Deret Taylor Metode Euler Metode Heun

15

3. Metode Heun

Metode Heun merupakan perbaikan dari metode Euler. Metode Euler mempunyai penghitungan yang lebih sederhana dibandingkan dengan metode Heun. Metode Heun merupakan metode Runge-Kutta tingkat dua. Bentuk umum penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan menggunakan metode Runge-Kutta tingkat dua, yaitu: �+ = � + � + � , dengan � = ℎ � � , � dan � = ℎ � � + ℎ, � + � . Dari persamaan Runge-Kutta tingkat dua tersebut diketahui bahwa , , � , � adalah koefisien-koefisien yang tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu akan dicari nilai dari koefisien-koefisien tersebut. Misalkan, � = � � , � , � = �� � , � � , � = �� � , � � . Dengan menguraikan � ke dalam deret Taylor di sekitar , sampai suku tingkat satu, diperoleh: � = ℎ � � + ℎ, � + � = ℎ � + ℎ �� � , � � + � �� � , � � = ℎ � + ℎ � � + ℎ �� = ℎ � + ℎ � � + � � 16 = ℎ � + ℎ � � + � � . Jadi, �+ = � + � + � = � + ℎ� + ℎ � + ℎ � � + � � = � + ℎ� + ℎ� + ℎ � � + � � = � + + ℎ� + ℎ � � + � � . Diketahui: ′ � = � � , � = �, maka ′′ � = � ′ � , � = �� � + �� � , dengan menguraikan �+ ke dalam deret Taylor disekitar � sampai suku tingkat dua, diperoleh: �+ = � + ℎ � ′ + ℎ � ′′ , = � + ℎ � + ℎ �� � + �� � , = � + ℎ � + ℎ � � + � � . Agar persamaan sama dengan persamaan haruslah, + = , = , = . Misalkan = dengan ∈ ℝ, maka diperoleh penyelesaian: 17 = − = − , = = , = = . Jadi metode Runge-Kutta tingkat dua mempunyai tak hingga banyak penyelesaian. Salah satu contoh metode Runge-Kutta tingkat dua yaitu metode Heun. Metode Heun merupakan penyelesaian khusus dari metode Runge-Kutta dengan mengambil = , = , = = , sehingga diperoleh rumus metode Heun, yaitu: �+ = � + ℎ [ � � , � + � �+ , �+ ∗ ], dimana �+ ∗ = � + ℎ � � , � .

C. Penyelesaian Analitis Masalah Nilai Awal

Sebelum masuk ke contoh penyelesaian persamaan diferensial biasa, terlebih dahulu akan dipaparkan beberapa metode penyelesaian persamaan diferensial biasa.

1. Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu

Pada bagian ini akan dijelaskan teknik penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat satu, yaitu a persamaan diferensial biasa yang langsung diintegralkan, b persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah, c persamaan diferensial biasa linier, dan lain-lain. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18

a. Persamaan diferensial biasa yang bisa langsung diintegralkan.

Akan dicari penyelesaian umum untuk persamaan diferensial biasa berikut: = � . Dengan pengintegralan, diperoleh sebagai berikut: = � ≡ = � ≡ ∫ = ∫ � ≡ = ∫ � + �. Jadi, diperoleh penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial biasa, yaitu: = ∫ � + �.

b. Persamaan diferensial biasa dengan variabel terpisah.

Akan dicari penyelesaian umum untuk persamaan diferensial biasa berikut: = � , . Penyelesaian persamaan diferensial tersebut dapat dicari sebagai beri- kut. Misalkan � , = � dengan fungsi dalam dan � fungsi dalam . Sehingga diperoleh: 19 = � ≡ � = . Dengan pegintegralan, diperoleh: ∫ � = ∫ ≡ ∫ � = ∫ + �. Jadi, diperoleh penyelesaian umum dari suatu persamaan diferensial biasa, yaitu: ∫ � = ∫ + �, dengan � suatu konstanta.

c. Persamaan diferensial biasa linier

Akan dicari penyelesaian untuk persamaan diferensial biasa berikut: + = . Persamaan diferensial biasa linier tingkat satu dapat diselesaikan dengan metode faktor integral. Berikut langkah-langkah mencari faktor integral. Diberikan persamaan diferensial biasa linier tingkat satu. Persa- maan tersebut dikalikan dengan suatu fungsi � dengan � adalah fungsi dalam yang tidak diketahui nilainya. Sehingga di- peroleh: