Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
114
3. Buktikan bahwa
ΔABC dan ΔADC berikut adalah kongruen.
4. Sebuah tabung mempunyai daya tampung 2,156 liter. Jika diameter tabung adalah 14 cm
maka tentukan tinggi tabung tersebut.
5. Sebuah caping berbentuk kerucut yang mempunyai panjang
garis pelukis 28 cm dan jari-jari 21 cm. Caping tersebut terbuat dari anyaman bambu. Tentukan luas
anyaman bambu yang digunakan untuk membuat caping tersebut.
6. Sebuah mangkok berbentuk setengah bola
dengan diameter 14 cm. Tentukan volume mangkok tersebut.
7. Sebuah bola mempunyai keliling lingkaran
tengah 66 cm. Tentukan luas bahan yang digunakan untuk melapisi kulit bola tersebut.
8. Seorang siswa mempunyai koleksi buku sebanyak
50 buku yang terdiri atas 20 buku pelajaran sekolah, 10 buku cerpen, 15 buku motivasi diri, dan
5 buku biografi tokoh-tokoh dunia. Buatlah diagram lingkaran untuk mengilustrasikan informasi data tersebut.
9. Seorang pedagang mencampur 10 kg buah jeruk yang harganya Rp15.000,00 per kg dengan 5 kg
buah jeruk yang harganya Rp10.000,00 per kg. Berapakah harga rata-rata per kg campuran buah jeruk sekarang?
10. Di suatu sekolah terdapat 100 orang siswa yang mengajukan beasiswa. Masing-masing siswa
mempunyai peluang sebesar 0,25 untuk dapat mendapatkan beasiswa tersebut. Berapakah banyak siswa yang diperkirakan akan mendapatkan beasiswa tersebut?
C
B A
D
25 °
25 °
Di unduh dari : Bukupaket.com
B a b IV
Pangkat dan Akar
Apa yang akan dipelajari pada bab ini?
A. Pangkat
B Akar
Setelah mempelajari bab ini, kamu akan mampu untuk:
a. memahami pengertian bentuk pangkat dan bentuk akar,
b. memahami sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, bilangan
berpangkat, c. memahami sifat-sifat akar dan
bilangan berpangkat pecahan, d. merasionalkan bentuk akar, dan
e. memecahkan masalah bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Sumber: www.richard.seaman.com.
sumber: www.static.flickr.com
Apabila seseorang terjun dari
ketinggian tertentu dengan kecepatan awal nol maka
peristiwa ini dikenal dengan nama gerak jatuh bebas.
Hubungan antara kecepatan jatuh dan ketinggian orang
tersebut dari permukaan tanah dirumuskan dengan persamaan
v =
2gh dengan v adalah kecepatan
jatuh, g adalah besar gravitasi bumi di tempat tersebut, dan
h adalah ketinggian terjun dari
permukaan tanah. Bentuk
2gh
merupakan contoh bentuk akar yang akan
kamu pelajari pada bab berikut. Adakah hubungan
antara bentuk pangkat dan bentuk akar? Jika persamaan
gerak jatuh bebas adalah v
= 2gh maka berapakah
nilai dari v
2
?
T u j u a n P e m b e l a j a r a n :
Sumber: www.defedanmerica.com
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
116
Kata Kunci
Pada bab ini, kamu akan menemukan istilah-istilah berikut. •
pangkat •
bilangan pokok •
akar •
merasionalkan bentuk akar
Peta Konsep
Pangkat dan Akar
membahas
Pengertian Pengertian
1. Menentukan kecepatan jatuh bebas
2. Menentukan besaran tabungan 3. Menentukan umur fosil
Pangkat Akar
1. a
m
× a
n
= a
m + n
2.
a a
m n
= a
m – n
3. a
m n
= a
m × n
4. a × b
m
= a
m
× b
m
5.
a b
a a
m m
m
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
=
1. ab a
b
n n
n
= ×
2.
a b
a b
n n
n
= terdiri atas
terdiri atas sifat-sifat bilangan
berpangkat bulat positif
Pangkat Nol Pangkat Bulat Negatif
a = 1
a
–m
=
1 a
m
digunakan untuk memahami
Bilangan Berpangkat
Pecahan
digunakan untuk memahami
manfaat
Di unduh dari : Bukupaket.com
Pangkat dan Akar
117
Uji Prasyarat
U j i P r a s y a r a t M a t e m a t i k a
A. Pangkat
Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk akar. Kali ini, kamu akan diingatkan kembali pada materi pangkat dan akar tersebut. Bukalah kembali buku Kelas VII pada
pembahasan bilangan untuk membantumu mengingat materi ini.
1. Pengertian Bilangan Berpangkat
Misalnya, Pak Budi menabung di bank sebesar Rp100.000,00 dengan bunga majemuk 10 per tahun.
Kerjakan soal-soal berikut terlebih dahulu sebelum kamu mempelajari materi pangkat dan akar.
Hitunglah hasil dari operasi berikut. 1.
2
3
× 3
2
2. 2
4
4
3. 16
4. 16129
5. 2
81
5
+
Tahun Besarnya Tabungan dalam ribuan
1. 100 + 10
×
100 = 1001,10 2.
1001,10 + {10
×
1001,10} = 1001,101,10 3.
1001,101,10 + {10
×
1001,101,10} = 1001,101,101,10
Gambar 4.1
Perhitungan tabungan merupakan salah satu penggunaan bentuk akar.
Besarnya tabungan Pak Budi pada tiga tahun pertama diperlihatkan pada tabel berikut.
Sumber: Dokumen Penerbit
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
118
Secara umum, tabungan Pak Budi dalam ribuan pada akhir tahun ke-n dapat dinyatakan sebagai A =
100 1 10 1 10 1 10 1 10
, ,
, ... ,
n faktor
= 1001,10
n
Bentuk ini dinamakan bentuk pangkat . Bentuk a
n
didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n faktor. Secara sederhana, bentuk a
n
dapat ditulis sebagai berikut.
a a
a a
a
n n faktor
= × × × ×
... dengan a disebut bilangan pokok basis dan n disebut pangkat.
2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Masih ingatkah kamu sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif? Berikut adalah sifat- sifat tersebut.
a. a
m
× a
n
= a
m + n
, dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif. Bukti:
a a
a a a a a a a
a a a a
a a
m n
m faktor faktor
faktor m n
n m n
× = × × × × × × × × ×
= × × × × =
... ...
...
+
+
b. a
a a
a a
m n
m n
m – n
: =
= , dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif,
dan m n. Bukti:
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a
m n
m n
m f n f
m n f m n
aktor aktor
aktor
: =
= × × ×
× × × = × × × ×
= ...
... ...
– –
c. a
m n
= a
m × n
,dengan a bilangan bulat, m dan n bilangan bulat positif. Bukti:
a a
a a
a a a a
a a a a a
a a a a
m n
m m
m m
n faktor m faktor
m faktor m faktor
n faktor
= ×
× × ×
= × × × × × × × × × × × × × × × ...
... ...
... ...
=
×
a
m n
Di unduh dari : Bukupaket.com
Pangkat dan Akar
119
Contoh Soal 4.1
d. a
× b
m
= a
m
× a
m
Bukti: a b
a b a b
a b ...
a b a a a ... a b b b ... b
a b
m
m m
m faktor m faktor
m faktor
× =
× × ×
× × × × ×
= × × × × × × × × × =
× e.
a b
a b
m m
m
⎛ ⎝
⎞ ⎠ =
Bukti:
a b
a b
a b
a b
a b
a a a a
b b b ... b
a a a
m faktor
faktor faktor
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
× ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ × ×
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
= × × × ×
× × × × ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
= × × × ×
... ...
...
m
m m
a ⎛
⎝ ⎜
⎞ ⎠
⎟ × × × ×
⎛ ⎝
⎜ ⎞
⎠ ⎟
= b b b ... b
a b
faktor m
m m
Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui. a.
2
3
× 2
5
c. 2
2 3
b. 2
7
: 2
4
Penyelesaian: a.
Cara 1: 2
3
× 2
5
= × × × × × × × = × × × × × × ×
= 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3 faktor
8
5 faktor 8 faktor
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
120
Cara 2: 2
3
× 2
5
= 2
3 + 5
= 2
8
b. Cara 1:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
7 4
7 4
3
: =
= × × × × × ×
× × × = × ×
=
7 ktor 4 faktor
3 faktor fa
Cara 2: 2
7
: 2
4
= 2
7 – 4
= 2
3
c. Cara 1:
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 3
2 2
2
6
= ×
× = × × × × ×
=
3 faktor 6
faktor
Cara 2: 2
2 3
= 2
2 × 3
= 2
6
Hitunglah soal-soal berikut dengan dua cara yang telah kamu ketahui. 1.
4
5
× 4
4
6. –b
7 8
2. 3
7
: 3
4
7. –a
5
b
5 3
3. 8
2 5
8. a
2 3
–2b
5 5
4. 6
× 3
7
9. 5a
3 5
: –5
4
a
3 5
5. 5
12
3
⎛ ⎝
⎞ ⎠
10. 4
3
2 3
6
5
a a b
⎛ ⎝
⎞ ⎠
Latihan 4.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
Pangkat dan Akar
121
3. Pangkat Nol
Berapakah nilai dari a , dengan a bilangan bulat? Coba kamu lakukan kegiatan berikut
untuk mengetahuinya.
Eksplorasi 4.1
Tujuan:
Mengetahui nilai dari a .
Kegiatan:
Hitunglah nilai dari
a a
m m
a ≠ 0 dan m bilangan bulat positif dengan dua cara berikut pada
buku latihanmu. Cara 1
:
a a
a a
m m
...–...
= =
o
Cara 2 :
a a
a a
a ... a
a a
a ... a
a a
... ...
... ...
a a
... ... ... = ....
m m
faktor faktor
= × × ×
× × × ×
× = ×
× ×
= × ×
× ×
m m
m faktor
1 1
Pertanyaan:
Berdasarkan kedua cara tersebut, diperoleh bahwa a = ....
Contoh Soal 4.2
Tentukan hasil dari a.
a × b
5
c. x
y z a x
y z + +
− + 2
2 0
b. 20 x + y x – y
Penyelesaian: a.
a × b
5
= 1 × b
5
= b
5
b. 20 x + y x – y
= 20x + y = 20x + 20y
c. x
y z a x
y z x
y z a
+ + − +
= + +
2 2
2 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika 3 untuk SMPMTs Kelas IX
122
Kerjakan soal-soal berikut. 1.
23 6.
a b c bc
2 3
2
2. m
7. a
a a b
b b
b b
2 4
3 2
1
× × ×
× × ×
3. 4c
8.
2 3
9 5
3
m m
×
4. 82m
3
n 9.
2 8
5 3
4
a b c ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
5. 12a
b
2
10.
2 3
2 8
5 7
2
⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟
× ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
Latihan 4.2
4. Pangkat Bulat Negatif
