Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan
55
≤ || | − | || dengan demikian
� , memenuhi syarat Lipschitz di D dengan konstanta Lipschitz
= .
Lemma 4.6.
Untuk setiap − dan , berlaku ≤
+ ≤ �
�
.
Bukti:
Dengan menerapkan Teorema Taylor untuk �
= �
�
, = dan � = ,
diperoleh: � = � +
− � +
− �
�
,
� = � + −
� + −
�
�
,
� = + + �
�
,
dengan � . Dari persamaan di atas diperoleh:
≤ + ≤ + + �
�
= �
�
.
Karena +
, maka ≤
+ ≤ �
�
.
∎
Teorema 4.7.
Misalkan syarat Lipschitz dengan konstanta Lipschitz dan kesalahan pemotongan lokal terbatas oleh
�
�
ℎ ≤ � ℎ = max
≤�≤�
|
�
�
ℎ
|
, maka kesalahan pemotongan global terbatas oleh:
56
|
�
−
�
|
≤ � ℎ
[
�
x−x
−
].
Bukti:
Dari definisi kekonvergenan diketahui bahwa �
�
adalah kesalahan pemotongan global dan
�
�
ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Diketahui bahwa
� = , oleh karena itu dapat dicari: �
�+
= |
�+
−
�+
| = |
�
+ ℎ �
�
,
�
−
�+
| = |
�
−
�
− ℎ [
�+
−
�
ℎ − �
�
,
�
]|
= |
�
−
�
− ℎ [
�+
−
�
ℎ − �
�
,
�
]
+ ℎ[�
�
,
�
− �
�
,
�
]|
≤ |
�
−
�
| − ℎ |
�+
−
�
ℎ − �
�
,
�
| + ℎ|�
�
,
�
− �
�
,
�
|
.
Dengan menerapkan definisi kesalahan pemotongan lokal dan syarat Lipschitz, maka diperoleh:
�
�+
≤ |�
�
| − ℎ|�
�
ℎ | + ℎ |
�
−
�
| ≤ |�
�
| − ℎ|�
�
ℎ | + ℎ |�
�
| ≤ |�
�
| + ℎ − ℎ|�
�
ℎ |
.
Dari hasil di atas dapat dicari nilai dari
|
�
�
|
, yaitu:
|
�
|
= 0,
|
�
|
≤ |� | + ℎ + ℎ|�
�
ℎ | = ℎ|�
�
ℎ |
,
57
|
�
|
≤ |� | + ℎ + ℎ|�
�
ℎ | ≤ ℎ|�
�
ℎ | + ℎ + ℎ|�
�
ℎ | = ℎ|�
�
ℎ | + + ℎ
,
|
�
�
|
≤ |�
�−
| + ℎ + ℎ|�
�
ℎ |
.
= ℎ|�
�
ℎ | [ + + ℎ + +
+ ℎ
�−
]
.
Diketahui bahwa +
+ ℎ + + + ℎ
�−
merupakan deret geometri dengan rasio
� = + ℎ . Karena
� ,
maka jumlahan � suku
deret geometri tersebut dapat ditulis menjadi: + ℎ
�
− + ℎ − =
+ ℎ
�
− ℎ
.
Sehingga diperoleh,
|
�
�
|
≤ ℎ
|
�
�
ℎ
|
+ ℎ
�
− ℎ
≤ � ℎ
[
+ ℎ
�
−
].
Berdasarkan Lemma 4.6, diperoleh,
|
�
�
|
≤ � ℎ
[
�
� ℎ
−
].
Diketahui bahwa
�
= + � ℎ atau ℎ =
�
�
−� �
sehingga,
|
�
�
|
≤ � ℎ
[
�
�
−
−
]
≤ � ℎ
[
�
x−x
−
].
∎ Dari Teorema 4.7. dapat disimpulkan bahwa saat
� ℎ = , maka �
�
= . Dengan kata lain, jika suatu metode satu langkah konsisten maka metode
tersebut konvergen. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58