Bentuk Umum Model Pemrograman Linear Metode Simpleks

3.4.2. Bentuk Umum Model Pemrograman Linear

Fungsi Tujuan : Maksimumkanminimumkan Z = ∑ = n j j j X C 1 . Terhadap fungsi kendala : ≤ 1 1 2 12 1 11 . . . b X a X a X a n n = + + + ≥ ≤ 2 2 2 22 1 21 . . . b X a X a X a n n = + + + ≥ ≤ i n mn i i b X a X a X a = + + + . . . 2 2 1 1 ≥ ≥ j X di mana : X j : variabel keputusan ke-j C j : parameter fungsi tujuan ke-j b i : kapasitas kendala ke-i a ij : parameter fungsi kendala ke-i untuk variabel keputusan ke-j i : 1,2, . . . , m j : 1,2, . . . , n Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model linear programming ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum. Universitas Sumatera Utara

3.4.3. Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan LP yang mempunyai variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien. Metode simpleks merupakan salah satu metode dalam pemograman linier yang umum digunakan untuk menentukan hasil yang optimal bagi permasalahan yang memiliki tiga variabel atau lebih. Masalah pemograman linier yang hanya mengandung dua variabel dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi apabila masalah tersebut mengandung lebih dari dua variabel maka metode grafik akan sangat sulit untuk diterapkan sehingga diperlukan penggunaan metode simpleks. Metode simpleks dikembangkan pertama kali oleh George Dantzig tahun 1947. Metode ini menyelesaikan masalah LP melalui tahapan perhitungan ulang iterasi dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang sampai tercapai solusi optimal. Langkah-langkah penyelesaian masalah dengan menggunakan metode simplek dapat disusun sebagai berikut: 1. Ditentukan fungsi objective atau fungsi tujuan yang akan dicapai. 2. Identifikasi kendala-kendala constrain dalam bentuk ketidaksamaan. 3. Merubah ketidaksamaan dari kendala-kendala yang ada menjadi bentuk persamaan, dengan cara menambahkan unsur-unsur slack variable kedalamnya. Suatu variable “slack” menyajikan secara perhitungan jumlah Universitas Sumatera Utara yang diperlukan untuk merubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan = sehingga semua variable ditunjukan dalam persamaan, setiap variable slack yang tidak berhubungan dengan salah satu persamaan batasan diberi koefisien nol dan ditambahkan ke persamaan itu. 4. Dimasukan atau Disusun fungsi tujuan dan kendala yang ada ke dalam table simpleks pertama. 5. Dicari nilai Zj, nilai Zj menunjukan jumlah laba kotor yang dihasilkan melalui pemasukan satu unit variable ke dalam penyelesaian. 6. Menemukan kolom kunci, baris kunci, dan nomor kunci. Kolom kunci ditentukan dengan cara memilih nilai baris Cj – Zj yang positif terbesar. Dipilih positif terbesar karena permasalahanya adalah maksimisasi. Untuk menentukan baris kunci, terlebih dahulu harus dicari angka-angka pengganti. Angka-angka pengganti merupakan angka-angka hasil bagi antara angka pada kolom kuantitas dengan angka pada kolom kunci yang bersesuaian. Selanjutnya baris kunci dipilih, yaitu baris yang mempunyai angka pengganti yang merupakan positif terkecil. 7. Mengganti angka-angka pada baris kunci dengan angka-angka baru. Angka- angka baru diperoleh dengan cara membagi semua angka yang ada pada baris kunci dengan nomor kunci. 8. Mengganti angka-angka baru pada baris lain dengan rumus sebagai berikut : Angka pada Angka pada baris lama angka pada Baris lama - yang ada diatas atau dibawah x baris kunci baru nomor kunci yang bersesuaian Universitas Sumatera Utara 9. Dimasukan atau disusun angka-angka baru tersebut ke dalam tebel simpleks yang kedua, kemudian mencari nilai Zj yang baru dan mencari nlai Cj – Zj masih ada angka positif lebih besar sama dengan nol, maka dilakukan lagi langkah-langkah dari langkah 6. Jika angka-angka pada baris Cj –Zj sudah tidak ada lagi yang positif lebih kecil sama dengan nol berarti bahwa kombinasi yang dicari sudah optimum. Dengan menggunakan model linier programming ini diharapkan perusahaan dapat lebih optimal menggunakan kapasitas produksi yang ada, sehingga perusahaan memperoleh laba yang maksimal. Dalam beberapa kasus, terdapat penyimpangan-penyimpangan dari persoalan dengan formulasi standar biasa yang bisa diselesaikan dengan metode simpleks. Penyimpangan tersebut dapat berupa tanda =, kendala bertanda ≥ atau bi negatif. Ada 4 cara formulasi, yaitu : 1. Apabila fungsi kendala bertanda ≤, tambahkan variabel slack 2. Apabila fungsi kendala bertanda =, tambahkan variabel artifisial 3. Apabila fungsi kendala bertanda ≥, kurangi dengan variabel slack dan tambahkan variabel artifisial. 4. Apabila nilai kanan fungsi kendala adalah negatif, maka harus diubah positif kalikan -1 dan sesuaikan dengan ketiga point diatas. Dalam dunia nyata belum tentu semua variabel atau parameter dapat diketahui secara pasti. Akan tetapi dengan Linear Programming selalu dapat dicoba untuk menyuguhkan solusi dari suatu masalah secara optimum, Universitas Sumatera Utara berdasarkan kondisi yang ada pada saat itu. Apabila kemudian parameter berubah, maka dapat diperbaiki lebih lanjut dengan menggunakan analisis parametik sehingga dapat diperoleh lagi solusi optimum berikutnya. Bentuk standar model LP dibuat dalam bentuk tabel simpleks sehingga memudahkan perhitungan. Adapun bentuk standar tabel simpleks adalah: Contoh : Maks. Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 + - X4 + X5 Kendala : X1 + 2X2 + 2 X3 + X4 = 8 ...1 3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 ...2 X1,..., X5 ≥ 0 Tabel 3.2. Bentuk Standar Tabel Simpleks Cb Cj 5 2 3 -1 1 Konstanta Basis X1 X2 X3 X4 X5 -1 X4 1 2 2 1 8 1 X5 3 4 1 1 7 row 3 4 Z= -1 row = Cj-CbPj Contoh : row 1 = 5--1,1 = 5 – -1+3 = 3 Z = Cbb = -1,1 = - 1 Dari tabel simpleks standar dapat dilihat bahwa bentuk dasar sudah dalam sistem kanonikal X4 hanya ada di pers 1 dan X5 hanya ada di pers 2, maka X4 dan X5 sebagai variabel basis. Jika simpleks standar tidak dalam bentuk kanonikal maka harus diubah ke dalam bentuk kanonikal dengan menambah variabel Universitas Sumatera Utara artificial. Berdasarkan bentuk standar, temukan solusi layak dasar awal initial basic feasible solution. Dari contoh diperoleh solusi awal : X1=X2=X3=0, X4=8 dan X5=7. Maka Z = 50 + 20 + 30 -18 + 17 = -1. Periksa optimalitas, dimana untuk maksimisasi solusi optimal jika semua row harus negatif atau nol. Dari Tabel 3.2. diketahui solusi belum optimal maka dilanjutkan dengan mencari solusi yang lebih baik. Untuk maksimisasi, pilih entering variable variabel nonbasis yang akan menjadi basis row paling positif X3 sebagai entering variable, dan leaving variable variabel basis yang akan keluar dari menjadi nonbasis berdasarkan hukum rasio minimum, yakni :82=4 atau 71 = 1. Maka dipilih X4 sebagai leaving variable. Tabel 3.3. Tabel Simpleks 1 Cb Cj 5 2 3 -1 1 Konstanta Basis X1 X2 X3 X4 X5 -1 X4 1 2 2 1 8 1 X5 3 4 1 1 7 row 3 4 Z= -1 Elemen perpotongan disebut elemen pivot dan untuk menghitung sistem kanonikal baru elemen harus dijadikan 1 dan elemen lain di kolom pivot dijadikan nol. Tabel 3.4. Tabel Simpleks 2 Cb Cj 5 2 3 -1 1 Konstanta Basis X1 X2 X3 X4 X5 3 X3 12 1 1 12 4 1 X5 52 3 -12 1 3 Universitas Sumatera Utara row 1 -4 -2 Z= 15 Dilakukan iterasi sampai diperoleh hasil optimal dimana row bernilai negatif atau nol. Berikut Tabel optimal untuk contoh diatas. Tabel 3.5. Tabel Simpleks 3 Cb Cj 5 2 3 -1 1 Konstanta Basis X1 X2 X3 X4 X5 3 X3 25 1 35 -15 175 5 X1 1 65 -15 25 65 row 1 -265 -95 -25 Z= 815

3.4.4. Metode Big M dan Dua Fase