44
Gambar 2. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 1.
Gambar 3. Kesalahan penyelesaian numeris untuk Contoh 1.
45
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa penyelesaian ketiga metode numeris tersebut selalu mendekati penyelesaian eksaknya. Hal ini berarti ketiga
metode numeris tersebut cukup baik sebagai pendekatan penyelesaian eksaknya. Selain itu, ketiga metode numeris tersebut dapat
menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan baik. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3 dengan kesalahan maksimum dari metode
numeris tersebut kurang dari sama dengan 0.066654. Jadi dapat disim- pulkan bahwa dengan nilai kesalahan maksimum yang kecil
≤ . 666
, maka ketiga metode numeris tersebut dapat menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 1 dengan baik.
2. Contoh 2
Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut:
′′
+
′
+ = ,
= . ,
′
= − , ∈ [ , ].
Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan koefisien konstan homogen. Karena ketiga metode
numeris tersebut tidak dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa tingkat dua, maka persamaaan diferensial tersebut harus diubah ke ben-
tuk persamaan diferensial biasa tingkat satu. Misal:
′
=
, dengan
= . maka
46
′
= − −
, dengan
= − . Berdasarkan penyelesaian analitis masalah nilai awal pada bab II, di-
peroleh penyelesaian eksaknya, yaitu: = .
�
−
+
�
−
. Karena
diketahui, maka dapat dihitung
′
= . Sehingga di-
peroleh: = −
�
−
−
�
−
. Dari penyelesaian eksak tersebut, dapat dicari kesalahan maksimum dari
penyelesaian numerisnya.
Table 2. Kesalahan maksimum untuk Contoh 2
� Euler
Heun Blok Rasional
32 298872461.45
1.253348 x 1012
0.017842
64 0.007843
0.004487 0.003982
128 0.002421
0.000661 0.000940
256 0.000880
0.000126 0.000233
Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa untuk � yang berukuran kecil pada masalah
ini yaitu � =
metode Euler dan metode Heun mempunyai kesalahan maksimum yang sangat besar. Hal ini terjadi karena ketidakstabilan metode
Euler dan metode Heun untuk nilai � yang berukuran kecil. Namun demikian,
hal tersebut tidak berlaku untuk metode blok rasional. Metode ini mampu menyelesaikan masalah nilai awal dengan baik, dengan kesalahan maksimum
0.017842.
Jika diambil nilai � yang lebih besar, metode Euler dan metode
Heun mampu menyelesaikan masalah nilai awal ini dengan baik. Hal tersebut
47
dapat dilihat untuk � = 6 , metode Euler dan metode Heun mempunyai
kesalahan maksimum yang sangat kecil ≤
.
. Dengan mengambil nilai
� yang semakin besar, maka kesalahan maksimum dari ketiga metode numeris tersebut akan semakin kecil. Berikut ini adalah gambar penyelesaian
numeris dan kesalahan maksimum dari ketiga metode numeris untuk � =
.
Gambar 4. Penyelesaian eksak dan numeris untuk Contoh 2.
