29
= = kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satusatuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan jterhadap
Z n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia
m = macam batasansumber atau fasilitas yang tersedia
=
tingkat kegiatan ke-j
=
banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setuap unit keluaran kegiatan i
=kapasitas sumber i yang tersdia untuk di alokasikan kesetiap unit kegiatanAminudin, 2005
2.7.Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini
dilakukan berulang-ulang dengan jumlah ulangan yang terbatas sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step
menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau lebih kecil atau sama dari langkah-langkah sebelumnya.Dalam metode simpleks terdapat
beberapa defenisi penting, yaitu: a.
Solusi basis, yaitu solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol.
b. Solusi basis fisibel, yaitu solusi variabel pada suatu solusi basis berharga non-
negatif c.
Solusi fisibel titik ekstrim, yaitu solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solsi fisibel lainnya Supranto, 1991.
2.7.1. Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Maksimasi
Untuk menyelesaikan persoalan maksimasi program linear dengan mengunakan metode simpleks, terdapat beberapa langkah, yaitu:
30
1. Konversikan fungsi tujuan kedalam bentuk standar.
2. Mengubah fungsi batasan. Fungsi batasan yang bertanda
≤ lebih kecil sama dengan diubah menjadi fungsi sama dengan
= dan menambah variabel slack S pada setiap batasan.
3. Memasukkan koefisien fungsi tujuan, fungsi batasan, dan nilai kanan ke dalam
tabel simpleks. 4.
Menentukan Kolom Kunci KK. Kolom kunci dipilih dari nilaiterkecil dari baris Z.
5. Menentukan Baris Kunci BK. Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu
dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya, mencari nilai indeks adalah koefisien nilai kanan dibagi koefisien kolom kunci, dari perhitungan indeks
dipilih nilai indeks terkecil 0. 6.
Menentukan Angka Knci AK. Angka kunci adalah angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.
7. Membuat baris kunci baru. Untuk membuat baris kunci baru mengikuti aturan
berikut: a.
Membuat tabel baru b.
Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci c.
Mengisikan pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara membagi koefisien baris kunci dengan angka kunci.
8. Mengubah nilai pada baris lainnya selain baris kunci menjadi baris-baris pada
tabel baru yang belun terisi. 9.
Uji optimalisasi. Untuk mengetahui apaka sudah optimal atau belumsyaratnya adalah nilai pada baris Z
≥ 0 sudah positif semua. Apabila syarat optimal belum terpenuhi, maka dilakukan pengulangan mulai dari langkah ke 3
Zulfikarijah, 2004. Contoh:
Maksimumkan : Z = 3x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
Kendala :
x
1
+ 2x
2
+3x
3
≤ 10
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
≤ 16
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
≤ 20
31
x
1,
x
2
, x
3
≥ 0 Penyelesaian
Bentuk standarnya menjadi: Maksimumkan :
Z = 3x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
Kendala :
x
1
+ 2x
2
+3x
3
= 10 2x
1
+ 3x
2
+x
3
= 16 3x
1
+ 2x
2
+x
3
= 20 x
j
≥ 0, j = 1, 2, … , 6
Tabel 2.2 Iterasi 0
Basis C 3
5 4
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
4
1 2
3 1
10 X
5
2 3
1 1
16 X
6
3 2
1 1
20 Z
j
- C
j
-3 -5
-4
Tabel 2.3Iterasi 1
Basis C 3
5 4
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
2
5 0,5
1 1,5
0,5 5
X
5
0,5 -3,5
-1,5 1
1 X
6
2 -2
-1 1
10 Z
j
- C
j
-0,5 3,5
2,5 25
Tabel 2.4Iterasi 2
Basis C 3
5 4
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
2
5 1
5 2
-1 4
X
1
3 1
-7 -3
2 2
X
6
12 5
-4 1
6 Z
j
- C
j
1 1
26
32
Karena baris Z
j
– C
j
≥ 0, maka persoalan telah optimal dengan maksimum Z = 26untuk X
1
= 2, X
2
= 4, X
6
= 6 dan X
3
= X
4
= X
5
= 0 2.7.2.
Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Minimasi
Sama halnya dengan penyelesaian persoalan maksimasi, untuk persoalan minimasi juga mengunakan langkah-langkah penyelesaian, yaitu:
1. Konversikan fungsi tujuan kedalam bentuk standar.
2. Mengubah fungsi batasan. Fungsi batasan yang bertanda
≥ lebih besar sama dengan diubah menjadi fungsi sama dengan
= dan menambah variabel slack S pada setiap batasan.
3. Memasukkan koefisien fungsi tujuan, fungsi batasan, dan nilai kanan ke dalam
tabel simpleks. 4.
Menentukan Kolom Kunci KK. Kolom kunci dipilih dari nilai terbesar dari baris Z.
5. Menentukan Baris Kunci BK. Untuk menentukan baris kunci terlebih dahulu
dicari nilai indeksnya pada setiap barisnya, mencari nilai indeks adalah koefisien nilai kanan dibagi koefisien kolom kunci, dari perhitungan indeks
dipilih nilai indeks terkecil. 6.
Menentukan Angka Knci AK. Angka kunci adalah angka yang berada pada perpotongan kolom kunci dengan baris kunci.
7. Membuat baris kunci baru. Untuk membuat baris kunci baru mengikuti aturan
berikut: a.
Membuat tabel baru b.
Variabel dasar kolom kunci dipindah ke variabel dasar baris kunci c.
Mengisikan pada baris yang terpilih sebagai baris kunci pada tabel pertama dengan cara membagi koefisien baris kunci dengan angka kunci.
8. Mengubah nilai pada baris lainnya selain baris kunci menjadi baris-baris pada
tabel baru yang belun terisi. 9.
Uji optimalisasi. Untuk mengetahui apaka sudah optimal atau belum syaratnya adalah nilai pada baris Z
≤ 0. Apabila syarat optimal belum terpenuhi, maka dilakukan pengulangan mulai langkah ke 3 Zulfijarijah, 2004.
33
Contoh: Minimumkan :
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
≥ 8
Kendala :
3x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
≥ 15
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
≥ 6
2x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
≥ 20
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
≥ Penyelesaian
Bentuk standarnya menjadi: Minimumkan :
Z = 9x
1
+ 12x
2
+ 16x
3
Kendala :
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
– x
4
+ x
8
=8 3x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
– x
5
+ x
9
=15 x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
– x
6
+ x
1
= 6 2x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
– x
7
+ x
11
= 20 x
j
≥ 0, j = 1, 2, … , 11
33
Tabel 2.5 Iterasi 0
Basis C 9
12 16
M M
M M
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
8
M 1
2 3
-1 1
8 X
9
M 3
2 3
-1 1
15 X
10
M 1
2 2
-1 1
6 X
11
M 2
3 5
-1 1
20 Z
j
– C
j
7M-9 9M-12
13M- 16
-M -M
-M -M
49M
Tabel 2.6 Iterasi 1
Basis C 9
12 16
M M
M M
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
3
16 13
23 1
-13 13
83 X
9
M 2
1 -1
-1 1
7 X
10
M 13
23 23
-1 -23
1 23
X
11
M 13
-13 53
-1 -53
1 203
Z
j
– C
j
83M -113
3 13M
-43 103M
-163 -M
-M -M
-133M +163
433M +1283
34
Tabel 2.7 Iterasi 2
Basis C 9
12 16
M M
M M
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
3
16 12
1 1
-12 12
3 X
9
M 32
-1 -1
32 1
1 -32
6 X
4
9 12
1 1
-32 -1
32 1
X
11
M -12
-2 52
-1 -52
1 5
Z
j
– C
j
M+ 72
-3M +13
9 -M
4M -432
-M -9
-5M +432
11M +57
Tabel 2.8 Iterasi 3
Basis C 9
12 16
M M
M M
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
3
16 25
35 1
-15 -15
4 X
9
M 95
15 -1
35 1
1 -35
3 X
4
15 -15
1 -35
-1 35
4 X
6
-15 -45
1 -25
-1 25
2 Z
j
– C
j
95M -135
15M -125
-M 35M
-165 -M
-85M -165
3M +64
35
Tabel 2.9 Iterasi 4
Basis C 9
12 16
M M
M M
B X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
3
16 59
1 29
-13 -29
-29 115
103 X
1
9 1
19 -59
13 59
59 -13
53 X
4
-29 1
19 -23
-109 -19
25 113
X
6
-79 -19
1 -13
19 19
-1 13
73 Z
j
– C
j
-199 -139
-73 139
-M 139
-M -M
-2915 -M
2053 Karena baris Z
j
– C
j
≤ 0, maka solusi optimal telah diperoleh.
Dengan nilai minimum Z = 2053Dengan x
1
= 53, x
3
= 103, x
4
= 113, x
6
= 73, x
2
= x
5
= x
7
= 0
36
2.8 Teori Dualitas
