atau jalan 2 dan 6 atau jalan 3 dan 4 atau jalan 3 dan 5 atau jalan 3 dan 6. Kemungkinan jalan dari kota A ke kota B adalah 3 jalan dan jalan dari kota B ke kota C adalah 3 A B C C C B C C C B C C C 1 2 3 4 6 4 30 jalan. Kata hubung yang digunakan adalah dan sehingga total cara bepergian dari A ke C dapat diselesaikan menggunakan aturan perkalian adalah × = cara. Contoh 3: Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan. Berapa banyak bilangan tiga angka berlainan yang dapat disusun? Jawab : Bilangan yang terdiri dari tiga angka mempunyai nilai letak ratusan, puluhan dan satuan. Jadi, tiga angka yang dapat diisi adalah ratusan, puluhan dan satuan. Penyelesaian ini dapat menggunakan aturan pengisian tempat. Nilai Tempat Ratusan Puluhan Satuan Banyaknya cara 6 5 4 a Terdapat 6 cara untuk mengisi tempat ratusan, sebab angka yangtersedia dapat ditempatkan pada nila ratusan. b Terdapat 5 cara untuk mengisi tempat puluhan, sebab angka yang telah mengisi ratusan tidak boleh mengisi puluhan atau satuan. c Terdapat 4 cara untuk mengisi tempat satuan. Sehingga total banyaknya bilangan tiga angka berlainan yang dapat disusun adalah = ∙ ∙ = bilangan. 31 Contoh 4: Dalam suatu kartu bridge, berapa macam cara untuk mengambil sebuah kartu Jack atau sebuah kartu Queen? Jawab: Dalam suatu kartu bridge, kartu Jack bukan merupakan kartu Queen, begitu pula sebaliknya. Sehingga tidak ada kartu Jack yang merupakan kartu Queen atau sebaliknya. Kata hubung yang digunakan adalah ”atau” sehingga penyelesaian menggunakan aturan penjumlahan atau kaidah penjumlahan. Dalam suatu kartu Bridge, terdapat 4 kartu Jack dan 4 kartu Queen. Sehingga banyak cara untuk mengambil sebuah kartu Jack atau sebuah kartu Queen adalah = + = cara. Contoh 5: Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 digit yang akan dibentuk dengan hanya menggunakan angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 8 tanpa perulangan? Jawab: Bilangan yang terdiri dari empat angka mempunyai nilai letak ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Jadi, empat angka yang dapat 32 diisi adalah ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Penyelesaian ini dapat menggunakan aturan pengisian tempat. Nilai Tempat Ribuan Ratusan Puluhan Satuan Banyaknya cara 6 5 4 3 a Terdapat 6 cara untuk mengisi tempat ribuan, sebab angka yangtersedia dapat ditempatkan pada nilai ratusan. b Terdapat 5 cara untuk mengisi tempat ratusan, sebab angka yang telah mengisi ratusan tidak boleh mengisi puluhan atau satuan. c Terdapat 4 cara untuk mengisi tempat puluhan. d Terdapat 3 cara untuk mengisi tempat puluhan. Sehingga total banyaknya bilangan empat angka berlainan yang dapat disusun adalah = ∙ ∙ ∙ = bilangan. Contoh 6: Berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri dari 4 digit yang akan dibentuk dengan hanya menggunakan angka 1, 2, 3, 5, 6, dan 8 tanpa perulangan? Jawab: 33 Bilangan yang terdiri dari empat angka mempunyai nilai letak ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Jadi, empat angka yang dapat diisi adalah ribuan, ratusan, puluhan dan satuan. Penyelesaian ini dapat menggunakan aturan pengisian tempat. Nilai Tempat Ribuan Ratusan Puluhan Satuan Banyaknya cara 3 4 5 3 a Terdapat 3 cara untuk mengisi tempat satuan, sebab angka yang dipilih adalah angka ganjil dan terdapat 3 angka ganjil dari angka yang tersedia. b Terdapat 5 cara untuk mengisi tempat puluhan, sebab angka yang telah mengisi ratusan tidak boleh mengisi puluhan atau satuan. c Terdapat 4 cara untuk mengisi tempat ratusan. d Terdapat 3 cara untuk mengisi tempat ribuan. Sehingga total banyaknya bilangan ganjil terdiri dari empat angka berlainan yang dapat disusun adalah ∙ ∙ ∙ = bilangan. a. Pengertian dan Notasi Faktorial Definisi: Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai , atau dapat ditulis : = × − × − × − … × × × = × × × × 34 Notasi faktorial hanya didefinisikan pada bilangan cacah. Menurut definisi di atas, dengan menggunakan sifat assosiatif perkalian dapat diturunkan sebagai berikut : = × − × − × − × … × × × = × − = × − × − dan seterusnya. Contoh 7: Hitunglah nilai dari + =? Jawab : + = × × + × × × × = + = Contoh 8: Hitunglah nilai dari ? Jawab : = × × × × × × × × × × × = × = = Contoh 9: Nyatakan bentuk ∙ ∙ dengan notasi faktorial Jawab : ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = Contoh 10: Hitunglah − − ? Jawab: − − = − − − − = − − = − + 35 b. Permutasi Permutasi dari sekumpulan objek adalah cara penyusunan unsur-unsur tersebut dengan memperhatikan urutannya. Permutasi dilambangkan oleh huruf �. 1 Permutasi objek dari objek yang berbeda banyak permutasi unsur yang diambil dari unsur yang tersedia. Situasi : ada objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari objek yang ada. Notasi : � , � . atau � Permutasi objek dari objek yang berbeda adalah : � = Contoh 11: Tentukan susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “PERGI” jika susunan huruf tersebut terdiri dari lima huruf berbeda? Jawab : dari soal di atas menunjukkan masalah permutasi 5 objek dari 5 objek yang ada. ∴ � = = susunan huruf berbeda. Jadi, ada 120 susunan huruf yang mungkin dapat disusun. 36 Contoh 12: Dalam sebuah dusun akan diadakan pemilihan pengurus dusun yang terdiri dari kepala dusun, sekretaris danbendahara. Dari tiga calon yang tersedia, berapa kemungkinan susunan yang dapat terbentuk? Jawab : dari soal di atas menunjukkan masalah permutasi 3 objek dari 3 objek yang ada. ∴ � = = susunan yang terbentuk. Jadi, ada 6 susunan pengurus yang mungkin dapat disusun. 2 Permutasi � objek dari objek yang berbeda, � ≤ banyak permutasi � unsur yang diambil dari unsur yang tersedia Situasi : ada objek yang berbeda satu sama lain. Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiridari � objek dari objek yang ada, � ≤ . Notasi : � , � . � atau � Permutasi ini dapat ditentukan sebagai berikut. � = − � Contoh 13: Dari 10 siswa akan dipilih menjadi satu tim basket di sebuah sekolah swasta yang terdiri dari center, power forward, small forward, shooting forward, dan point guard.. Berapa banyaknya susunan tim yang dapat terbentuk? 37 Jawab : Pada permasalahan ini memilih 5 orang dari 10 orang yang akan dipilih. Banyak membuat susunan tim adalah � . � = − = = × × × × × × × × × × × × × = × × × × = Jadi, banyaknya susunan timyang dapat terbentuk adalah 30.240. Contoh 14: Suatu undian dilakukan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit-digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, berapa banyak kemungkinan nomor undian terbentuk? Jawab: banyak angka yang tersedia adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 atau terdapat 10 angka. Sedangkan digit nomor undian yang akan terbentuk adalah 7 digit. Sehingga banyaknya kemungkinan nomor undian yang terbentuk adalah � = − = × × = �� � 38 Contoh 15: Sebuah toko akan membuat nomor barcode untuk semua barang jualannya. Nomor barcode terdiri dari 4 angka. Berapa banyak kemungkinan nomor barcode yang dapat terbentuk jika angka- angkanya tidak boleh sama? Jawab: banyak angka yang tersedia adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 atau terdapat 10 angka. Sedangkan nomor barcode yang akan terbentuk adalah 4 digit. Sehingga banyaknya kemungkinan nomor barcode yang terbentuk adalah � = − = × × × = �� � 3 Permutasi objek dari objek dengan beberapa objek yang sama permutasi dari unsur yang tersedia jika terdapat unsur yang sama, unsur yang sama sampai unsur yang sama Situasi : ada objek yang beberapa diantaranya sama. Misalnya ada sejumlah objek , sejumlah objek , ..., sejumlah objek dari , dengan + + + + ⋯ + = . Masalah : menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari objek. Notasi : � , ,…, � Permutasi ini dapat ditentukan sebagai berikut. 39 � , ,…, � = … Contoh 16: Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA”? Jawab : terdapat 10 huruf pada kata MATEMATIKA, yaitu 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf E, 1 huruf I, dan 1 huruf K. Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah � , , , , , = = × × × × × × × × × × × × × × × × × × = Jadi, ada 151200 susunan huruf yang dapat dibuat. 4 Permutasi siklis Situasi : ada objek yang satu sama lain berbeda. Masalah : menentukan banyaknya cara objek berbeda disusun terurut secara melingkar siklis. Notasi : � �� �� Permutasi siklis akan menghitung berapa banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah objek yang berbeda yang ditempatkan secara melingkar. Permutasi siklis hanya memperhitungkan kedudukan suatu objek terhadap objek lain dan tak memperhitungkan tempatnya di lingkaran, maka bisa dimulai dengan menempatkan satu objek A 40 sembarang pada lingkaran. Selanjutnya posisi di kanan objek A sebagai posisi 1, di kanan posisi 1 sebagai posisi 2 dan seterusnya sampai posisi terakhir, yaitu di sebelah kiri objek A, sebagai posisi − . Menurut kaidah perkalian, total banyaknya cara menempatkan objek secara melingkar adalah − − … . = − � �� �� = − Contoh 17: Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari Ayah, Ibu dan 5 orang anaknya, akan makan bersama duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar tersebut? Jawab : banyak orang yang terlibat adalah 7 orang sehingga banyak cara mereka duduk mengelilingi meja bundar adalah � �� �� = − = = × × × × × = Jadi, banyak mereka duduk mengelilingi meja bundar adalah 720 cara. c. Kombinasi Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek tanpa memperhatikan urutan objek dari objek-objek tersebut. Kombinasi dilambangkan dengan �. 1 Kombinasi objek dari objek yang berbeda Situasi : ada objek yang satu sama lain berbeda. 41 Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut dari objek yang ada. Notasi : � , C . atau � Karena susunan tidak memperhatikan urutan, maka susunan , , , … , dianggap sama dengan , , , … , atau sama dengan , − , … , dan seterusnya. Jadi, � = Contoh 19: Dalam sebuah ujian, seorang guru menyediakan 5 nomor soal. Setiap siswa diharuskan mengerjakan 5 soal. Berapa banyak susunan soal yang dapat dikerjakan? Jawab : masalah di atas adalah masalah kombinasi 5 objek dari 5 objek yang ada, karena urutan soal tidak diperhatikan maka � = Jadi, banyak susunan soal yang dapat dikerjakan oleh siswa adalah 1 cara. 2 Kombinasi � objek dari objek yang berbeda, � ≤ Situasi : ada objek yang satu sama lain berbeda. Masalah : menentukan banyaknya susunan tak terurut yang terdiri atas � objek dari objek yang ada, � ≤ Notasi : � , � . � atau � Kombinasi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut. 42 � = �. � = �. − � = �. − � Contoh 20: Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola kuning. Dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus. Berapa kemungkinan bola yang terambil? Jawab : Jumlah bola = + = Banyaknya kemungkinan = banyak cara pengambilan 3 bola dari 10 bola � = − = = × × × × × × × × × × × × × × × × × = × × × × = Jadi, banyaknya kemungkinan 3 bola terambil adalah 120 cara. Contoh 21: Suatu perusahaan memiliki 3 karyawan laki-laki dan 5 karyawan perempuan. Pimpinan perusahaan akan memilih 3 orang diantaranya untuk bersama-sama mengerjakan suatu proyek. Berapa banyak tim yang dapat terbentuk jika paling sedikit terdapat 1 karyawan laki-laki? Jawab: 43 Dalam sebuah tim paling sedikit terdapat 1 karyawan laki-laki berarti dalam tim tersebut terdiri dari 1 atau 2 atau 3 karyawan laki-laki. Banyak cara untuk memilih tim dengan: 1 orang laki-laki berarti 2 orang perempuan = � × � = 2 orang laki-laki berarti 1 orang perempuan = � × � = 3 orang lai-laki berarti tidak ada perempuan = � × � = Jadi, ada + + = cara untuk memilih tim yang memuat paling sedikit 1 karyawan laki-laki. 3 Kombinasi � objek dari objek dengan beberapa objek sama Situasi : ada objek yang beberapa diantaranya sama. Misalnya ada sejumlah objek , sejumlah objek , ..., sejumlah objek dari � , dengan + + + + ⋯ + � = . Masalah : menentukan banyaknya kombinasi yang terdiri atas � objek dengan aturan harus terdiri atas sejumlah objek , sejumlah objek , ... , sejumlah � objek � , dan + + + ⋯ + � = �. Pada tahap 1, kita menentukan banyaknya cara memilih objek dari objek secara tak terurut. Sehingga banyaknya cara dapat diperoleh � . Pada tahap 2, kita menentukan banyaknya cara memilih objek dari objek secara tak terurut. Sehingga banyaknya cara dapat diperoleh � . Dan pada tahap ke-�, kita menentukan banyaknya cara memilih � objek dari � objek � secara tak terurut. Sehingga banyaknya cara dapat diperoleh � � � . Menurut aturan perkalian, total susunan tak terurut adalah : 44 � × � × … × � � � Contoh 22: Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya terdapat 2 bola putih adalah ... cara. Jawab : Dalam kotak terdapat 6 bola merah 6M dan 4 bola putih 4P. Pengambilan 3 bola sedikitnya 2 bola putih adalah MPP dan PPP. Banyak cara pengambilan MPP = � × � = − × − = × = × × × × × × × × × × × × × × × × × = × = Banyak pengambilan PPP = � = − = = Jadi, banyak cara pengambilan sedemikian hingga sedikitnya 2 bola putih adalah = + =

B. Kerangka Berpikir