14
4. Prinsip
Prinsip adalah rangkaian beberapa konsep secara bersama-sama beserta hubungan keterkaitan antarkonsep tersebut. Siswa dikatakan menguasai
prinsip apabila siswa dapat mengidentifikasi konsep-konsep yang terkandung di dalam prinsip tersebut, menentukan hubungan antarkonsep,
dan menerapkan prinsip tersebut ke dalam situasi tertentu. Contoh pemahaman siswa dalam limit fungsi adalah siswa dapat menggunakan
teorema- teorema limit, prinsip mencari nilai limit fungsi suatu fungsi di suatu titik, prinsip mencari nilai limit fungsi suatu fungsi di tak hingga,
dan prinsip mencari nilai limit fungsi trigonometri di suatu titik dalam persoalan limit fungsi lengkap dengan prosedur yang benar.
4. Materi Limit Fungsi Kelas XI IPA
a. Limit Fungsi di Suatu Titik Secara Intuitif
Secara intuitif pengertian limit fungsi dapat diuraikan melalui penjelasan berikut ini:
“lim
�→
= berarti bahwa jika dekat tetapi berlainan dengan , maka
dekat ke .”Varberg Purcell, 2001:88
Contoh:
Misal diketahui fungsi yang dirumuskan sebagai berikut =
+ − −
15
Fungsi tersebut tidak terdefinisi di = karena ketika = fungsi ini
memiliki penyebut sehingga tidak terdefinisi. Namun perhatikan nilai fungsi ketika nilai mendekati dari kanan dan kiri. Fungsi terdefinisi
untuk setiap bilangan real kecuali di = dapat dilihat kecenderungan
nilai ketika nilai mendekati melalui tabel berikut:
0,9 0,99
0,999 0,9999 … 1,0001 1,001 1,01 1,1
2,9 2,99
2,999 2,9999 … 3,0001 3,001 3,01 3,1
Dari tabel di atas didapat nilai mendekati 3 ketika
makin mendekati dari kanan maupun dari kiri. Dengan demikian secara intuitif
hal ini dapat dinyatakan dengan limit fungsi untuk mendekati
adalah 3 dan ditulis lim
�→
+ − −
=
b. Limit Fungsi di Tak Hingga
Nilai limit fungsi di tak hingga adalah nilai suatu fungsi fx jika x mendekati tak hingga. Maka kita dapat memperoleh nilainya dengan
penjabaran sebagai berikut. Jika
=
�
maka nilai limit fungsi tersebut adalah 0 jika x mendekati tak hingga. Hasil ini didapat dari:
1 2
10 100
1000 10000 1000000
… → ∞
1 0,5
0,1 0,01
0,001 0,0001 0,000001 …
→
16
Kesimpulan dari penjelasan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: lim
�→∞
= Konsep di atas inilah yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan limit
fungsi di tak hingga.
c. Sifat-sifat Limit Fungsi
Diketahui � bilangan bulat positif, � suatu konstanta, dan fungsi dan
masing-masing mempunyai limit di , maka 1.
Jika L
x f
c x
lim dan
M x
f
c x
lim
maka = Ketunggalan limit
fungsi 2.
k k
c x
lim 3.
c x
c x
lim 4.
lim lim
x f
k x
f k
c x
c x
5.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
6.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
7.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
8.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
asalkan lim
x g
c x
9.
n c
x n
c x
x f
x f
lim lim
17
10.
n c
x n
c x
x f
x f
lim lim
asalkan
lim
x f
c x
untuk � genap
11. a. Jika
L x
f
c x
lim
maka L
x f
c x
lim
b. Jika
lim
x f
c x
maka lim
x f
c x
d. Limit fungsi Trigonometri
