Contoh 2 Penyelesaian Numeris Masalah Nilai Awal

47 dapat dilihat untuk � = 6 , metode Euler dan metode Heun mempunyai kesalahan maksimum yang sangat kecil ≤ . . Dengan mengambil nilai � yang semakin besar, maka kesalahan maksimum dari ketiga metode numeris tersebut akan semakin kecil. Berikut ini adalah gambar penyelesaian numeris dan kesalahan maksimum dari ketiga metode numeris untuk � = . Gambar 4. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 2. 48 Gambar 5. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 2. Pada Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dilihat bahwa penyelesaian ketiga metode numeris tersebut konvergen ke penyelesaian eksaknya. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 2 yang menyatakan bahwa ketiga metode numeris tersebut mempunyai kesalahan maksimum yang sangat kecil ≤ . . Untuk � = , metode Heun mempunyai penyelesaian numeris yang lebih akurat dibandingkan dengan metode Euler dan metode blok rasional, namun kelema- han metode Heun adalah tidak dapat menyelesaikan masalah nilai awal untuk � = . Jadi, dapat disimpulkan bahwa semakin besar nilai �, maka akan semakin pendek jarak tiap titik ℎ . Hal ini mengakibatkan kesalahan dari metode numeris tersebut juga akan semakin kecil seiring dengan bertambahnya nilai �. Oleh karena itu, ketiga metode numeris tersebut dapat menyelesaikan masalah nilai awal dengan baik untuk � yang cukup besar. 49

3. Contoh 3

Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut: ′ = + , = , ∈ [ , ]. Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variable terpisah. Berdasarkan penyelesaian analitis masalah nilai awal pada bab II, diperoleh penyelesaian eksaknya, yaitu: = tan + � . Penyelesaian eksak tersebut mempunyai titik singular yaitu = � . Jika = � maka nilai = tan � akan menuju tak hingga infinity. Dari penyelesaian khusus tersebut, dapat dicari kesalahan maksimum dari penyelesaian numeris. Tabel 3. Kesalahan maksimum untuk contoh 3. Disini inf adalah infinity . � Euler Heun Rational Block 32 186471279.48 inf 13.92 64 Inf inf 3.64 128 Inf inf 1.20 256 Inf inf 67.13 Pada Tabel 3 dapat dilihat bahwa untuk � berukuran kecil maupun be- sar, metode Euler dan metode Heun tidak dapat menyelesaikan masalah nilai awal tersebut. Hal ini terjadi karena saat = ð metode Euler dan metode Heun mempunyai penyelesaian numeris yang divergen. Jadi un- tuk x selanjutnya, penyelesaian numeris tersebut akan selalu bernilai tak PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50 hingga inf . Namun hal ini tidak berlaku untuk metode blok rasional, metode ini mampu menyelesaikan masalah nilai awal dengan cukup baik. Walaupun metode blok rasional mampu menyelesaikan masalah nilai awal ini dengan cukup baik, metode ini mempunyai kesalahan. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 3, kesalahan maksimum dari metode blok rasional . . Secara khusus untuk � = 6, metode ini mempunyai penyelesaian numeris, yaitu 67.13. Berikut ini adalah gambar penyelesaian numeris dan kesalahan maksimum untuk � = 6 . Gambar 6. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 3. 51 Gambar 7. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 3.