26
′′
+
′
+ = ,
dengan nilai awal = . ,
′
= − . Penyelesaian:
Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan koefisien konstan homogen. Dari masalah nilai
awal diketahui
′′
+
′
+ = .
Misalkan penyelesaian umum persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen yaitu
= �
��
. Maka dapat dicari turunan pertama dan kedua dari penyelesaian umum tersebut, yaitu:
′
= ��
�
,
′′
= � �
�
,
dengan �
�
≠ . Dengan mensubstitusikan
′
dan
′′
ke dalam masa- lah nilai awal, maka diperoleh:
� �
�
+ ��
�
+ �
�
= ≡
� + � +
�
�
= ≡
� + � +
= . Diperoleh persamaan karakteristik:
� + � +
. Dari persamaan karakteristik tersebut dapat dicari akar-akarnya, yaitu:
� = − ,
� = − . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Persamaan karakteristik tersebut mempunyai dua akar real berbeda. Dengan mensubstitusikan
� dan � ke dalam penyelesaian umumnya, maka diperoleh:
= �
−
,
= �
−
.
Sehingga penyelesaian umumnya menjadi: =
+ = �
− �
+ �
−�
.
Diketahui nilai awalnya = . ,
′
= − . Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya.
❖ Untuk = . .
Dengan mensubstitusikan = diperoleh
= �
− �
+ �
−�
= ≡
�
− .
+ �
−
= . ≡
+ = .
❖ Untuk
′
= − . Dari
= �
− �
+ �
−�
,
diperoleh
′
= − �
−
− �
−
.
Dengan mensubstitusikan = diperoleh
′
= − �
−
− �
−
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
≡ −
�
− .
− �
−
= − ≡
− − = −
Dengan mengeliminasi dan diperoleh: = . ,
= . Sehingga diperoleh penyelesaian khususnya, yaitu:
= . �
− �
+ �
−�
.
c. Contoh 3.
Diberikan masalah nilai awal
′
= +
,
dengan nilai awal = .
Penyelesaian: Masalah nilai awal tersebut merupakan persamaan diferensial biasa
dengan variabel terpisah. Dari
= +
,
karena
+
maka dengan mengalikan
+
disetiap ruas, diperoleh:
+ =
. iii.1
Penyelesaian umum persamaan iii.1 diperoleh sebagai berikut: +
= ,
29
dengan pengintegralan diperoleh
∫
+ =
∫ ,
sehingga arctan
= + �, atau
= tan + � . Diketahui nilai awalnya
= . Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan mensubsti-
tusikan = , diperoleh:
= tan + � = ,
atau
tan � = , atau
� = �
.
Jadi penyelesaian khususnya: = tan
+
� .
Pada bab II ini, telah dipaparkan pengertian dan penyelesaian persamaan diferensial biasa secara analitis. Selain itu, disajikan pula metode numeris untuk
masalah nilai awal dengan metode Euler dan metode Heun. Kedua metode terakhir ini metode Euler dan metode Heun akan dijadikan pembanding bagi
metode blok rasional yang akan dipaparkan dalam bab III. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
BAB III METODE BLOK RASIONAL
A. Rumusan Metode Blok Rasional
Metode blok rasional merupakan suatu metode yang digunakan untuk me- nyelesaikan masalah nilai awal dari suatu persamaan diferensial biasa. Metode
ini merupakan gabungan dari metode satu langkah dan metode dua langkah. Untuk menghitung nilai hampiran , metode blok rasional membentuk sebuah
barisan blok dimana dalam satu blok terdiri dari tiga titik. Diberikan masalah nilai awal sebagai berikut:
′
= � , , = �
3.1.1 dengan
� , : ℝ → ℝ dan � , diasumsikan memenuhi semua syarat- syarat pada masalah nilai awal tersebut, sehingga masalah nilai awal
mempunyai penyelesaian yang tunggal. Jika semua kondisi terpenuhi maka masalah nilai awal 3.1.1 mempunyai penyelesaian yang tunggal. Lebih
lanjut, akan dipaparkan proses penghitungan metode blok rasional. Misal akan dicari penyelesaian numeris
dalam suatu interval atas variabel . Oleh karena itu, dibentuk interval pengintegralan numerisnya yaitu
∈ [ , ] ⊂ ℝ dengan adalah titik awal dan adalah titik akhir interval atas variabel . Metode blok rasional mempunyai proses penghitungan yang
sederhana, yaitu menghitung penyelesaian numeris dari suatu blok ke blok lainnya. Oleh karena itu, interval
∈ [ , ] ⊂ ℝ didiskretkan menjadi se- buah barisan titik-titik, sehingga menjadi:
31
{
, , …
�
,
�+
, … ,
}
⊂ ℝ Setelah interval tersebut didiskretkan menjadi sebuah barisan titik-titik,
kemudian barisan tersebut dibagi menjadi beberapa bagian ke dalam sebuah barisan blok dengan setiap blok terdiri dari tiga titik yang diilustrasikan seperti
pada Gambar 1.
Gambar 1. Metode blok rasional.
Pada Gambar 1, dapat dilihat bahwa blok ke- � terdiri dari tiga titik yaitu
�
,
�+
dan
�+
. Pada blok ke- �, setiap titik di dalam blok tersebut
dipisahkan oleh ukuran langkah ℎ yang konstan. Pada blok ke- � + , blok
ini juga terdiri dari tiga titik, yaitu
�+
,
�+
dan
�+
dengan setiap titik di dalam blok tersebut juga dipisahkan oleh ukuran langkah
ℎ yang konstan. Lebih umum, setiap titik dalam interval atas variabel dipisahkan oleh suatu
ukuran langkah ℎ yang konstan.
Untuk menghitung nilai hampiran pada setiap titik, maka terlebih da-
hulu harus diketahui nilai awalnya. Jika nilai awal diketahui, maka nilai ham- piran
pada setiap titik dapat dihitung. Dari Gambar 1 dapat dilihat, misalkan pada blok ke-
� nilai hampiran
�
diketahui. Disini nilai hampiran
�
artinya nilai di titik
�
atau bisa ditulis
�
. Karena nilai hampiran
�
32
diketahui maka untuk menghitung nilai hampiran
�+
diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
. Dengan menggunakan metode rasional satu langkah, maka nilai hampiran
�+
dapat dihitung. Selanjutnya, untuk menghitung nilai hampiran
�+
diperlukan informasi pada titik sebelumnya, yaitu
�
,
�
dan
�+
,
�+
. Dengan menggunakan metode rasional dua langkah, maka nilai hampiran
�+
dapat dihitung. Jadi, nilai hampiran
�
di titik
�
digunakan untuk menghitung nilai hampiran
�+
dan
�+
secara ber- samaan dalam satu iterasi.
Dengan proses yang sama, nilai hampiran
�+
yang telah diperoleh dari penghitungan sebelumnya, digunakan untuk menghitung nilai hampiran
�+
dengan metode rasional satu langkah dan menghitung nilai hampiran
�+
dengan metode rasional dua langkah. Secara keseluruhan, proses penghi- tungan yang sama diulang sebanyak berhingga kali sampai mendapatkan nilai
hampiran di titik akhir, yaitu .
Berikut ini merupakan analisis metode blok rasional. Pada sumbu- , dapat didefinisikan bahwa titik
�
,
�+
dan
�+
diberikan oleh:
�
= + � ℎ, 3.1.2
�+
= + � + ℎ =
�
+ ℎ, 3.1.3
�+
= + � + ℎ =
�
+ ℎ. 3.1.4
Di sini adalah titik awal interval atas variabel
x
dan ℎ merupakan ukuran
langkah yang konstan atau ℎ merupakan jarak antar titik yang saling berdeka-
tan. Nilai
h
diperoleh dengan rumus ℎ =
�
�
− � �
dengan � adalah banyaknya