Unsur-unsur Dasar Teori Permainan Metode Penyelesaian Masalah dalam Teori Permainan

20

2.5.1. Unsur-unsur Dasar Teori Permainan

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa unsur dasar yang sangat penting dalam penyelesaian setiap kasus dengan teori permainan, dengan mengambil contoh permaian dua pemain jumlah nol two person zero sum game dimana matriks pay off-nya di tunjukkan dalam tabel matriks pay off Aminudin, 2005. Tabel 2.1 Matriks Pay Off Pemain A Pemain B 8 10 11 7 4 6 Dari contoh tabel permainan di atas dapat dijelaskan unsur-unsur dasar teori pemainan sebagai berikut: 1. Angka-angka dalam matriks pay off matriks permaianan merupakan hasil- hasil atu pay off dari strategi-strategi permaianan yang berbeda-beda, dimana hasil-hasil merupakan ukuran efektifitas. Bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris maximizing player dan kerugian bagi pemain kolom minimizing player. 2. dan merupakan alternatif strategi-strategi yang dimiliki oleh maing- masing pemain A dan B. Suatu strategi permainan adalah rangkaian rencana yang menyeluruh dari pemain sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pesaing. 3. Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau rata-rata pay off sepanjang permaianan. Suatu permainan dikatakan adil fair apabila nilainya sama dengan nol. 4. Suatu permaian dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Pada matriks di atas hal ini terjadi untuk pemain B, kedua strategi dan didominasi oleh pemain . Sehingga strategi dan dapat 21 direduksi. Artinya pemain B menjalankan strategi optimalnya adalah , Sedangkan pemain A memilih strategi karena berusaha mencari keuntungan maksimal. Jadi nilai permainan dari kasus diatas adalah 4. 5. Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasi strategi mana yang paling optimal untuk setiap pemain Aminudin, 2005.

2.5.2. Klasifikasi Permaianan

A. Berdasarkan Jumlah Langkah dan Pilihan

Permainan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu: 1. Permainan berhingga Finite Game, yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah langkah yang berhingga dengan setiap langkah yang memuat sejumlah pilihan yang berhingga pula. 2. Permainan tak berhingga Infinite Game, untuk setiap permainan selain permainan berhingga Supranto, 1991.

B. Berdasarkan Jumlah Pemaian

Suatu permainan dikatakan permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Disini orang dapat berperan sebagai individu ataupun kelompok Subagyo dkk, 2002.

C. Berdasarkan Jumlah Pembayaran

Berdasarkan jumlah pembayaran diklasifikasikan menjadi dua, yaitu: 1. Permainan berjumlah nol Zero Sum Game adalah suatu permainan dengan jumlah kemenangan jumlah kedua belah pihak sama dengan nol. Hal ini berarti bahwa jumlah pembayaran yang diterima oleh salah satu pemain yang menang 22 sama dengan jumlah pembayaran yang dibayarkan oleh pihak yang kalah. Bila ada dua orang yang bermain di dalam permainan maka dinamakan perrmainan berjumlah nol dari dua orangTwo Person Zero Sum Game. 2. Permainan berjumlah tidak nol Non Zero Sum Game, yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainanan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dimainkan oleh dua orang ataupun n orang Subagyo dkk, 2002.

2.5.3. Permaianan Dua Pemain Jumlah Nol

Konsep dasar yang memuat dalam teori permainan dapat dijelaskan oleh permainan yang sederhana yang dimainkan oleh dua orang atau dua pemain. Disebut permainan jumlah nol karena keuntungan kerugian pemain adalah sama dengan kerugian keuntungan pemain lainnya, sehingga jumlah total keuntungan dan kerugian adalah nol. Ada dua macam permainan ini, pertama jenis permainan strategi murni pure strategy game dimana setiap pemain hanya menjalankan strategi tunggal dan jenis kedua adalah permainan strategi campuran mixed strategy game dimana kedua pemain menggunakan strategi yang berbeda-beda Aminudin, 2005

A. Strategi Murni Pure Strategy

Permaianan dengan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal.Dalam permainan dengan strategi murni, pemain pertama pemain baris yaitu pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan keuntungan yang minimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maksimin.Sedangkan pemain kedua pemain kolom yaitu pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan kerugian yang maksimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria minimax. Apabila nilai maksiminsama dengan nilai minimax, maka 23 permainan ini dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan telah tercapai. Titik keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana atau sadle pointSubagyo dkk, 2002.

B. Strategi Campuran Mixed Strategy

Di dalam permaianan dimana permainan tersebut tidak mempunayai titik pelana maka para pemaian akan bersandar kepada apa yang diseburt sebagai strategi canpuran. Hal ini berarti pemain pertama akan memaiankan setiap strategi baris dengan proporsi waktu probabilitas tertentu. Demikian juga untuk pemain kedua, ia akan memainkan setiap strategi kolom dengan prorporsi waktu probabilitas tertentu. Oleh karena itu dengan suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran, strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang akan menunjukkan proporsi waktu atau banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut. Jadi tugas dari setiap pemaian adalah menentukan proporsi waktu probabilitas yang diperlukan untuk memainkan strateginya Subagyo dkk, 2002.

C. Aturan Dominasi

Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayarannya yang tidak efektif pengaruhnya di dalam penentuan strategi optimum dan nilai permaianan.Bila ada maka baris atau kolom yang seperti itu bisa dihapus atau tidak dipakai.Hal ini berarti bahwa probabilitasmemilih strategi sesuai baris atau kolom tersebut sama dengan nol. Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil. Hal ini akan mempermudah untuk menyelesaikannya. Aturan demikian ini dinamakan aturan dominasi. 24 i. Aturan dominasi bagi pemain pertama pemain baris. Karena pemain pemain baris merupakan pemain yang berusaha untuk memaksimumkan kemenaganperolehannya maka bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama atau lebih kecil sekolom dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominasi dan baris itu dapat dihapus. Jika dalam suatu permaianan yang berukuran m x n terdapat , ≤ , untuk semua j = 1, 2, …,n maka baris k mendominasi baris i. ii. Aturan dominasi bagi pemain kedua pemain kolom. Karena pemain pemain kolom merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahankerugiannya maka bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari kolm tersebut adalah sama atau lebih besar dari elemen dalam posisi yang sama sebaris dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominasi oleh kolom itu dapat dihapus. Jika dalam permainan yang berukuran m x n terdapat , ≤ , untuk semua i = 1, 2, …, m maka kolom k mendominasi kolom j. Keterangan: , = Elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-j , = Elemen matriks pay off baris ke-k dan kolom ke-j , = Elemen matriks pay offbaris ke-i dan kolom ke-k Aturan dominasi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya yang didominasi oleh baris atau kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks pembayaran semula akan tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila hal ini dapat terjadi maka permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut.Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominasi yang berulang-ulang tersebut Siagian, 1987. 25

2.5.4. Metode Penyelesaian Masalah dalam Teori Permainan