Persamaan diferensial biasa koefisien konstan homogen

23

b. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan non-homogen.

Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen: + + = , dengan , , adalah konstanta dan ≠ adalah fungsi dalam x . Penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu. Misalkan � dan � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen, maka: � ′′ + � ′ + � = , dan � ′′ + � ′ + � = . Dengan mengeliminasi kedua persamaan diferensial tersebut, di- peroleh: � ′′ − � ′′ + � ′ − � ′ + � − � = . Dengan kata lain, � − � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen. Diketahui bahwa per- samaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen mempunyai penyelesaian umum: = + . Hal ini berakibat, � − � = � + � , atau dapat ditulis, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24 � = � + � + � . Dengan mengambil = � dan � = � diperoleh: = + + �, dengan adalah penyelesaian umum persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen dan � adalah salah satu penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien kon- stan non-homogen.

3. Penyelesaian Analitis Persamaan Diferensial Biasa

Pada bagian ini diberikan tiga contoh masalah nilai awal yang akan diselesaikan secara analitis. a. Contoh 1. Diberikan masalah nilai awal ′ = − , dengan nilai awal = . Penyelesaian: Persamaan ini merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variabel terpisah. Dari = − , dengan mengalikan − disetiap ruasnya diperoleh: − = . i.1 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25 Penyelesaian persamaan i.1, yaitu: − = , dengan pengintegralan diperoleh: ∫ − = ∫ , − ln| | = + � , � = konstanta sehingga ln | | = − − �, atau = � − �− � . Diketahui nilai awalnya = . Akan dicari penyelesaian khusus dari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan mensubsti- tusikan = , diperoleh: = � − . − � = , atau � − = , atau = . Jadi, diperoleh penyelesaian khususnya, yaitu: = � − � . b. Contoh 2. Diberikan masalah nilai awal PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI