pembelajaran matematika dianggap maksimalbaik jika mencapai angka 70. Untuk selanjutnya pada penelitian ini disebutkan bahwa jika keaktifan siswa mencapai
skornilai lebih dari 70 berarti keaktifan siswa mencapai ketuntasan dan jika keterampilan berproses siswa mencapai skornilai lebih dari 70 berarti keterampilan
berproses siswa mencapai ketuntasan.
H. Pembelajaran Program Linear
A. Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel Pertidaksamaan linier dua variabel peubah adalah pertidaksamaan yang di
dalamnya memuat dua variabel yang masing-masing berderajat satu. Bentuk-bentuk pertidaksamaan linier dua variabel dengan a,b,c
є R dan x serta y peubah adalah sebagai berikut: ax + by
≥ c, ax + by c , ax + by ≤ c , dan ax + by c Adapun himpunan penyelesaian adalah himpunan semua titik x,y pada
sistem koordinat cartesius yang memenuhi pertidaksamaan linier dua variabel. Sistem pertidasamaan linier adalah sistem yang komponen-komponennya terdiri dari
sejumlah berhingga pertidaksamaan linier. Penyelesaian yang kita dapatkan adalah merupakan penyelesaian untuk satu sistem tersebut, bukan untuk masing-masing
pertidaksamaan. Secara grafis penyelesaian tersebut adalah berupa sebuah daerah yang merupakan irisan dari pertidaksamaan-pertidaksamaan yang ada pada sistem
tersebut. Contoh:
1. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari: a. x + 3y 6
b. x + 3y ≥ 6
2. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut :
a. x ≥ 2 , 4x + 3y ≤ 24, dan y ≥ 0
b. 2x + y ≤ 6 , 2x + 2y ≤ 8 , x ≥ 0 dan y ≥ 0
3. Tentukan sistem pertidaksamaan linier untuk daerah himpunan penyelesaian dari gambar yang diarsir berikut ini:
Y 0,6
0,4
4,0 8,0 X
Jawab:
1. Terlebih dahulu kita buat garis dengan persamaan x + 3y = 6 masih ingat ? ingat, bahwa garis tersebut adalah memotong sumbu X di titik 6,0 dan
memotong sumbu Y di titik 0,2. Coba buat caranya a. x + 3y 6 , untuk mencari Himpunan Penyelesaian HP dari pertidaksamaan
ini dapat kita lakukan dengan cara: Ambil sembarang titik misalnya adalah 0,0. Substitusikan titik 0,0 ini kedalam
pertidaksamaan x + 3y 6, apakah memenuhi ? ternyata 0,0 memenuhi pertidaksamaan x + 3y 6 , sebab : 0 + 3.0 = 0 dan 0 6 betul. Dengan
demikian maka penyelesaiannya dapat ditunjukkan dengan daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini , yaitu daerah yang memuat titik 0,0:
Y
0,2
6,0 X
b. Diskusikan secara kelompok
2. a. Langkah pertama adalah menentukan daerah HP untuk masing-masing pertidaksamaan : x
≥ 2 , 4x + 3y ≤ 24, dan y ≥ 0 masih ingat caranya ?. Kemudian tentukan daerah irisannya, yaitu seperti pada gambar di bawah ini,
sehingga daerah irisan inilah yang merupakan HP dari sistem pertidaksamaan yang ditanyakan.
Y
0,8
6,0 X
x = 2 b. Diskusikan
3. Tampak bahwa daerah yang diarsir berada di kuadran I, ini artinya bahwa x ≥ 0
dan y ≥ 0
Persamaan garis I melalui titik 0,4 dan 8,0 yaitu 4x + 8y =32 ↔ x + 2y = 8.
Karena daerah yang diarsir berada di bawah garis maka diperoleh pertidaksamaannya : x + 2y
≤ 8 coba anda diskusikan bersama kelompoknya Persamaan garis II melalui titik 0,6 dan 4,0 yaitu 6x + 4y =24
↔ 3x + 2y = 12. Karena daerah yang diarsir berada di bawah garis maka diperoleh
pertidaksamaannya : 3x + 2y ≤ 12 coba anda diskusikan bersama
kelompoknya. Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang
diarsir adalah: x ≥ 0 dan y ≥ 0 , x + 2y ≤ 8 dan 3x + 2y ≤ 12
B. Program linier dan Model Matematika 1. Model Matematika
Model matematika adalah suatu penulisan problem sehari-hari dalam bentuk matematika, yaitu dengan menggunakan variabel-variabel dalam persamaan-
persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan. Contoh:
Seorang pengusaha kue akan membuat donat dan kue tart. Biaya yang dibutuhkan untuk membuat tiga buah donat dan sebuah kue tart adalah Rp
18.000,00. Cabang dari pengusaha tersebut juga membuat kue dengan jenis yang sama. Adapun biaya yang dibutuhkan cabang penguasaha itu dalam membuat dua
buah donat dan dua buah kue tart adalah Rp 24.000,00. Buatlah model matematika untuk persoalan tersebut
Jawab: Jika biaya produksi satuan untuk donat adalah x dan biaya produksi satuan untuk kue
tart adalah y maka:
Biaya produksi pengusaha tersebut adalah 3x + y = 18.000 dan Biaya produksi dari cabang pengusaha itu adalah 2x + 2y = 24.000.
Karena x dan y bilangan bulat yang tidak negatif kenapa? maka x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Jadi, model matematika untuk persoalan tersebut di atas adalah:
3x + y = 18.000 ; x ≥ 0
2x + 2y = 24.000 ; y ≥ 0
2. Model Matematika dari Permasalahan Program Linear Model matematika pada permasalahan program linear di dalamnya terdiri dari
bentuk-bentuk pertidaksamaan sebagai kendala atau keterbatasan dan sebuah bentuk fungsi objektif yang harus dipenuhi pada permasalahan tersebut. Adapun hal yang
membedakan model matematika pada program linear adalah selalu bertanda “ ≥ “
atau “ ≤ “ dengan peubah x dan y yang selalu positif coba diskusikan kenapa x dan
y selalu positif ? Contoh:
Seorang pengusaha topi akan membuat dua jenis topi yang terdiri dari dua warna kain, yaitu warna kuning dan biru. Kain kuning tersedia 50 meter dan kain biru
tersedia 70 meter. Topi jenis I membutuhkan kain warna kuning 15 cm dan warna biru 10 cm. Topi jenis II membutujkan kain warna kuning 10 cm dan kain warna biru
25 cm. Keuntungan dari topi jenis I adalah Rp 750,00 dan topi jenis II adalah Rp 1.200,00. Buatlah model dari permasalahan program linear itu untuk mendapatkan
keuntungan yang sebesar-besarnya. Jawab:
Untuk memudahkan membuat model permasalahan tersebut, dapat digunakan tabel sebagai berikut:
Topi I Topi II
Kain kuning 15 cm
10 cm 5000 cm
Kain biru 10 cm
25 cm 7000 cm
Keuntungan Rp 750,00
Rp 1.200,00 Misalkan banyaknya topi I adalah x dan topi II adalah y, maka:
Karena banyaknya kain terbatas dan tidak dapat melampaui jumlah yang tersedia, maka dapat dibuatkan kendalanya sebagai berikut.
15x + 10y ≤ 5000
↔ 3x + 2y ≤ 1000 10x + 25y
≤ 7000 ↔ 2x + 5y ≤ 1400
fungsi objektif dapat ditunjukkan dengan keuntungan yang bisa diperoleh yaitu: f : 750x + 1200y
x dan y menunjukkan jumlah, maka x ≥ 0 dan y ≥ 0
Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut di atas adalah : x
≥ 0 , y ≥ 0 , 3x + 2y ≤ 1000 , 2x + 5y ≤ 1400 , dan f : 750x + 1200y C. Menggambarkan Kendala dari sebuah Sistem Pertidaksamaan Linear
Kendala pada program linear adalah berbentuk pertidaksamaan, yang dapat terdiri lebih dari satu bentuk pertidaksamaan linear dengan dua peubah.
Menggambarkan sebuah kendala sama dengan menggambarkan daerah penyelesaian dari sebuah pertidaksamaan. Dengan demikian, apa yang dimaksud dengan
menggambarkan kendala dari sebuah program linear ? coba diskusikan dengan teman kelompoknya.
Contoh: Seorang pengusaha kue memiliki 10 kg terigu dan 6 kg gula. Ia akan membuat
dua jenis kue, dimana kue jenis I membutuhkan 800 gram terigu dan 300 gram gula dan kue jenis II membutuhkan 600 gram terigu dan 400 gram gula. Gambarkan
kendala pada permasalahan pengusaha tersebut. diskusikan Jawab:
Kendala untuk terigu : 800x + 600y ≤ 10.000 ↔ 4x + 3y ≤ 50
Kendala untuk gula : 300x + 400y ≤ 6.000
↔ 3x + 4y ≤ 60 Coba gambarkan sistem pertidaksamaan pada kendala tersebut
D. Nilai Optimum satu Fungsi Objektif Nilai optimum yang diperoleh dari suatu permasalahan program linear dapat
berupa nilai terbesar nilai maksimum atau nilai terkecil nilai minimum. Hal yang akan menentukan nilai maksimum atau nilai minimum adalah permasalahannya , yang
dapat dicirikan dengan model kendalanya. Untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dari sebuah system yang diketahui dapat dilakukan dengan cara
menggunakan uji titik pojok. Contoh :
Tentukanlah : a. Nilai minimum f : x + 3y dari sistem pertidaksamaan : 2x + y
≥ 4, x + 3y ≥ 6, x ≥ 0 dan y
≥0 b. Nilai maksimum f : 4x + 3y dari sistem pertidaksamaan : x + y
≥ 4 , 2x + y
≤ 6 , x ≥ 0 dan y ≥0
Jawab: a. Buat daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y
≥ 4; x + 3y ≥ 6 ; x ≥ 0 dan y ≥0 pada sistem koordinat kartesius diskusikan
Diperoleh titik potong kedua garis dengan persamaan 2x + y = 4 dan x + 3y = 6 adalah
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
5 8
, 5
6 diskusikan berapa sajakah titik pojok-titik pojoknya?
selanjutnya kita lakukan uji titik pojok sebagai berikut:
Titik Pojok f
x,y = x + 3y
0,4 12
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
5 8
, 5
6 6
6,0 6
Jadi, nilai minimumnya adalah 6, yaitu pada titk 6,0 dan ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ 5
8 ,
5 6
b. Diskusikan dengan teman kelompoknya.
I. Pemecahan Masalah dalam Matematika
Pemecahan masalah merupakan bagian kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya, siswa
