Persamaan diferensial biasa yang bisa langsung diintegralkan. Persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah. Persamaan diferensial biasa linier

20 � + � = � . Persamaan tersebut dapat diubah menjadi, [ � ] = � ≡ � + � = � , sehingga diperoleh � = � ≡ � � = Dengan pengintegralan diperoleh: ∫ � � = ∫ ≡ ln | � | = ∫ ≡ � = � ∫ � � �� . Diperoleh faktor integral, yaitu: � = � ∫ � � �� . Karena faktor integral diketahui, maka dapat dicari penyelesaian dari persamaan diferensial biasa linier tingkat satu. + = ≡ � + � = � ≡ [ � ] = � . Dengan pengintegralan diperoleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21 ∫ [ � ] = ∫ � ≡ � = ∫ � + � ≡ = � [∫� + �] , dengan � adalah suatu konstanta. Jadi, diperoleh penyelesaian persa- maan diferensial biasa linier tingkat satu, yaitu: = � [∫� + �] .

2. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Dua

Pada bagian ini akan dijelaskan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua, yaitu a persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen, b persamaan diferensial biasa koefisien konstan non homogen.

a. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen

Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen: + + = dengan , , adalah konstanta. Misalkan penyelesaian umum persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen yaitu = � �� . Maka dapat dicari turunan pertama dan kedua dari penyelesaian tersebut, yaitu: ′ = � � � , ′′ = � � � , 22 dengan � adalah konstanta. Dengan mensubstitusikan ′ dan ′′ , d iperoleh: + + = ≡ ′′ + ′ + = ≡ � � �� + � � �� + � �� = ≡ � � � + � + = . Diketahui bahwa � � ≠ , maka � + � + = . Sehingga di- peroleh persamaan karakteristik � + � + = . Dari persa- maan karakteristik diatas terdapat tiga kemungkinan dalam menen- tukan akar-akarnya. 1 Terdapat dua akar real berbeda, yaitu � dan � . 2 Terdapat satu akar real yang sama, yaitu � = � 3 Terdapat dua akar kompleks Diasumsikan akar-akar dari persamaan karakteristik real berbeda. Dengan demikian diperoleh dua penyelesaian, yaitu: = � � , = � � . Jadi, penyelesaian umum persamaan diferensial biasa homogen ting- kat dua menjadi: = + , atau = � � � + � � � , Dengan , adalah konstanta. 23

b. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan non-homogen.

Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen: + + = , dengan , , adalah konstanta dan ≠ adalah fungsi dalam x . Penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu. Misalkan � dan � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen, maka: � ′′ + � ′ + � = , dan � ′′ + � ′ + � = . Dengan mengeliminasi kedua persamaan diferensial tersebut, di- peroleh: � ′′ − � ′′ + � ′ − � ′ + � − � = . Dengan kata lain, � − � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen. Diketahui bahwa per- samaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen mempunyai penyelesaian umum: = + . Hal ini berakibat, � − � = � + � , atau dapat ditulis, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI