Kuadrat Tengah Galat Penduga Bayes

{ [ 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 − − − − − − − + + = C A A C A A C I C A C A D } ] 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 − − − − − − − − + + C A C A C A A C C A C A x 5.37 Menggunakan operasi matriks D+B -1 =D -1 - D -1 D -1 +B -1 -1 D -1 persamaan dalam kurung kurawal dapat dituliskan sebagai berikut: { } 2 1 2 1 1 1 1 1 2 A C A C A A − − − + 5.38 dan { } 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 − − − − − − − − − + = + A C A C A C A C A C A C 5.39 Berdasarkan persamaan 5.36, 5.37, 5.38 dan 5.39 dapat diperoleh persamaan bagi 1 θ sebagai berikut: [ [ { } ] 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ˆ − − − − − − − − − + + + = A C A C A A A C A C A C A C A θ θ { } ] 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ˆ θ − − − + C A C A xA ˆ ˆ 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ − − − − − − + + = D D A C A C A C A C A ˆ ˆ 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 θ θ θ A C A C A C A C A − − − − − + + = 5.40 Kondisi 1 3 = − C merupakan model Bayes non hirarki, sehingga persamaan 5.40 identik dengan persamaan 5.9.

D. Kuadrat Tengah Galat Penduga Bayes

Pada sub bab ini ingin dilakukan pembandingan efektifitas pendugaan antara dugaan Bayes dan dugaan kuadrat terkecil. Secara umum penduga Bayes adalah berbias, untuk pembandingan efektifitas hasil dugaan pendekatan Bayes dan pendekatan Kuadrat Terkecil digunakan kuadrat tengah galat. Persamaan 5.33 dan 5.34 dengan menghilangkan subscripts pada setiap peubah dapat dituliskan sebagai berikut: 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ θ θ θ − − − − + = + B D B D 5.41 θ adalah prior rataan, sedangkan B adalah dispersion matrix. Bila didefinisikan: 1 1 1 1 ˆ ˆ − − − − + = D B D Z dan W = I-Z, maka persamaan 5.41 dapat dituliskan dalam persamaan ˆ ˆ θ θ θ W Z + = 5.42 Kuadrat tengah galat KTG dari θ dapat dirumuskan KTG θ = E y| θ { θ - θ ’ θ - θ} = E y| θ { θˆ - θ ’ Z ’ Z θˆ - θ} + θ- θ ’ W ’ W θ- θ = trace { Dˆ Z ’ Z } + θ- θ ’ W ’ W θ- θ 5.43 Berdasarkan persamaan 5.43 terlihat bahwa besaran KTG θ sangat dipengaruhi oleh selisih antara nilai θ dan θ . Semakin kecil selisih antara θ dan θ 0, maka semakin kecil besaran KTG θ yang diperoleh. Pada persamaan 5.41 θˆ adalah penduga kuadrat terkecil dengan besaran KTG θˆ = trace Dˆ . Penduga bayes akan lebih baik dari penduga kuadrat terkecil bila KTG θ KTG θˆ atau KTGθ trace D ˆ . Kondisi tersebut akan dipenuhi jika dan hanya jika trace D ˆ ≥ trace{ Dˆ Z ’ Z } + θ- θ ’ W ’ W θ- θ 5.44 Sebelum mengkaji kondisi yang diperlukan untuk memenuhi persamaan 5.44, terlebih dahulu ingin dilakukan pembuktian bahwa trace D ˆ ≥ trace{ Dˆ Z ’ Z } D ˆ - Dˆ Z ’ Z = D ˆ I - Z ’ Z = D ˆ I - Z ’ I – W = 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ − − − − − − − + + + − B B D B D D 5.45 trace { } 1 1 1 1 ˆ − − − − + B B D = trace { } 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ − − − − − − − + + B D B B D ≥ 0 5.46 Penggabungan 5.46 kedalam 5.45 menghasilkan persamaan berikut Trace { Dˆ - Dˆ Z ’ Z } ≥ trace{ 1 1 1 ˆ ˆ − − − + − B D D } 0 Trace { Dˆ - Dˆ Z ’ Z } 0 trace D ˆ ≥ trace{ Dˆ Z ’ Z } terbukti Oleh karena trace D ˆ ≥ trace{ Dˆ Z ’ Z maka persamaan 5.44 dapat diinterpretasikan sebagai berikut: Semakin kecil selisih antara θ dan θ mendekati nol maka penduga Bayes akan menghasilkan kuadrat tengah galat yang lebih kecil dibandingkan penduga kuadrat terkecil. Smith 1973 mengemukakan bahwa pendekatan Bayes bila digunakan untuk proses pendugaan akan memberikan nilai harapan kuadrat tengah galat yang lebih kecil bila dibandingkan dengan penduga kuadrat terkecil.

E. Simpulan