60
�+
−
�+
=
�
+ ℎ �
�
+ ℎ
�
� ′
+ ℎ
6 �′′ � −
�
+ ℎ �
�
+ ℎ
�
� ′
+ ℎ
�′′ �
= ℎ
6 �
′′
� − ℎ
�′′ �
= − ℎ
�
′′
� .
Jadi, diperoleh kesalahan pemotongan lokal metode Heun yaitu −
ℎ
3
�
′′
� = −
ℎ
3
′′′ � . Karena metode Heun memotong deret Taylor
�+
di sekitar
�
sampai tingkat kedua, maka metode Heun memiliki tingkat keakuratan yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode Euler. Misalkan
|
′′′ �
|
≤ , maka dapat dicari kesalahan pemotongan global dari metode Heun, yaitu:
|
�
�
|
≤ � ℎ
[�
x−x �
− ]
≤ − ℎ
[�
x−x �
− ]
.
Berdasarkan definisi kekonvergenan, maka: lim
ℎ→
max
≤�≤�
|
− ℎ
[
�
x−x
−
]|
= . Karena
|
�
�
|
= , maka metode Heun konvergen.
D. Kekonvergenan Metode Blok Rasional
Berdasarkan simulasi pada bab III, Contoh 1, Contoh 2, Contoh 3 dapat dilihat bahwa secara keseluruhan kekonvergenan metode blok rasional lebih
61
baik dibandingkan dengan metode Euler dan metode Heun. Hal tersebut dapat dilihat pada Tabel 1, Tabel 2, Tabel 3 dan Gambar 2, Gambar 4, Gambar 6
dimana penyelesaian metode blok rasional selalu konvergen ke penyelesaian eksaknya. Teori kekonvergenan metode blok rasional dapat dilihat dalam
makalah Teh, dkk 2014.
62
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal, yaitu dengan cara analitis atau dengan cara numeris.
Penyelesaian masalah nilai awal secara numeris dapat dilakukan dengan berbagai macam metode. Dalam tugas akhir ini digunakan tiga macam
metode numeris, yaitu metode Euler, metode Heun, dan metode blok rasional. Dari analisis numeris dan simulasi-simulasi yang telah dilakukan
pada bab III, diperoleh hasil bahwa metode blok rasional mempunyai penyelesaian yang lebih baik dibandingkan dengan metode Euler dan
metode Heun. Secara umum, metode blok rasional dapat menyelesaikan masalah nilai awal dengan cukup baik. Maksud dari cukup baik di sini
yaitu bahwa metode blok rasional mempunyai penyelesaian yang selalu mendekati penyelesaian eksaknya. Hal ini berbeda dengan metode Euler
dan metode Heun. Metode Euler dan metode Heun dapat dengan baik menyelesaikan masalah nilai awal tertentu, namun metode Euler dan
metode Heun tidak dapat menyelesaikan masalah nilai awal untuk masalah tertentu yang lain. Kelemahan metode Euler dan metode Heun yaitu kedua
metode tersebut tidak dapat menyelesaikan masalah nilai awal yang mempunyai titik singular.
