Model Matematis Pemecahan Masalah dengan Metode Simpleks

X 1 + X 2 +X 3 ≤ 4500 e. Pembatas Tanda Pada kasus ini, ketiga variabel keputusan harus berharga non negatif sehingga harus dinyatakan bahwa : X 1 ≥ 0 , X 2 ≥ 0 , X 3 ≥ 0

5.2.2.3. Model Matematis

Dengan menggabungkan fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang ada, maka bentuk Dari model matematis linear programming untuk menentukan jumlah produksi optimal adalah : Maks Z = 375.000X1 + 350.000X2 + 400.000X3 Fungsi Kendala : 0,5 X1 + 0,6X2 + 0,5X3 ≤ 2500 0,0745 X1 + 0,0795 X2 + 0,077X3 ≤ 400 0,2885 X1 + 0,2565X2 + 0,3X3 ≤ 1900 5,3 X 1 + 6 X 2 + 6,7X 3 ≤ 21120 X 1 + X 2 +X 3 ≤ 4500 X 1 ≤ 1003 X 2 ≤ 2642 X 3 ≤ 669 X 1 ≥ 0 , X 2 ≥ 0 , X 3 ≥ 0 Universitas Sumatera Utara

5.2.2.4. Pemecahan Masalah dengan Metode Simpleks

Untuk menyelesaikan persoalan Linear programming dengan menggunakan metode simpleks dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Baris 0 Z - 375.000X1 - 350.000X2 - 400.000X3 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 + 0S 4 + 0S 5 + 0S 6 + 0S 7 +0S 8 : Konversi pada bentuk standar Berdasarkan pembatas : Baris 1 0,5 X1 + 0,6X2 + 0,5X3 + S 1 = 2500 Baris 2 0,0745 X1 + 0,07495 X2 + 0,077 X3 + S 2 = 400 Baris 3 0,2885 X1 + 0,2565X2 + 0,3 X3 + S 3 = 1900 Baris 4 5,3 X 1 + 6 X 2 + 6,7X 3 + S 4 = 21120 Baris 5 X 1 + X 2 + X 3 +S 5 = 4500 Baris 6 X 1 + S 6 = 1003 Baris 7 X 2 + S 7 = 2642 Baris 8 X 3 + S 8 = 669 X 1 , X 2 ,X 3 , S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 ,S 5, S 6, S 7, S 8 ≥ 0 Langkah2 Kolom basis menunjukkan variabel yang menjadi basis, yaitu S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 ,S 5, S 6, S 7, S 8 yang nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi. Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa variabel non basis X 1 , X 2 ,X 3 sama dengan :Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh ke dalam bentuk tabel. Universitas Sumatera Utara ng olomEnteri KoefisienK i NilaiSolus Rasio = nol, karena belum ada kegiatan. Tabel simpleks awal iterasi dapat dilihat pada Tabel 5.17. Tabel 5.17. Simpleks Awal Iterasi Iterasi Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z -375000 -350000 -400000 S 1 0,5 0,6 0,5 1 2500 S 2 0,0745 0,0795 0,077 1 400 S 3 0,2885 0,2565 0,3 1 1900 S 4 5,3 6 6,7 1 21120 S 5 1 1 1 1 4500 S 6 1 1 1003 S 7 1 1 2642 S 8 1 1 669 Langkah 3 Entering variabel atau variabel masuk adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah nilai tabel. Pilih kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar. : Menentukan entering variabel dan leaving Variabel Leaving Variabel baris kunci dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada entering variabel yang sebaris. Penentuan entering dan leaving variabel dapat dilihat pada Tabel 5.18. Universitas Sumatera Utara LV Tabel 5.18. Penentuan Entering Variabel dan Leaving Variabel Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solus i Rasio Z -375000 -350000 -400000 -375000 S 1 0,5 0,6 0,5 1 2500 5000 S 2 0,0745 0,0795 0,077 1 400 5194,805 S 3 0,2885 0,2565 0,3 1 1900 6333,33 S 4 5,3 6 6,7 1 21120 3152,23 S 5 1 1 1 1 4500 4500 S 6 1 1 1003 - S 7 1 1 2642 - S 8 1 1 669 669 Keterangan : X 3 = Kolom Entering Variabel S 8 = baris leaving Variabelpivot 1 = elemen pivot Langkah 4 Karena nilai negatif terbesar pada kolom X 3 maka, maka kolom X 3 adalah kolom pivot dan variabel masuk. Rasio pembagian dengan kolom pivot terkecil adalah 669 bersesuaian dengan baris S 8 , maka baris S 8 adalah baris pivot dan variabel keluar. Maka persamaan pivot baru dapat dilihat pada Tabel 5.19. : Menentukan persamaan pivot baru Tabel 5.19. Persamaan Pivot Baru Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z S 1 S 2 S 3 S 4 EV Universitas Sumatera Utara Tabel 5.19. Persamaan Pivot Baru Lanjutan Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi S 5 S 6 S 7 X 3 1 1 669 Langkah 5 Persamaan baru : : Menentukan persamaan-persamaan baru selain persamaan pivot baru. persamaan lama – koefisien kolom entering x persamaan pivot baru a = Persamaan lama b = koefisien kolom entering c = persamaan pivot baru Baris Z : a -375000 -350000 -400000 b -40000 c 1 1 669 bxc -400000 -400000 -267600000 a-c -375000 -350000 400000 267600000 Baris S1: a 0,5 0,6 0,5 1 2500 b 0.5 c 1 1 669 bxc 0,5 0,5 334,5 a-c 0,5 0,6 1 -0,5 2165,5 Baris S2 : a 0,0745 0,07495 0,077 1 400 b 0.077 c 1 1 669 Universitas Sumatera Utara bxc 0,077 0,077 51,513 a-c 0,0745 0,07495 1 -0,077 348,487 Baris S3 : a 0,2885 0,2565 0,3 1 1900 b 0.3 c 1 1 669 bxc 0,3 0,3 200,7 a-c 0,2885 0,2565 1 -0,3 1699,3 Baris S4: a 6 5,3 6,7 1 21120 b 6.7 c 1 1 669 bxc 6,7 6,7 4482,3 a-c 6 5,3 1 -6,7 16637,7 Baris S5 : a 1 1 1 1 4500 b 1 c 1 1 669 bxc 1 1 669 a-c 1 1 1 -1 3831 Baris S6 : a 1 1 1003 b c 1 1 669 bxc a-c 1 1 1003 Baris S7 : a 1 1 2642 b Universitas Sumatera Utara c 1 1 669 bxc a-c 1 1 2642 Berdasarkan persamaan-persamaan baru yang didapatkan diatas maka dapat dimasukkan ke dalam tabel yang dinamakan tabel iterasi 1. Selanjutnya diperiksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Hasil iterasi 1 dapat dilihat pada Tabel 5.20. Tabel 5.20. Iterasi 1 Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z -375000 -350000 400000 267600000 S 1 0,5 0,6 1 -0,5 2165,5 S 2 0,0745 0,0795 1 -0,077 348,487 S 3 0,2885 0,2565 1 -0,3 1699,3 S 4 5,3 6 1 -6,7 16637,7 S 5 1 1 1 -1 3831 S 6 1 1 1003 S 7 1 1 2642 X 3 1 1 669 Nilai pada baris fungsi tujuan Z pada variabel X 1 dan X 2 masih bernilai negatif, maka hasil iterasi belum optimal. Iterasi baru berhenti setelah pada baris fungsi tujuan sudah tidak ada nilai negatif. Oleh karena itu akan dilakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 5 hingga diperoleh hasil optimal untuk X 1 , X 2 , X 3 . Universitas Sumatera Utara Tabel 5.21. Penentuan EV dan LV Iterasi 1 Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Rasio Z -375000 -350000 400000 267600000 S 1 0,5 0,6 1 -0,5 2165,5 4331 S 2 0,0745 0,07495 1 -0,077 348,487 4677,67 S 3 0,2885 0,2565 1 -0,3 1699,3 5890,12 S 4 6 5,3 1 -6,7 16637,7 3139,188 S 5 1 1 1 -1 3831 3831 S 6 1 1 1003 1003 S 7 1 1 2642 - X 3 1 1 669 - Keterangan : X 1 = Kolom Entering Variabel S 6 = baris leaving Variabelpivot 1 = elemen pivot Persamaan pivot baru : Tabel 5.22. Persamaan Pivot Baru Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 X 1 1 1 1003 S 7 X 3 Universitas Sumatera Utara Baris Z : a -375000 -350000 400000 267600000 b -375000 c 1 1 1003 bxc -375000 -375000 -376125000 a-c -350000 375000 400000 643725000 Baris S1 : a 0,5 0,6 1 -0,5 2165,5 b 0.5 c 1 1 1003 bxc 0,5 0,5 501,5 a-c 0,6 1 -0,5 -0,5 1664 Baris S2 : a 0,0745 0,0795 1 -0,077 348,487 b 0.0745 c 1 1 1003 bxc 0,0745 0,0745 74,7235 a-c 0,0795 1 -0,0745 -0,077 273,7635 Baris S3 : a 0,2885 0,2565 1 -0,3 1699,3 b 0.2885 c 1 1 1003 bxc 0,2885 0,2885 289,3655 a-c 0,2565 1 -0,2885 -0,3 1409,9345 Baris S4 : a 5,3 6 1 -6,7 16637,7 b 5,3 c 1 1 1003 bxc 5,3 5,3 5315,9 Universitas Sumatera Utara a-c 6 1 -5,3 -6,7 11321,8 Baris S5 : a 1 1 1 -1 3831 b 1 c 1 1 1003 bxc 1 1 1003 a-c 1 1 -1 -1 2828 Baris S7 : a 1 1 2642 b c 1 1 1003 bxc a-c 1 1 2642 Baris X3 : a 1 1 669 b c 1 1 1003 bxc a-c 1 1 669 Berdasarkan persamaan-persamaan baru yang didapatkan diatas maka dapat dimasukkan ke dalam tabel yang dinamakan tabel iterasi 2. Selanjutnya diperiksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Hasil iterasi 2 dapat dilihat pada Tabel 5.23. Universitas Sumatera Utara Tabel 5.23. Iterasi 2 Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z -350000 375000 400000 643725000 S 1 0,6 1 -0,5 -0,5 1664 S 2 0,0795 1 -0,0745 -0,077 273,7635 S 3 0,2565 1 -0,2885 -0,3 1409,9345 S 4 6 1 -5,3 -6,7 11321,8 S 5 1 1 -1 -1 2828 X 1 1 1 1003 S 7 1 1 2642 X 3 1 1 669 Nilai pada baris fungsi tujuan Z pada variabel X 2 masih bernilai negatif, maka hasil iterasi belum optimal, proses iterasi akan dilanjutkan. Tabel 5.24. Penentuan EV dan LV Iterasi 2 Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z -350000 375000 400000 643725000 S 1 0,6 1 -0,5 -0,5 1664 S 2 0,0795 1 -0,0745 -0,077 273,7635 S 3 0,2565 1 -0,2885 -0,3 1409,9345 S 4 6 1 -5,3 -6,7 11321,8 S 5 1 1 -1 -1 2828 X 1 1 1 1003 S 7 1 1 2642 X 3 1 1 669 Keterangan : X 1 = Kolom Entering Variabel S 5 = baris leaving Variabelpivot 1 = elemen pivot Universitas Sumatera Utara Persamaan pivot baru: Tabel 5.25. Persamaan Pivot Baru Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z S 1 S 2 S 3 X 2 1 0,16 -0,88 1 -1,11 1886,96 S 5 X 1 S 7 X 3 Baris Z : a -350000 375000 400000 643725000 b -350000 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc -350000 -58345 309155 -350000 390845 -660438100 a-c 58345 65845 350000 9155 1304163100 Baris S1 : a 0,6 1 -0,5 -0,5 1664 b 0.6 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc 0,6 0,10002 -0,52998 0,6 -0,67002 1132,1796 a-c 1 -0,1 0,02998 -0,6 0,17002 531,8204 Baris S2 : a 0,0795 1 -0,0745 -0,077 273,7635 b 0,0795 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc 0,0795 0,01325 -0,07022 0,0795 -0,088778 150,013797 Universitas Sumatera Utara a-c 1 -0,0133 -0,00428 -0,0795 0,0117777 123,749703 Baris S3 : a 0,2565 1 -0,2885 -0,3 1409,9345 b 0,2565 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc 0,2565 0,04276 -0,22657 0,2565 -0,286434 484,006779 a-c 1 -0,0428 -0,06193 -0,2565 -0,013566 925,927721 Baris S5 : a 1 1 -1 -1 2828 b 1 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 a-c -0,1667 1 -0,1167 -1 0,1167 941,034 Baris X1 : a 1 1 1003 b c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc a-c 1 1 1003 Baris S7 : a 1 1 2642 b 1 c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 bxc 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 a-c -0,1667 0,8833 1,1167 755,034 Baris X3 : a 1 1 669 b c 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 Universitas Sumatera Utara bxc a-c 1 1 669 Berdasarkan persamaan-persamaan baru yang didapatkan diatas maka dapat dimasukkan ke dalam tabel yang dinamakan tabel iterasi 3. Selanjutnya diperiksa apakah tabel sudah optimal atau belum. Hasil iterasi 3 dapat dilihat pada Tabel 5.26. Tabel 5.26. Iterasi 3 Basis X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 Solusi Z 58345 65845 350000 9155 1304163100 S 1 1 -0,1 0,02998 -0,6 0,17002 531,8204 S 2 1 -0,0133 -0,00428 -0,0795 0,01177765 123,749703 S 3 1 -0,0428 -0,06193 -0,2565 -0,01356645 925,927721 X 2 1 0,1667 -0,8833 1 -1,1167 1886,966 S 5 -0,1667 1 -0,1167 -1 0,1167 941,034 X 1 1 1 1003 S 7 -0,1667 0,8833 1,1167 755,034 X 3 1 1 669 Solusi optimum tercapai pada iterasi ke-3, karena pada iterasi ke-3 koefisien dari seluruh variabel pada baris Z sudah berharga positif. Jumlah produksi optimal untuk bulan Oktober 2009 dengan menggunakan metode simpleks adalah : X 1 Pakan pellet = 1003 ton X 2 Pakan mess = 1887 ton X 3 Pakan Crumble = 669 ton Universitas Sumatera Utara Fungsi tujuan dimana dalam hal ini adalah keuntungan yang akan diperoleh perusahaan apabila melakukan proses produksi pada bulan oktober adalah: Z = Rp. 375.000X1 + Rp. 350.000X2 + R.p. 400.000X3 = Rp. 375.000 1003 + Rp. 350.000 1887 + Rp. 400.000 669 = Rp. 1.304.175.000 Untuk perhitungan pada bulan November dan Desember dapat dilakukan dengan langkah yang sama. Proses perhitungan dapat dilihat pada lampiran 4. Hasil rekapitulasi penentuan jumlah produksi dengan menggunakan metode simpleks pada bulan Oktober, November, Desember dapat dilihat pada Tabel 5.27. Tabel 5.27. Rekapitulasi Penentuan Jumlah Produksi dengan Metode Simpleks Bulan Pellet Ton Mess Ton Crumble Ton Laba Oktober 1003 1887 669 Rp. 1.304.175.000 November 1132 1354 615 Rp. 1.144.161.000 Desember 920 1762 560 Rp. 1.185.700.000 Universitas Sumatera Utara

BAB VI ANALISIS PEMECAHAN MASALAH

6.1. Analisis Perencanaan Produksi Perusahaan Saat ini.

Saat ini perencanaan produksi PT Gold Coin Medan Mill untuk menentukan jumlah pakan ternak yang akan diproduksi dilakukan berdasarkan perkiraan pola permintaan masa lalu. Seperti yang diketahui, bahwa hasil interpretasi peramalan tidak akan terlalu jauh berbeda dengan pola data permintaan tahun sebelumnya. Perkiraan yang dilakukan belum mempertimbangkan keterbatasan perusahaan dalam hal kapasitas mesin, bahan baku dan produksi yang optimum untuk setiap jenis pakan yang diproduksi. Seperti diketahui, proses produksi dapat dilakukan jika tersedia tenaga kerja, mesin, bahan baku dan modal yang cukup. Jika salah satu dari elemen ini tidak terpenuhi maka proses produksi akan mengalami gangguan bahkan dapat mengakibatkan proses produksi harus dihentikan. Hal ini dapat terjadi di PT Gold Coin Medan Mill, karena acuan produksi hanya berdasarkan perkiraan permintaan. Secara umum proses produksi telah berjalan cukup baik, namun perusahaan mengharapkan adanya metode perencanaan produksi yang lebih baik yang dapat mengalokasikan sumber daya terbatas dengan efisien. Keuntungan maksimum pada bulan Oktober dapat diperoleh perusahaan apabila perusahaan mampu memproduksi bahan sesuai dengan jumlah permintaan yaitu: Universitas Sumatera Utara