23
b. Persamaan diferensial biasa koefisien konstan non-homogen.
Diberikan persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen:
+ +
=
,
dengan , , adalah konstanta dan
≠ adalah fungsi dalam
x
. Penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien
konstan non-homogen dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu. Misalkan
� dan � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan non-homogen, maka:
�
′′
+ �
′
+ � =
,
dan �
′′
+ �
′
+ � =
.
Dengan mengeliminasi kedua persamaan diferensial tersebut, di- peroleh:
�
′′
− �
′′
+ �
′
− �
′
+ � − � = . Dengan kata lain,
� − � adalah penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen. Diketahui bahwa per-
samaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen mempunyai penyelesaian umum:
= +
.
Hal ini berakibat, � − � = � + �
,
atau dapat ditulis, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
� = � + � + �
.
Dengan mengambil = � dan � = � diperoleh:
= + + �, dengan
adalah penyelesaian umum persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien konstan homogen dan
� adalah salah satu penyelesaian persamaan diferensial biasa tingkat dua koefisien kon-
stan non-homogen.
3. Penyelesaian Analitis Persamaan Diferensial Biasa
Pada bagian ini diberikan tiga contoh masalah nilai awal yang akan diselesaikan secara analitis.
a. Contoh 1.
Diberikan masalah nilai awal
′
= − , dengan nilai awal
= . Penyelesaian:
Persamaan ini merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu dengan variabel terpisah.
Dari = − ,
dengan mengalikan
−
disetiap ruasnya diperoleh: − = .
i.1 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Penyelesaian persamaan i.1, yaitu: − = ,
dengan pengintegralan diperoleh:
∫
− =
∫ ,
− ln| | = + � , � = konstanta
sehingga ln
| |
= − − �, atau
= �
− �− �
.
Diketahui nilai awalnya = . Akan dicari penyelesaian khusus
dari penyelesaian umumnya. Oleh karena itu, dengan mensubsti- tusikan
= , diperoleh: = �
− . − �
= ,
atau
�
−
= , atau
= . Jadi, diperoleh penyelesaian khususnya, yaitu:
= �
− �
.
b. Contoh 2.
Diberikan masalah nilai awal PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI