Contoh 4-6

3 Contoh 4-6

Balok kantilever AB yang memikul beban terbagi rata dengan intensitas konstan q ditunjukkan dalam Gambar 4- 1 6a. Buatlah diagram gaya geser dan momen

lentur untuk halok ini. Solusi

Reaksi. Reaksi RB dan M 8 di tumpuan jepit diperoleh dari persamaan keseimbangan

untuk keseluruhan balok. Jadi,

- qL2 M B-

(4-28a,b)

Gaya geser dan momen lentur. Besaran-besaran m1 diperoleh dengan memotong balok pada j arak x dari ujung bebas, menggambar diagram benda bebas bagian kiri balok, dan memecahkan pcrsamaan keseimhangan. Dcngan cara tersehut kita peroleh

V= -qx

M= _ '1!_

(4-29a,b)

Diagram gaya geser dan momen lcntur diperoleh dengan mcmplot persamaan­ persamaan tersebut (lihat Garnbar 4- 1 6h dan c). Perhatikan bahwa kemiringan diagram gaya gcser sama dcngan -q (lihat Persamaan 4-4) dan kemiringan dia­ gram momen lentur sama dengan V (lihat Persamaan 4-6).

Harga maksirnum gaya geser dan momen lentur terjadi di tumpuan jepit di

mana x = L:

Mekanika Bahan 257

vmak' = -ql

!vi mab. =- -

qL2

(4-30a,b)

�--

Harga-harga ini konsisten dengan harga reaksi R8 dan M8 (Persamaan 4-28a dan b).

-+ X

Solusi alternatif. Sebagai ganti dari penggunaan diagram benda bebas dan

��--- L --- -----1 persamaan keseimbangan, kita dapat menentukan gaya geser dan momen lentur RB dengan mengintegrasikan hubungan diferensial antara beban, gaya geser, dan (a)

momen lentur. Gay a geser V pada jarak x dari ujung bebas A diperoleh dari be ban dengan mengintegrasikan Persamaan ( 4-5 ). sebagai berikut:

V - VA = V - 0 = V=- q dx = -qx (g)

yang cocok dengan hasil sebelum ini (Persamaan -i-29a). (b)

-qL

Momen lentur M pada jarak x dari ujung diperoleh dari gaya geser dengan mengintegrasikan Persamaan ( 4-7):

M - MA = M - 0 =M=

Vdx =

-qx dx =- (h)

yang cocok dengan Persamaan 4-29b.

Mengintegrasikan hubungan diferensial dalam contoh ini cukup mudah karena (c)

- qi}

2 pola beban adalah kontinu dan tidak ada beban terpusat atau kopel di daerah yang diselidiki. Jika beban terpusat atau kopel ada, maka ada diskontinuitas pada dia­

Gambar 4-1 6 Contoh 4-6. Balok

gram V dan M sehingga kita tidak dapat mengintegrasikan Persamaan (4-5) melewati

kantilever dengan be ban terbagi be ban terpusat dan tidak dapat mengintegrasikan Persamaan ( 4-7) melewati kopel rata

(lihat Subbab 4-4).

�-�---� --- --------- -- -- -- ----- - ------- �--�- -- - -- --- · -----------

LEMBAR KERJA

Sebuah balok ABC dengan overstek di sebelah kiri terlihat dalam Gambar 4- 1 7a. Balok ini mengalami be ban terbagi rata dengan i ntensitas q = I ,0 k/ft di overstek

AB dan kopel berlawanan jarum jam M0 =

1 2,0 k-ft yang bekerja di tengah tumpuan B dan C. Buatlah diagram gaya geser dan momen lentur untuk balok ini.

Solusi Reaksi. Kita dapat dengan mudah menghitung reaksi R8 dan Re dari diagram benda hebas keseluruhan balok (Gambar 4- 1 7a). Dengan melakukan hal ini, kita

dapatkan bahwa R8 berarah ke atas dan Re berarah ke bawah, seperti terlihat dalam gambar. Harga numeriknya adalah

R, = l,25 k Gaya geser. Gaya geser sama dengan no] di ujung bebas balok dan sama dengan --qb (atau -4,0 k) sedikit di kiri tumpuan B. Karena beban ini terdistribusi terbagi rata, maka kemiringan diagram geser akan konstan dan sama dengan -q (dari Persamaan 4-4). Dengan demikian. diagram geser merupakan garis lurus

R8 = 5,25 k

miring dengan kemiringan negatif di daerah dari A kc B (Gambar 4- 1 7b ). Karena tidak ada beban terdistribusi atau terpusat antara tumpuan, maka diagram gaya geser adalah horizontal di daerah ini. Gaya geser sama dengan

reaksi Re, atau 1 .25 k, seperti terlihat dalam gambar. (Perhatikan bahwa gaya geser tidak beruhah di titik bekerjanya kopel , M0.)

Gaya geser yang terbesar secara numerik terjadi sedikit di kiri tumpuan B

dan sama dengan --4,0 k.

Momen lentur. Momen lentur adalah nol di ujung bebas dan berkurang pacta saat kita bergerak ke kanan sampai mencapai tumpuan B. Kemiringan diagram momen, yang sama dengan harga gaya gcscr (dari Persamaan 4-6). adalah nol di

258 Ba.b 4 Gaya Geser dan Momen Lentur ujung bebas dan --4,0 k di lokasi sedikit di kiri tumpuan B. Di daerah ini diagram

tersebut berbentuk parabolik (tingkat-dua), dengan vertex di ujung balok. Momen di titik B adalah

MB = - qb2 = _.!_ (1 ,0 k/ft)( 4,0 ft)2

-8,0 k-ft

2 2'

yang juga sama dengan luas diagram gaya geser antara A dan B (lihat Persamaan 4-7).

Kemiringan diagram momen lentur dari B ke C sama dengan gaya geser,

atau

I ,25 k. Dengan demikian, momen lentur sedikit di kiri kopel M0 adalah

RB

Re

(a)

-8,0 k-ft + ( 1 ,25 k)(8,0 ft) = 2 , 0 k-ft seperti terlihat dalam diagram. Tentu saja, kita dapat memperoleh hasil yang sama

dengan memotong balok di penampang sedikit di kiri kopel, dengan menggambar diagram benda bebas dan memecahkan persamaan keseimbangan momen.

Momen lentur berubah secara mendadak di titik bekerjanya momen M0

(b)

sebagaimana telah diterangkan dalam pembahasan Persamaan (4-9). Karena kopel bekerja berlawanan jarum jam maka momen berkurang sebesar M0. Jadi, momen di lokasi sedikit di kanan kopel M0 adalah

2,0 k-ft - 1 2,0 k-ft = -10,0 k-ft Dari titik ini ke tumpuan C, diagram ini kembali berupa garis lurus dengan

1 ,25 k. Dengan demikian, momen lentur di tumpuan (c)

kemiringan sama dengan

adalah

Gambar 4-17 Contoh 4-7. Ba1ok

-10,0 k-ft + (1 ,25 k)(8,0 ft) = 0

dengan overstek

sebagaimana diharapkan.

Harga maksimum dan minimum dari momen lentur terjadi di lokasi gaya geser berubah tanda dan di lokasi kopel bekerja. Dengan membandingkan titik­ titik tertinggi dan terendah pada diagram momen, kita lihat bahwa momen lentur terbesar secara numerik sama dengan -10,0 k-ft dan terjadi sedikit di kanan kopel

Mo.