Definisi dan Teorema untuk Kekonvergenan

55 ≤ || | − | || dengan demikian � , memenuhi syarat Lipschitz di D dengan konstanta Lipschitz = . Lemma 4.6. Untuk setiap − dan , berlaku ≤ + ≤ � � . Bukti: Dengan menerapkan Teorema Taylor untuk � = � � , = dan � = , diperoleh: � = � + − � + − � � , � = � + − � + − � � , � = + + � � , dengan � . Dari persamaan di atas diperoleh: ≤ + ≤ + + � � = � � . Karena + , maka ≤ + ≤ � � . ∎ Teorema 4.7. Misalkan syarat Lipschitz dengan konstanta Lipschitz dan kesalahan pemotongan lokal terbatas oleh � � ℎ ≤ � ℎ = max ≤�≤� | � � ℎ | , maka kesalahan pemotongan global terbatas oleh: 56 | � − � | ≤ � ℎ [ � x−x − ]. Bukti: Dari definisi kekonvergenan diketahui bahwa � � adalah kesalahan pemotongan global dan � � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Diketahui bahwa � = , oleh karena itu dapat dicari: � �+ = | �+ − �+ | = | � + ℎ � � , � − �+ | = | � − � − ℎ [ �+ − � ℎ − � � , � ]| = | � − � − ℎ [ �+ − � ℎ − � � , � ] + ℎ[� � , � − � � , � ]| ≤ | � − � | − ℎ | �+ − � ℎ − � � , � | + ℎ|� � , � − � � , � | . Dengan menerapkan definisi kesalahan pemotongan lokal dan syarat Lipschitz, maka diperoleh: � �+ ≤ |� � | − ℎ|� � ℎ | + ℎ | � − � | ≤ |� � | − ℎ|� � ℎ | + ℎ |� � | ≤ |� � | + ℎ − ℎ|� � ℎ | . Dari hasil di atas dapat dicari nilai dari | � � | , yaitu: | � | = 0, | � | ≤ |� | + ℎ + ℎ|� � ℎ | = ℎ|� � ℎ | , 57 | � | ≤ |� | + ℎ + ℎ|� � ℎ | ≤ ℎ|� � ℎ | + ℎ + ℎ|� � ℎ | = ℎ|� � ℎ | + + ℎ , | � � | ≤ |� �− | + ℎ + ℎ|� � ℎ | . = ℎ|� � ℎ | [ + + ℎ + + + ℎ �− ] . Diketahui bahwa + + ℎ + + + ℎ �− merupakan deret geometri dengan rasio � = + ℎ . Karena � , maka jumlahan � suku deret geometri tersebut dapat ditulis menjadi: + ℎ � − + ℎ − = + ℎ � − ℎ . Sehingga diperoleh, | � � | ≤ ℎ | � � ℎ | + ℎ � − ℎ ≤ � ℎ [ + ℎ � − ]. Berdasarkan Lemma 4.6, diperoleh, | � � | ≤ � ℎ [ � � ℎ − ]. Diketahui bahwa � = + � ℎ atau ℎ = � � −� � sehingga, | � � | ≤ � ℎ [ � � − − ] ≤ � ℎ [ � x−x − ]. ∎ Dari Teorema 4.7. dapat disimpulkan bahwa saat � ℎ = , maka � � = . Dengan kata lain, jika suatu metode satu langkah konsisten maka metode tersebut konvergen. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58

B. Kekonvergenan Metode Euler

Diketahui bahwa metode Euler mempunyai persamaan: �+ = � + ℎ � � , � . Jika persamaan Euler diuraikan ke dalam deret Taylor maka diperoleh: �+ = � + �+ − � � ′ + �+ − � ′′ � dengan � ≤ � ≤ �+ . Metode Euler diperoleh dengan memotong dua suku awal, oleh karena itu diperoleh: �+ = � + ℎ � ′ + ℎ ′′ � dengan ℎ ′′ � = � � ℎ adalah kesalahan pemotongan lokal. Misalkan | ′′ � | ≤ , maka dapat dicari kesalahan pemotongan global dari metode Euler, yaitu: | � � | ≤ � ℎ [� x−x � − ] ≤ ℎ [� x−x � − ] . Berdasarkan definisi kekonvergenan, maka: lim ℎ→ max ≤�≤� | ℎ [ � x−x − ]| = . Karena | � � | = , maka metode Euler konvergen.

C. Kekonvergenan Metode Heun

Misalkan � �+ adalah penyelesaian eksak di titik �+ dan �+ adalah penyelesaian numeris di titik �+ . Jika � �+ diuraikankan ke dalam deret Taylor, maka diperoleh: 59 � �+ = � + �+ − � ′ � + �+ − � ′′ � + �+ − � ′′′ � = � + ℎ � ′ + ℎ � ′′ + ℎ 6 ′′′ � . Misalkan � ′ = � � , � = � � dan � ≤ � ≤ �+ , maka diperoleh: � �+ = � + ℎ � � + ℎ � � ′ + ℎ 6 � ′′ � . Diketahui bahwa metode Heun mempunyai persamaan sebagai berikut: �+ = � + ℎ [ � � , � + � �+ , �+ ∗ ] dengan �+ ∗ = � + ℎ � � , � . Jika � �+ , �+ ∗ diuraikankan ke dalam deret Taylor di sekitar � , maka diperoleh: � �+ , �+ ∗ = � �+ , �+ = � � + ℎ � � ′ + ℎ � ′′ � . Sehingga metode Heun dapat ditulis sebagai berikut: �+ = � + ℎ [� � , � + � �+ , �+ ∗ ] = � + ℎ [� � + � � + ℎ � � ′ + ℎ �′′ � ] = � + ℎ � � + ℎ � � ′ + ℎ �′′ � , �+ = � + ℎ � � + ℎ � � ′ + ℎ � ′′ � . Dengan mengurangkan persamaan dengan , diperoleh: 60 �+ − �+ = � + ℎ � � + ℎ � � ′ + ℎ 6 �′′ � − � + ℎ � � + ℎ � � ′ + ℎ �′′ � = ℎ 6 � ′′ � − ℎ �′′ � = − ℎ � ′′ � . Jadi, diperoleh kesalahan pemotongan lokal metode Heun yaitu − ℎ 3 � ′′ � = − ℎ 3 ′′′ � . Karena metode Heun memotong deret Taylor �+ di sekitar � sampai tingkat kedua, maka metode Heun memiliki tingkat keakuratan yang lebih tinggi dibandingkan dengan metode Euler. Misalkan | ′′′ � | ≤ , maka dapat dicari kesalahan pemotongan global dari metode Heun, yaitu: | � � | ≤ � ℎ [� x−x � − ] ≤ − ℎ [� x−x � − ] . Berdasarkan definisi kekonvergenan, maka: lim ℎ→ max ≤�≤� | − ℎ [ � x−x − ]| = . Karena | � � | = , maka metode Heun konvergen.

D. Kekonvergenan Metode Blok Rasional

Berdasarkan simulasi pada bab III, Contoh 1, Contoh 2, Contoh 3 dapat dilihat bahwa secara keseluruhan kekonvergenan metode blok rasional lebih