MEKANIKA Bahan dan jilid 1
MEKANIKA E3AHA N
_11LICJ 1 ECJISI KEEMPAT
EDISI KE - 4 MEKANIKA BAHAN
JILID 1
JAMES M. GERE
Profesor Emeritus Stanford University
STEPHEN P. TIMOSHENKO (1878-1972) Mantan Dosen Stanford University
PENERRIT E R L4NGGA
Jl. H. Baping Raya No. 100 Ciracas, Jakarta 1 3740 e-mail: mahameru@rad.net.id (Anggota IKAPI)
DAFTAR ISI
Pengantar ix Simbol
xm Huruf Yunani
xvi
TAR I K TEKAN DAN GESER
Pengantar
Tegangan dan Regangan Normal
Besaran Mekanis Bahan
Elastisitas, Plastisitas, dan Rangkak
Elastisitas Linier, hukum Hooke, dan Rasio Poisson
Tegangan dan Regangan Geser
Tegangan Izin dan Beban Izin
Desain untuk Beban Aksial dan Geser Langsung
Soal-soal
ELEMEN STRU KTUR YANG DIBEBANI SECARA AKSIAL 60
2.1 Pengantar
2.2 Perubahan Panjang pada Elemen Struktur yang Dibebani Secara Aksial
2.3 Perubahan Panjang Batang yang Tidak Seragam
2.4 Struktur Statis Tak Tentu
2.5 Efek Termal
2.6 Tegangan pada Potongan Miring
2.7 Energi Regangan
Beban Kejut
Beban Berulang dan Fatik
*2.1 0 Konsentrasi Tegangan
*2.1 1 Perilaku Nonlinier
*2.1 2 Analisis Elastoplastis
Soa/-soal
* Asterik menandai bagian opsional * Asterik menandai bagian opsional
TORSI
3.1 Pengantar
3.2 Deformasi Torsional Batang Lingkaran
3.3 Batang Lingkaran dari Bahan yang Elastis Linier 171
3.4 To rsi Tak Seragam
3.5 Tegangan dan Regangan pacta Geser Murni
3.6 Hubungan antara Modulus Elastisitas E dan G
3.7 Penyaluran Daya oleh Batang Lingkaran
3.8 Elemen Struktur Torsional Statis Tak Tentu 197
3.9 Energi Regangan pacta Kondisi Torsi dan Geser Murni 200
Tabung Berdinding Tipis
*3.1 1 Konsentrasi Tegangan dalam Keadaaan Torsi 214
*3.1 2 Torsi Nonlinear pacta Batang Lingkaran
Soal-soal
GAYA G ESER DAN MOMEN LENTUR
4.1 Pengantar
4.2 Jenis-jenis Balok, Beban, dan Reaksi
4.3 Gaya Geser dan Momen Lentur
4.4 Hubungan antara Beban, Gaya Geser, dan Momen Lentur 246
4.5 Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur 250
Soal-soal
5 TEGANGAN Dl BALOK (TOPIK DASA R)
5.1 Pengantar
5.2 Lentur Murni dan Lentur Tak Seragam
5.3 Kelengkungan Balok
5.4 Regangan Longitudinal di Balok
5.5 Tegangan Normal di Balok (Bahan Elastis Linier) 272
5.6 Desain Balok terhadap Tegangan Lentur
5.7 Balok Nonprismatis
5.8 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Persegi Panjang 29 1
5.9 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Lingkaran 300
Tegangan Geser di Badan Ba1ok yang mempunyai Flens
30 I
Balok Tersusun dan Aliran Geser
Balok dengan Beban Aksial
Konsentrasi Tegangan pacta Kondisi Lentur 315
Soal-soal
TEGANGAN Dl BALOK (TOPI K LANJUT)
6.1 Pendahuluan
6.2 Balok Komposit
6.3 Metode Penampang Tertransformasi
6.4 Balok Simetris Ganda dengan Beban Miring 352
6.5 Lentur pacta Balok Tak Simetris
Mekanika Bahan vii
6.6 Konsep Pusat Geser
6.7 Tegangan Geser di Balok dengan Penampang Terbuka di Dinding Tipis
6.8 Pusat Geser Penampang Terbuka Berdinding Tipis 373
6.9 Lentur Elastoplastis
Lentur Nonlinier
Soal-soal
R eferensi dan Catatan Sejarah 410 Lampiran A Sistem dan Faktor Konversi
A.1 Sistem Satuan
A.2 Satuan SI
A.3 Satuan Umum Amerika Serikat 425
A.4 Satuan Temperatur
A.5 Konversi anta �; a Satuan
Lampiran B Pemecahan Soal 431 B .1
Jenis Soal
B.2 Langkah-langkah Pemecahan Soal 432
B.3 Homogenitas Dimensional
B.4 Angka Penting
B.5 Pembulatan Bilangan
Lampiran C R umus-rumus Matematika 437 Lampiran D Be sa ran Luas Bidang
441 Lampiran E Besaran Profil Baja Struktural
447 Lampiran F Besaran Kayu Struktural
453 Lampiran G Defleksi dan Kemiringan Balok
454 Lampiran H Besaran Bahan
Jawab Soal
•f
PENGANTAR
Dengan mengambil mata kuliah mekanika bahan, mahasiswa mempelajari topik teknik dasar sekaligus juga mengembangkan kemampuan analitis dan pemecahan masalah. Selama persiapan Edisi Keempat ini, penulis
selalu mengingat tuj uan-tujuan tersebut. Fakta-fakta dan teori-teori mekanika disajikan sedemikian rupa sehingga m udah dalam proses belajar mengajar, dengan pembahasan yang mendalam dan contoh yang banyak, supaya mahasiswa dapat segera menguasai suatu pokok bahasan. Selain itu, penekanan diberikan pada bagaimana menganalisis sistem mekanis dan struktural, dan banyak soal yang mengharuskan mahasiswa melakukan pemikiran orisinal.
Buku ini meliputi semua topik dasar mengenai mekanika bahan, yang disajikan pada level yang cocok untuk mahasiswa teknik tingkat dua dan tiga. Topik-topik utama adalah analisis dan desain elemen struktural yang mengalami tarik, tekan, torsi, dan lentur, termasuk konsep-konsep dasar seperti tegangan, regangan, perilaku elastis, perilaku inelastis, dan energi regangan. Topik-topik lain yang menarik adalah transformasi tegangan dan regangan, pembebanan gabungan, konsentrasi tegangan, defleksi balok, dan stabilitas kolom. Topik-topik yang lebih khusus adalah efek termal, pembebanan dinamis, elemen nonprismatis, balok dua bahan, pusat geser, bejana tekan, dan balok statis tak tentu. Untuk kelengkapan dan rujukan kerja, topik-topik dasar seperti gaya geser, momen lentur, pusat berat, dan
momen inersia juga disajikan di dalam buku ini. Buku ini membahas materi yang jauh lebih banyak daripada yang dapat dibahas dalam satu mata kuliah sehingga dose n mempu nyai kesempatan untuk memilih topik yang menurutnya paling mendasar dan relevan. Topik-topik lanjut di dalam suatu subbab diberi kode bintang (*). Dosen juga dapat memanfaatkan ratusan soal baru (dengan total lebih dari
1 100 soal) yang tersedia sebagai pekerjaan rumah dan diskusi ke\as. Soa\ soal diletakkan di akhir setiap bab agar mudah dicari dan tidak menyela penyajian suatu bab. (Soal yang sangat sulit atau panjang diberi kode satu
atau lebih tanda bintang di dekat nomor soal.) Baik Sistem Satuan lntemasional (SI) atau U.S. Customary System (USCS) digunakan dalam contoh-contoh dan soa\- soal numerik.
Mekanika Bahan ix
Pembahasan tentang kedua sistem dan tabel faktor konversi diberikan dalam lampiran. Untuk soal-soal dengan solusi numerik, soal bernomor ganjil menggunakan satuan uses dan soal bernomor genap menggunakan satuan SI. Satu-satunya pengecualian adalah pada soal dan contoh yang
melibatkan tabel besaran untuk profil baja strnktural karena tabel untuk profil ini hanya tersedia dalam satuan uses. Jawaban soal dicantumkan di bagian belakang buku ini, sehingga mahasiswa dapat memeriksa hasil pekerjaannya.
Rujukan dan catatan sejarah juga dikumpulkan di bagian belakang buku ini. Rujukan dan catatan ini terdiri atas sumber asli pokok bahasan dan catatan biografis mengenai insinyu r, ilmuwan, dan matematikawan pelopor yang menemukan pokok bahasan mekanika bahan. Indeks nama yang terpisah akan mempermudah pencarian masing-masing tokoh sejarah ini. Buku ini dirampungkan dengan indeks subjek yang dipersiapkan secara ekstensif dan hati-hati sehingga setiap topik, konsep, kata kunci, atau definisi dapat ditemukan dengan cepat.
Edisi Keempat dari Mekanika Bahan ini telah ditulis ulang secara hati-hati dengan diskusi yang diperluas, tokoh-tokoh barn, contoh-contoh dan soal-soal barn, serta banyak pernbahan dalam pengaturannya agar buku ini lebih berguna di dalam ruangan kelas. Semua pernbahan dalam pengaturan dan penyajian ini diajukan oleh para dosen dan mahasiswa
yang telah mengenal baik Edisi Ketiga. Usaha yang keras telah dilakukan dalam memeriksa dan membaca ulang teks agar dapat menghilangkan kesalahan, namun apabila pembaca menemukannya, betapapun kecilnya, beritahulah penulis di Department of Civil Engineering, Stanford University, Stanford, California 94305- 4020, U.S .A. (email jgere@ci-ve.stanford.edu), atau kontaklah penerbit (semua surat akan dibalas).
• Penghargaan
Edisi pertama buku ini, diterbitkan pada tahun 1972 dan ditulis o1eh penulis sekarang, mernpakan pengembangan dari buku terdahulu yang disusun oleh Profesor Stephen P. Timoshenko ( 1878-1972), yang menggunakan
judul Strength of Materials. Timoshenko adalah perintis yang paling dihormati dalam bidang mekanika terapan. Melalui penelitian dan buku bukunya, ia merevolusi cara pengajaran mekanika, bukan hanya di Amerika
Serikat melainkaQ juga di selurnh dunia. (Pembaca dapat menemukan biografi ringkas dari Timoshenko di dalam rnjukan pertama di bagian
belakang buku ini.) Penulis menyadari bahwa untuk menyampaikan penghargaan kepada semua orang yang berkontribusi dalam penyusunan buku ini adalah sesuatu yang tidak mungkin. Penulis hanya bisa menyampaikan penghargaan
kepada mantan dosen Stanford penulis, termasuk raksasa-raksasa mekanika, Wilhelm Fliigge, James Norman Goodier, Mikl6s Hetenyi, Nicholas J. Hoff, dan Donovan H. Young. Penulis juga menghargai kolega Stanford
khususnya Tom Kane, Anne Kiremidjian, Helmut Krawinkler, Kincho Law, Peter Pinsky, Haresh Shah, Sheri Sheppard, Allison Smith, dan almarhum Bill Weaver-yang telah membahas filosofi pendidikan dan mekanika dengan penulis pada banyak kesempatan. Selain itu, banyak
X Pengantar
komentar dan ide yang berguna yang disumbangkan oleh Thalia Anagnos dari San Jose State University, John Burgess dari University of Hawaii ,
dan Aron Zaslavsky dari Technion. Penelaah berikut ini telah membaca kesel uruhan Edisi Keempat dalam bentuk konsep dan telah memberikan baik komentar umum maupun khusus untuk perubahan dan perbaikan. Saran-saran mereka terbukti s angat berguna, dan penulis sangat menghargai telaahan dan ketelitian mereka. Terima kasih penulis sampaikan kepada: Majid R. Chitsaz dari Pennsyl
vania State U niversity; Robert D. Cook dari Uni wr si t;. of Wisconsin Madison; Janak Dave dari University of Cincinnati; Sergey Drabkin dari
Polytechnic U niversity of New York; Raghu Echempati dari Cni\'ersity of Mississippi; Harvey Lipkin dari Georgia Institute of Technolog;.: Douglas Nims dari University of Toledo; Douglas B. Rigby dari Hong Kong
University of S cience adn Technology; dan P.D. S carlatos dari Florida Atlantic U niversity.
Selain itu, penelaah berikut ini telah memberikan komentar terhadap Edisi Ketiga dalam telaah sebelum perbaikan. Saran-saran mereka sangat menentukan dalam pembe ntukan Edisi Keempat, dan pen ulis sangat menghargai ide-ide mereka. Terima kasih penulis sampaikan kepada: Hojjat Adeli dari Ohio State University; Kevyan Ahdut dari Uni\ ersity of the District of Colu mbia; John B. Brunski dan Robert H. P. Dunn, keduanya dari Rensselaer Polytechni c Institute; Ted A. Conway dari University of Akron ; Xiao mi n Deng dari University of So uth Carolina; Arya Ebrahimpour dari Pennsylvania S tate Universi ty; M. Elgaaly dan Anisur Rahman, keduanya dari Drexel University; Ahmed lbrahim dari S tate University of New York at Farmi ngdal e: Norman F. Knig ht dan Ramamurthy Prabhakaran , keduanya dari Old Dominion University; Gladius Lewis dari University of Memphis. Zhong Ming Liang dari Purdue Uni versity; E.L. Parker dari Valley Forge Mil itary Colege; Edwin Powers dari Catonsv ille Community College: Charles Rondeau dari Jamestown Community College; Michael Schwartz dari University of St. Thomas; Sheri Sheppard dari S tanford; R. S ierakowski dari Ohio S tate University;
L.T.D. Topoleski dari University of Maryland at Baltimore; Morteza Torkamani dari University of Pittsburgh, dan Manoochehr Zoghi dari
University of Dayton. Pen ul i s dibantu dalam pengolahan kata (word processing) dan persiapan naskah, pembacaan ulang oleh Due Wong, yang telah bekerja dengan perhatian dan ketelitian penuh. Selain i tu, mahasiswa pascasarjana
berikut ini telah memberikan bantuan keahliannya dalam membaca ulang dan menyiapkan solusi soal: Yih-Lin S helley Cheng, K rista Marie
Donaldson, Denise M. Fennell, Jamie Hsieh, Peter I. Huang, Chao-Hua (Eric) Lin, Angela Chia-Lin Teng, dan May Min-Chiao Wong. Penyuntingan dan produksi dilaksanakan secara trampil dan efisien oleh s taf PWS Publishing Company, termas uk Jonathan Plant, Mary Thomas Stone, dan Helen M. Walden. Penulis secara khusus berterima
kasih pada Mary Thomas Stone, yang merupakan penyunting untuk buku ini dan memberikan komentar, pandangan, dan bantuan yang jauh melebihi
yang penulis duga. Semangat bekerja sama dan bersahabat yang di tunjukkan oleh semuanya di PWS menjadikan pekerjaan i ni suatu kebahagiaan .
Akhirnya, penulis sangat menghargai kesabaran dan dorongan yang diberikan oleh keluarga penulis, khususnya istri penulis, Jani ce, di seluruh proyek ini.
Mekanika Bahan xi Kepada masing-masing orang baik ini, penulis dengan gembira
menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya. James 1\1. Gere
• Alat Bantu Tambahan
Edisi Keempat menyertakan juga disket 3.5" yang mengandung program komputer yang berguna dan mudah-Mathcad™ Engine 5.0 for Win
dows©-dan sekumpulan lembar kerja untuk memecahkan soal-soal mekanika bahan. Lembar kerja tersebut diperiksa silang terhadap contoh contoh dan soal-soal teks yang sesuai dengan ikon bergambar disket. Ikon
ini menunjukkan jenis soal atau contoh yang sesuai dengan Jembar kerja tersebut. Semua soal dan contoh di dalam teks dimaksu dkan untuk
dipecahkan sesuai pilihan dosen dan mahasiswa dan tidak didesain untuk perangkat hitung tertentu.
Juga tersedia paket baru yang unik berupa buku kerja dan CD-ROM, Visual Mechanics. Dikembangkan di University of Washington oleh Ore
gory R. Miller dan Stephen C. Cooper, paket ini terdiri atas CD-ROM dengan dua program (disebut Dr. Beam dan Dr. Stress), dan sebuah buku
pegangan dengan lembar kelja, latihan, dan contoh-contoh, yang terpusat pada lentur balok dan analisis kondisi tegangan. Perangkat lunak dan bahan instruksional pendukungnya memberikan mahasiswa laboratorium virtual yang mudah dipakai untuk memvisualisasikan perilaku balok, memahami model matematika, dan mengeksplorasi teori mekanika bahan dan metode desain.
Kedua alat bantu yang didasarkan atas perangkat lunak ini ditujukan sebagai pelengkap; buku teks ini dapat digunakan dengan efektif secara tersendiri.
Instructor's Solution Manual dengan solusi lengkap untuk semua soal tersedia untuk pengguna buku ini.
PWS Publishing Company
SIMBOL
A Luas/area/daerah A,. Luas sayap (jlens) Aw
Luas badan (web)
a,
b, c Dimensi (ukuran), jarak
c Pusat berat (centroid), konstanta integral, gaya tekan
c Jarak dari sumbu netral ke permukaan luar balok
D Diameter
d Diameter, dimensi , ukuran jarak (distance)
E Modu lus elastisitas E,
Modulus elastisitas reduksi E,
Modulu s elastisitas tangensial
e Eksentrisitas, dimensi (ukuran), jarak, perubahan volume satuan (dilatasi)
F Gay a
f Aliran geser, faktor bentuk untuk lentur plastis, tleksibi litas, frekuensi (Hz)
fr Fleksibilitas torsional batang
G Modu lus elastisitas dalm kondi si geser
g Percepatan gravitasi
H Tinggi, jarak, gaya, reaksi , tenaga kuda
h Tinggi, dimensi (ukuran) Momen inersia (atau momen kedua) dari sebuah luas bidang
l,, / v' /: Momen inersia terhadap sumbu x, y, dan z /<1, /�'�
Momen inersia terhadap sumbu x1 dan y1 (su mbu diputar) /n,
Perkalian (produk) inersia terhadap sumbu xy
ld\'l
Perkalian (produk) inersia terhadap sumbu x1y1 (sumbu diputar)
Momen inersia polar /1, l2
t,
Momen inersia utama
Konstanta torsi
Faktor konsentrasi tegangan, modulus e\astisitas padat (bulk), faktor panjang efektif untuk sebuah kolom
Mekanika Bahan xiii Konstanta pegas, kekakuan, simbol untuk
El
Kekakuan torsional sebuah batang Panjang j arak Panjang efektif sebuah kolom
Logaritma natural (basis e) Logaritma umum (basis 10)
Momen lentur, kopel, massa Momen plastis untuk sebuah balok
Momen luluh untuk sebuah balok Momen per satuan panjang, massa per satuan panjang Gaya aksial
n faktor keamanan, bilangan bulat, putaran per meni t (rpm)
0 Pusat koordinat 0'
Pusat kelengkungan
Gaya, beban terpusat, daya
pizin
Beban izin (atau kerja izin)
per
Beban kritis untuk sebuah kolom
pp
Beban plastis untuk sebuah struktur
pr
Beban modulus-reduksi untuk sebuah kolom
pt
Beban modulus tangensial untuk sebuah kolom
P,.
Beban luluh untuk sebuah struktur
Tekanan (gaya per satuan luas) Q
Gaya beban terpusat, momen pertama sebuah bidang q
Intensitas beban terdistribusi (gaya per satuan jarak) R
Reaksi; jari-jari (radius) r
El s
Jari-jari (radius), jari- jari girasi (gyration)
Modulus potongan penampang sebuah balok, pusat geser
Jarak, jarak di sepanjang sebuah garis lengkung
Gay a tarik; momen puntir atau momen putar (torque), temperatur Momen putar (torque) plastis
Momen putar (torque) luluh Tebal; waktu; intensitas torque Tebal sayap (jlens) Tebal badan ( w eb) Energi regangan Densitas energi regangan ( energi re gang an per satuanvolume) Modulus resistansi Modulus ketangguhan
Gaya geser; volume
V defleksi sebuah balok; kecepatan v', v", dst.
dv/dx, d2v!d:2, dst.
Gaya; berat; usaha (kerja)
Beban per luas satuan (gaya per satuan luas)
y, Z Sumbu persegi panjang
S umbu persegi panjang
X,
y, 'Z Koordinat pusat berat
Modulus plastis penampang sebuah balok Modulus plastis penampang sebuah balok
a Sudut, koefisien ekspansi panas, rasio nondimensional f3 Sudut, rasio nondimensional, konstanta pegas, kekakuan
{3R Kekakuan p utar sebuah pegas
g Regangan geser, densitas/rapat berat (berat per satuan volume)
'Yrv' 1\·z' Yzx
Regangan geser pada bidang xy, y.:, dan zx
'Yrlvl
Regangan geser terhadap sumbu x1y1 (sumbu diputar)
Yo
Regangan geser untuk sumbu miring
Defleksi, pelepasan, perpanjangan sebuah batang atau pegas
11T
Beda temperatur
op Pelepasan statis oy Pelepasan l ul uh
c Regangan normal ex, cy, cz Regangan geser dalam arah x, y, dan z
eo
Regangan normal untuk sumbu miring
Regangan normal utama
t:'
Regangan lateral
er
Regangan luluh
Sudut-sudut rotasi sumbu balok, laj u puntiran sebuah batang dalam keadaan torsi (sudut puntir per satuan panjang ) Sudut terhadap sebuah bidang utama atau terhadap sebuah sumbu utama S udut terhadap sebuah bidang tegangan geser maksimum Kelengkungan (K" = lip) Jarak
V Rasio Poisson
Jari-jari radius kelengkungan, jarak radial dalam koordinat po lar, massa jenis (massa per satuan volume)
(J
Tegangan normal Tegangan normal pacta bidang yang tegak lurus terhadap sumbu
x, y, dan z
Tegangan normal pacta bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x1y1 (sumbu diputar)
(J(J
Tegangan normal pacta bidang miring
(JP (J2' (J3
Tegangan normal utama
(Jizin
Tegangan sisi (atau tegangan kerja)
Tegangan kritis untuk sebuah kolom (acr = Pc/A)
(Jcr
(Jpl
Tegangan limit-proposal
(Jr
Tegangan sisa (residual)
(JT
Tegangan termal
(Ju
Tegangan ultimate
(Jr
Tegangan lul uh
Tegangan geser Tegangan geser pacta bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x, y, z, dan bekerj a sejajar sumbu y, z, dan x
rxlvl
Tegamgam geser pacta sebuah bidang yang tegak lurus terhadap sumbu x1 dan yang bekerja sejajar sumbu y1 (sumbu diputar)
Tegangan geser pacta sebuah bidang miring Tegangan i zin (atau tegangan kerja) pacta kondisi geser
XV
Mekanika Bahan
ru
tegangan ultimate pada kondisi geser
ry
tegangan luluh pada kondisi geser
cp
sudut, sudut puntir sebuah batang pada kondisi torsi
IJ'
sudut, sudut rotasi
kecepatan sudut (angular), frekuensi sudut (angular) (w = 27if)
Tanda asteriks dicantumkan pada nomor subbab untuk menandai bahwa subbab tersebut membahas suatu topik lanjut. Soal-soal yang sangat sulit, yang rumit pemecahannya, bisa saja ditandai dengan lebih dari satu tanda asteriks ini.
• Huruf Yunani
A a Alpha
V Nu
B {3 Beta
Xi
rr
Gamma
0 0 Omicron
L1
8 Delta
II 7r
Pi
Epsilon
Rho
s Zeta
L a Sigma
H 1}
Eta
Tau
e ()
Theta
V Upsilon
I Iota
cp
Phi
K K:
Kappa
X X Chi
A A-
Lambda
IJ' If/
Psi
M J1
Mu
Q)
Omega
TARIK, TEKAN, DAN GESER
PENGANTAR MEKANI KA BAHAN Mekanika bahan actalah cabang dari mekanika terapan yang membahas
perilaku bencta pactat yang mengalami berbagai pembebanan. Nama-nama lain untuk bictang ilmu ini actalah kekuatan bahan ctan mekanika benda yang dapat berdeformasi. Bencta pactat yang ctitinjau ctalam buku ini meliputi batang (bars) ctengan beban aksial, poros (shafts) yang mengalami torsi, balok (beams) yang mengalami lentur, ctan kolom (columns) yang mengalami tekan.
Tujuan utama mekanika bahan actalah untuk menentukan tegangan (stress), regangan (strain) ctan peralihan (displacement) pada struktur ctan komponen-komponennya akibat beban-beban yang bekerja pactanya. Apabila kita ctapat memperoleh besaran-besaran ini untuk semua harga beban hingga mencapai beban yang menyebabkan kegagalan, maka kita akan ctapat mempunyai gambaran lengkap mengenai perilaku mekanis pacta struktur tersebut. Pemahaman perilaku mekanis sangat penting untuk
ctesain yang aman bagi semua jenis struktur, baik itu berupa pesawat terbang ctan antena, gectung ctan jembatan, mesin ctan motor, maupun
kapal laut dan pesawat luar angkasa. ltulah sebabnya mekanika bahan actalah materi ctasar pacta begitu banyak cabang ilmu teknik. Statika ctan ctinamika juga penting, tetapi keduanya terutama membahas gaya ctan gerak yang berkaitan ctengan partikel ctan bencta tegar. Dalam mekanika bahan kita melangkah lebih jauh dengan mempelajari tegangan ctan regangan cti ctalam bencta nyata, yaitu bencta ctengan ctimensi terbatas yang bercteformasi akibat pembebanan. Untuk menentukan tegangan ctan
regangan, kita menggunakan besaran-besaran fisik material selain juga berbagai aturan ctan konsep teoretis.
Analisis teoretis ctan basil eksperimen mempunyai peranan yang sama pentingnya cti ctalam mekanika bahan. Seringkali kita m enggunakan teori untuk menurunkan rumus ctan persamaan untuk memprectiksi perilaku mekanis, tetapi semua ini tictak ctapat ctigunakan ctalam desain praktis kecuali apabila besaran fisik ctari material diketahui. Besaran seperti ini hanya ctapat diperoleh ctari basil eksperimen yang cermat cti laboratorium. Lebih jauh lagi, banyak masalah praktis yang tictak ctapat ctiterangkan ctengan analisis teoretis saja, dan ctalam kasus seperti ini pengujian fisik merupakan keharusan.
2 Bab 1 Tarik. Tekan. dan Geser Riwayat perkembangan mekanika bahan merupakan kombinasi yang
menarik antara teori dan eksperimen-teori telah menunj ukkan jalan ke hasil eksperimen yang berguna, begitu pula sebaliknya. Orang-orang terkenal seperti Leonardo da Yinci ( 1452 - 15 19) dan Galileo Galilei ( 1564 - 1642) telah melakukan eksperimen untuk menentukan kekuatan kawat, batang, dan balok, meskipun mereka tidak menge mbangkan teori yang me madai (berdasarkan standar masa kini) un tuk menjelaskan hasil penguj ian mereka. Sebaliknya, matematikawan temama Leonhard Euler (1707- 1 783) mengembangkan teori mate matis tentang kolom (column) dan menghitung beban kritis sebuah kolom pada tahun 17-+4. jauh sebelum adanya bukti eksperimental untuk memperlihatkan signifikansi hasilnya. Tanpa adanya pengujian yang memadai untuk mendukung hasilnya, teori
Euler sempat tidak digunakan selama lebih dari I 00 tahun. sekalipun saat
ini teori tersebut merupakan dasar untuk desain dan analisis hampir semua kolom.·
Dalam mempelajari mekanika bahan, pembaca akan mendapatkan bahwa usaha yang dibutuhkan terbagi atas dua bagian. yaitu: pertama, memahami pengembangan logis konsep-konsepnya, dan kedua. menerap
kan konsep-konsep tersebut ke dalam si tuasi praktis. Bagian pertama tercapai dengan mempelajari penurunan rumus, pembahasan dan contoh contoh yang ada di setiap bab sedangkan bagian kedua tercapai dengan memecahkan soal-soal di akhir setiap bab. Beberapa soal menggunakan angka (numerik) dan lainnya menggunakan simbol (aljabar).
Keuntungan dari soal numerik adalah bahwa semua besarannya terlihat jelas di setiap tahap perhitungan sehingga memberikan kesempatan untuk men ilai apakah harga n umerik tersebut masuk aka! atau tidak. Keuntungan utama dari soal simbolik adalah bahwa hasilnya berupa rumus yang serba guna. S uatu rumus menunj ukkan variabel-variabel yang mempengaruhi hasil akhir; sebagai contoh, kadang-kadang suatu besaran tidak muncul di dalam solusi, suatu fakta yang tidak terlihat jelas dalam solusi numerik. Selain itu, solusi aljabar menunj ukkan bagaimana masing-masing variabel mempengaruhi hasil, seperti ketika satu variabel muncul di pembilang dan variabel lain muncul di penyebut. Lebih jauh lagi, solusi simbolik memberikan kesempatan untuk mengecek dimensi pada setiap tahap perhitungan. Akhirnya, alasan paling penting untuk memecahkan secara aljabar adalah untuk mendapatkan rumus umu m yang dapat digunakan pada berbagai soal yang berbeda. Sebaliknya, solusi numerik hanya berlaku pada satu set kondisi. Karena seorang insinyur harus terbiasa dengan kedua
jenis solusi tersebut, maka di dalam buku ini disajikan perpaduan antara soal numerik dan soal simbolik.
Soal-soal numerik mengharuskan pembaca bekerja dengan satuan pengukuran yang khusus. Agar sesuai dengan kondisi di dalam praktek, buku ini menggunakan Sistem Internasional (SI) dan Sistem U mum
Amerika Serikat (USCS). Pembahasan mengenai kedua sistem ini diberikan dalam Lampiran A yang meliputi banyak tabel yang berguna termasuk tabel faktor konversi.
Semua soal terdapat di akhir setiap bab, dengan nomor soal yang menunj ukkan subbab asal soal-soal tersebut. Untuk soal-soal yang membutuhkan solusi numerik, soal yang bemomor ganjil mempunyai satuan
USCS dan soal yang bernomor genap mempunyai satuan S I. Satu-satuny<,l
l:trl Ci:drk1l ll'I ,LII):tl p.tdtr I�L'I I � d;trl I -�
1�1\\,l�:rl rnc�.1111�,1 h:dro�ll 111\ll�rr d;rrr ll·nn:ud1•
Mekanika Bahan 3
kekecualian adalah soal-soal yang melibatkan profil baja struktural yang umum diperdagangkan karena besaran dari profil ini ditabelkan dalam
Lampiran E hanya dalam satuan USCS. Teknik-teknik penyelesaian soal dibahas secara rinci dalam Lampiran
B. Selain memuat daftar prosedur rekayasa yang baik, Lampiran B juga memuat bagian-bagian tentang homogenitas dimensional dan angka penting. Topik-topik ini secara spesifik penting karena setiap persamaan
harus homogen secara dimensional dan setiap hasil numerik harus dinyatakan dengan sejumlah angka penting yang tepat. Di dalam buku ini,
hasil numerik akhir biasanya dinyatakan dengan tiga angka penting apabila suatu bilangan dimulai dengan angka 2 sampai 9, dan dengan empat angka
penting apabila suatu bilangan dimulai dengan angka I. Harga-harga antara (intermediate value) biasanya dicatat dengan digit tambahan untuk meng hindari hilangnya ketelitian numeris akibat pembulatan bilangan.
TEGANGAN DAN REGANGAN NORMAL
Konsep paling dasar dalam mekanika bahan adalah tegangan dan regangan . Konsep ini dapat diilustrasikan dalam bentuk yang paling men
dasar dengan meninjau sebuah batang prismatis yang mengalami gaya aksial. Batang p r i s m a t i s adalah sebuah elemen struktural lurus yang mem punyai penampang konstan di seluruh panjangnya, dan gaya aksial adalah beban yang mempunyai arah sama dengan sumbu elemen, sehingga meng akibatkan terjadinya tarik atau tekan pada batang. Contoh-contohnya diper lihatkan dalam Gambar 1 - 1 , di mana batang penderek tarik (tow bar) merupakan sebuah elemen prismatis yang mengalami tarik dan batang roda untuk pendaratan adalah elemen yang mengalami tekan. Contoh contoh lainnya adalah elemen di rangka batang pada jembatan, batang batang penghubung pada mesin mobil dan sepeda, kolom di gedung, dan flens tarik di pesawat terbang kecil.
Untuk keperluan pembahasan, kita akan meninjau batang penderek dalam Gambar 1 - 1 dan mengisolasi salah satu segmennya sebagai benda bebas (Gambar 1-2a). Sewaktu menggambar diagram benda bebas ini, kita abaikan berat batang dan kita asumsikan bahwa gaya yang aktif hanyalah gaya aksial P di ujung-ujungnya. Selanjutnya kita tinjau dua kondisi batang tersebut, yang pertama sebelum beban diterapkan (Gambar
l-2b) dan yang kedua sesudah beban diterapkan (Gambar 1-2c). Perhatikan bahwa panjang semula dari batang ditunjukkan dengan huruf L dan
pertambahan panjangnya ditunjukkan dengan huruf Yunani 8 (delta). Tegangan internal di batang akan terlihat apabila kita membuat sebuah potongan imajiner melalui batang pada bagian mn (Gambar l -2c). Karena
Gambar 1-1 Elemen struktur yang mengalami beban aksial. (Batang penderek mengala mi tarik dan batang roda pendaratan mengalami
tekiln.) Batang Penderek Tarik
4 Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser potongan ini diambil tegak lurus sumbu longitudinal batang, maka disebut
potongan melintang (penampang). Sekarang kita isolasi bagian dari batang di kiri potongan melintang mn sebagai benda bebas (Gambar l -2d). Di ujung kanan dari benda bebas ini (potongan mn) ditunjukkan aksi yang diberikan oleh bagian yang dihilangkan dari batang tersebut (yaitu bagian di kanan potongan mn) terhadap bagian sisanya. Aksi ini terdiri atas gaya terdistribusi kontinu yang bekerja pada seluruh penarnpang. Intensitas gaya
(::t)
(yaitu gaya per satuan luas) disebut tegangan dan diberi notasi huruf ¥unani a (sigma). Jadi, gaya aksial P yang bekerja di penampang adalah resultan dari tegangan y ang terdistribusi kontinu . (Gaya resultan ditunjukkan dengan garis putus-putus di dalam Gambar l -2d.)
Dengan mengasumsikan bahwa tegangan terbagi rata di seluruh
Ill
potongan mn (Gambar l-2d), kita dapat melihat bahwa resultannya hams sama dengan intensitas a dikalikan dengan luas penampang A dari batang
I tersebut. Dengan demikian, kita mendapatkan rumus berikut untuk -L+Ii I
menyatakan besar tegangan:
(c)
(1-1)
Persamaan ini memberikan intensitas tegangan merata pada batang prismatis yang dibebani secara aksial dengan penampang sembarang. Apabila batang ini ditarik dengan gaya P, maka tegangannya adalah
G a m ba r 1 -2 Batang prismatis
tegangan tarik (tensile stress); apabila gayanya mempunyai arah
yang mengalami tarik (a) diagram
sebaliknya, sehingga menyebabkan batang tersebut mengalami tekan, maka
benda bebas dari segmen batang,
terj adi tegangan tekan (compressive stress). Karena tegangan ini
(b) segmen batang sebelum di
mempunyai arah yang tegak lurus permukaan potongan, maka tegangan
bebani, (c) segmen batang sesudah dibebani, dan (d) tegangan normal
ini disebut tcgangan normal (normal stress). Jadi, tegangan normal dapat
pada batang.
berupa tarik atau tekan. Selanjutnya, di dalam Subbab 1.6, kita akan menjumpai jenis tegangan lainnya, yang disebut tegangan geser, yang bekerja sejajar terhadap permukaan potongan.
Apabila konvensi tanda untuk tegangan normal dibutuhkan, biasanya tegangan tarik didefinisikan bertanda positif dan tegangan tekan bertanda negatif.
Karena tegangan normal a diperoleh dengan membagi gaya aksial dengan luas penampang, maka satuannya adalah gaya per satuan luas. Jika satuan uses digunakan, maka tegangan biasanya dinyatakan dalam pound per inci kuadrat (psi) atau kip per inci kuadrat (ksi).' Sebagai
contoh, misalkan batang dalam Gambar 1 -2 mempunyai diameter d sebesar 2,0 in. dan beban P mempunyai besar 6 kips. Dengan demikian, tegangan
di batang adalah
6 a=-= k --- =
= 1,9 1 ksi (atau 1 9 10 psi)
A mi2 /4
7r(2,0 in i I4
Di dalam contoh ini tegangan adalah tarik dan bertanda positif. Apabila satuan SI digunakan, gaya dinyatakan dalam newton (N) dan luas dalam meter kuadrat (m2). Dengan demikian, tegangan mempunyai satuan newton per meter kuadrat (N/m2), yang disebut juga pascal (Pa). Tetapi, pascal adalah satuan yang sedernikian kecilnya sehingga dibutuhkan pengali yang besar, maka biasanya digunakan megapascal (MPa). Untuk
Sdlll Kip <llau kilopound, 'Wlla JLngan
1000 lh
Mekanika Bahan 5
mengilustrasikan bahwa satu pascal memang kecil, kita hanya perlu mengingat bahwa 1 psi kira-kira sama dengan 7000 pascal. Sebagai contoh
numerik, tegangan yang dibahas dalam paragraf sebelum ini (1 ,9 1 ksi) ekivalen dengan 13,2 MPa yang sama dengan 1 3,2 x 106 pascal. Meskipun tidak diharuskan dalam SI, pembaca kadang-kadang menjumpai tegangan
dinyatakan dalam satuan newton per milimeter kuadrat (N/mm2), yang sama dengan MPa.
Persamaan cr =PIA hanya berlaku jika tegangan terbagi rata di seluruh penampang batang. Kondisi ini terjadi jika gaya aksial P bekerja melalui pusat berat penampang, sebagaimana ditunjukkan di bagian lain dari subbab ini. Apabila beban P tidak bekerja di pusat berat, maka lentur batang akan terjadi, dan analisis yang lebih rumit dibutuhkan (lihat Subbab 5 . 1 2 dan
1 1 .5). Namun, di dalam buku ini (sebagaimana juga dijumpai di dalam praktek) dianggap bahwa gaya aksial diterapkan di pusat berat penampang, kecuali apabila dinyatakan tidak demikian.
Kondisi tegangan merata yang ditunjukkan dalam Gambar l -2d terjadi di seluruh panjang batang kecuali di dekat ujung-ujungnya. Distribusi tegangan di ujung batang bergantung pada bagaimana beban P disalurkan ke batang, Jika beban tersebut terbagi rata di ujungnya, maka pola tegangan di ujung akan sama dengan di seluruh bagian lainnya. Sekalipun demikian, beban sangat mungkin disalurkan melalui sendi atau baut, yang menyebab kan terjadinya tegangan yang sangat terlokalisasi yang disebut konsentrasi tegangan. Salah satu kemungk:inannya adalah dengan menggunakan batang
G amba r 1 -3 B a tang pendel
pendel seperti terlihat dalam Gambar 1 -3. Dalam hal ini beban
P disalurkan
dari baja yang mengalami beban
ke batang tersebut melalui sendi yang melalui lubang (atau mata) di ujung uj ung batang. Jadi, gaya-gaya di dalam gambar tersebut sebenarnya merupakan resultan dari tekanan tumpu antara sendi dan batang pendel, dan distribusi tegangan di sekitar 1ubang cukup rumit. Sekalipun demik:ian, apabila kita bergerak menjauhi ujung ke arah tengah batang, distribusi tegangan akan secara gradual mendekati distribusi yang rata sebagaimana terlihat dalam Gambar l -2d.
tarik, P.
Sebagai petunjuk praktis, rumus cr = PIA dapat digunakan dengan ketelitian yang baik untuk sembarang titik di dalam batang prismatis, yaitu setidaknya sejauh mungk:in dari konsentrasi tegangan sebagai dimensi lateral terbesar dari batang tersebut. Dengan perkataan lain, distribusi
tegangan di dalam Gambar 1-2d terbagi rata pada jarak d atau lebih besar dari ujung-ujungnya, dimana d adalah diameter batang dan distribusi tegangan di batang pendel (Gambar 1 -3) terbagi rata pada jarak b atau lebih besar dari ujung yang diperbesar, dengan b adalah lebar batang. Pembahasan yang lebih rinci tentang konsentrasi tegangan yang diakibatkan oleh beban aksial diberikan dalam Subbab 2. 1 0.
Tentu saja, meskipun tegangan tidak terbagi rata, persamaan cr =PIA masih tetap berguna karena persamaan ini memberikan tegangan normal rata-rata di suatu penampang.
• Regangan Normal
Sebagaimana telah diamati, suatu batang lurus akan mengalami perubahan panjang apabila dibebani secara aksia1, yaitu menjadi panjang jika mengalami tarik dan menjadi pendekjika mengalami tekan. Sebagai contoh,
tinjau kembali batang prismatis dalam Gambar 1 -2. Perpanjangan 8 dari batang ini (Gambar 1 -2c) adalah hasil kumulatif dari perpanjangan semua elemen bahan di seluruh volume batang. Asumsikan bahwa bahan tersebut
6 Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser sama di mana pun di dalam batang. Selanjutnya, jika kita meninjau setengah
bagian dari batang (panjangnya L/2), bagian ini akan mempunyai
perpanjangan yang sama dengan /5/ 2 , dan jika kita meninjau seperempat
bagian dari batang, bagian ini akan mempunyai perpanjangan yang sama
dengan /5/4. Dengan cara yang sama, satu satuan panjang dari batang tersebut akan mempunyai perpanjangan yang sama dengan 1/L kali
perpanjangan total 8. Dengan proses ini kita akan sampai pada konsep
perpanjangan per satuan panjang, atau rcgangan , yang diberi notasi huruf Yunani e (epsilon) dan dihitung dengan persamaan
e= o
(1 -2)
Jika batang tersebut mengalami tarik, maka regangannya disebut rcgangan tarik , yang menunjukkan perpanjangan bahan. Jika batang tersebut meng
alami tekan, maka regangannya adalah regangan tckan dan batang tersebut memendek. Regangan tarik biasanya bertanda positif dan regangan tekan
bertanda negatif. Regangan e disebut regangan normal karena regangan ini berkaitan dengan tegangan normal. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan normal ini merupakan hcsaran tak herdimensi , artinya regangan tidak mempunyai satuan. Dengan demikian, regangan dinyatakan hanya dengan suatu
bilangan, tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Sebagai contoh, tinjau batang baja yang mempunyai panjang L sama dengan
2,0 m. Apabila dibebani tarik yang cukup besar, batang tersebut dapat
memanjang sebesar 1,4 mm, yang berarti regangannya
§_ mm = 1•4 =
0,0007 = 700 x 1 0 --{)
2,0 m
Dalam praktek, satuan o dan L kadang-kadang disertakan dalam regangan, dan regangan ditulis dalam bentuk seperti mm/m, .urnlm, dan in./in. Sebagai
contoh, regangan e pacta ilustrasi di atas dapat ditulis dengan 700 .urnlm atau 700 x 10� in./in. Kadang-kadang regangan juga dinyatakan dalam persen, khususnya jika regangan tersebut besar. (Di dalam contoh di atas, regangan adalah 0,07%.)
• Regangan dan Tegangan Uniaksial Definisi tegangan normal dan regangan normal semata-mata didasarkan
atas tinjauan statika dan geometris saja, yang berarti bahwa persamaan (I
I) dan (1-2) dapat digunakan untuk berbagai beban besar berapapun dan berbagai jenis material (bahan). Persyaratan utama adalah bahwa deformasi batang adalah sama di seluruh volumenya, yang pada gilirannya
mengharuskan batang tersebut prismatis, beban bekerja melalui pusat berat penampang dan bahannya homogen (yaitu, sama di seluruh bagian dari
batang tersebut). Keadaan tegangan dan regangan yang dihasilkan disebut tegangan uniaksial dan regangan . Pembahasan lebih lanjut tentang tegangan uniaksial, termasuk juga tegangan dan regangan pada batang
yang bukan longitudinal, diberikan dalam subbab 2.6. Kita juga akan
menganalisis keadaan tegangan yang lebih rumit, seperti tegangan biaksial dan tegangan bidang, di dalam Bab 7.
7 • Garis Kerja Gaya Aksial untuk Distribusi Tegangan Terbagi Rata
Mekanika Bahan
Di seluruh pembahasan terdahulu tentang tegangan dan regangan di batang prismatis, kita asumsikan bahwa tegangan normal CJ mempunyai distribusi terbagi rata di seluruh penampang. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa kondisi ini terpenuhi jika garis kerja gaya aksial melalui pusat berat
penampang melintang.
Tinjaulah batang prismatis yang mempunyai bentuk penampang sembarang yang mengalami gaya aksial P yang menyebabkan terjadinya tegangan terbagi rata (Gambar l -4a). Juga, misalkan p1 adalah titik pada
CJ penampang di mana garis kerja gaya memotong penampang (Gambar l -4b ). Kita buat si stem sumbu xy pada bidang pen am pang dan ea tat
koordinat titik p1 dengan x dan y. Untuk menentukan koordinat ini, kita amati bahwa momen M, dan M, dari gaya P masing-masing terhadap sumbu x dan y, harus sama dengan momen yang berkaitan dengan tegangan terbagi rata.
Momen dari gaya P adalah
(a, b) di mana momen dipandang positif apabila vektomya ( dengan menggunakan
(bi
aturan tangan kanan) bekerja dalam arah positif sumbunya.* Momen dari tegangan yang terdistribusi diperoleh dengan meng
Gambar 1 -4 Distribusi tegangan
integrasikannya di seluruh penampang A. Gaya diferensial yang bekerja
tcrbagi rata di suatu batang
pada suatu elemen luas dA (Gambar l -4b) sama dengan CJdA. Momen dari
prismatis : (a) gaya aksial P, dan (b) penampang melintang batang
gaya tersebut terhadap sumbu x dan y adalah masing-masing aydA dan -CJXdA, yang mana x dan y menunjukkan koordinat elemen dA. Momen total diperoleh dengan mengitegrasikannya terhadap luas penampang; jadi, kita peroleh
(c,d) Pemyataan ini memberikan momen yang dihasilkan oleh tegangan CJ.
Selanjutnya, kita samakan momen M, dan M, yang diperoleh dari gay a P (Persamaan a dan b) dengan m omen yang diperoleh dari tegangan yang terdistribusi (Persamaan c dan d):
Py= I ay dA Px = -Im dA
Karena tegangan CJ terbagi rata, maka kita ketahui bahwa nilainya konstan di seluruh penampang A dan dapat diletakkan di luar tanda integrasi. Juga, kita ketahui bahwa tegangan sama dengan PIA. Dengan demikian, kita peroleh rumus berikut untuk koordinat titik p;:
- 0) ' dA \' =
X= I
0)' dA
( 1 -3a,b)
Persamaan ini sama dengan persamaan yang mendefinisikan koordinat pusat berat suatu area (lihat Pers. 12-3a dan b). Dengan demikian, kita sekarang telah sampai pada sebuah kesimpulan penting. Untuk memperoleh
tarik atau tekan yang terbagi rata pada suatu batang prismatis, gaya
':'Untuk mcmvisualisasikan aturan tangtm kanan, hayangan hahwa rcmhaca rncmcgang .'lulllhu Lkngan tangan kanan �cdcmiki'-ln hinggJ jari-j�ui pcmhac:.r mclipal di sch.itar sumhu Lcr�chuL Jan jcmpol lllL'nunjuJ... posili! Jari "llllrhu Sclanjutnycr, mn111cn aJalah posilil jika hckcrjtrlcrhcrdap sumhu dalam arah yang sama dcngan jw i-jar i pcmhaca
B Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser
aksial harus bekerja melalui pusat berat penampang. Sebagaimana telah diuraikan sebelum ini, kita selalu mengasumsikan bahwa kondisi ini terpenuhi, kecuali jika secara eksplisit dinyatakan tidak demikian.
Contoh berikut ini mengilustrasikan perhitungan tegangan dan regangan pada batang prismatis. Dalam contoh pertama, kita mengabaikan berat batang dan dalam contoh kedua kita memasukkannya. (Agar sesuai
dengan buku-buku praktek pada umumnya, kita selalu mengabaikan berat suatu struktur apabila memecahkan suatu soal, kecuali apabila diinstruksi kan untuk memasukkannya.)
• Contoh 1-1
Sebuah tiang pendek berupa tabung 1ingkaran berlubang dari aluminium memikul beban tekan sebesar
54 kips (Gambar 1 -5). Diameter dalam dan luar dari tabung
tersebut masing-masing adalah d1 = 3,6 in dan d2 = 5,0 in. dan panjangnya adalah
5- H
40 in. Perpendekan tiang akibat beban tersebut diukur sebesar 0,022 in. Tentukanlah tegangan dan regangan tekan di tiang tersebut. (Abaikan berat tiang itu sendiri dan asumsikan bahwa tiang tersebut tidak menekuk akibat beban tersebut.)
Solusi
Asumsikan bahwa beban tekan bekerja di pusat tabung berlubang sehingga kita dapat menggunakan persamaan s = PIA (Pers. 1 - 1 ) untuk menghitung tegangan
normal. Gaya P sama dengan 54 k (atau 54000 lb), dan luas penampang melintang
A adalah
A = %( dff - d�) = (5,0 in.)2 - %[ (3,6 in.)2 ] 9,456 in.2
Dengan demikian, tegangan tekan di tiang ada1ah
!!_ = 54.000 lb = 5710 psi
A 9,456 in.2
Gambar 1 -5 Contoh 1 - 1 . Tiang aluminium berlubang yang meng
Regangan tekan (dari Persamaan
1 -2) adalah
alami tekan
§_ = 0·02- in. = 550 - X
Jadi, tegangan dan regangan di tiang telah dihitung.
Catatan: Sebagaimana telah diterangkan sebelum ini, regangan merupakan besaran yang tak berdimensi dan tidak ada satuan yang dibutuhkan. Namun untuk kejelasan, satuan juga sering digunakan. Dalam contoh ini, E dapat saja ditulis
sebesar 550 X I 0"6 in./in. atau 550 ,uin./in.
• Contoh 1-2
Suatu batang baja berpenampang lingkaran yang panjangnya L dan berdiameter d
dibebani W di ujung hawnhnya ( amhru
1 -6). (a) Dapatkan rumu lmtuk tegangan maksimum amak> di batang tcr ·ebut dengan rnemperh it ungkan b 'r.ll �cndiri batang tersebut. (b) Hitunglah tegangan maksimum j tkn L = 40 10, t1 =
mm, dan W =
1 ,5 kN.
Mekanika Bahan
Solusi
(a) Gaya aksial maksimum F'""*' di batang terjadi di ujung alas dan sama dengan berat W ditambah berat W0 dari batang itu sendiri. Berat sendiri batang sama dengan berat jenis y baja dikalikan volume batang V, atau
( l-4) dengan A adalah luas penampang batang. Dengan demikian, rumus untuk tegangan
% = y\1 = yAL
maksimum (dari Persamaan 1-1) menjadi
a = Fmaks = W+ yAL = W +
(b) Untuk menghitung tegangan maksimum, k.ita masukkan harga-harga numerik ke dalam persamaan di atas. Luas penampang melintang sama dengan ruP/4,
dengan d = 8 mm, dan beratjenis baja y= 77,0 k.N/m3 (dari Tabel
di Lampiran H- 1
H). Jadi
Gambar 1-6 Contoh l -2. Batang bulat dari baja yang memikul beban
1 •5 kN
(77,0 k.N/m3)(40 m)
n-(8 mm)2 /4
w.
29,84 MPa + I 3. 1 MPa = 33,0 MPa
Di dalam contoh ini, berat batang berkontribusi secara signifikan terhadap tegangan maksimum dan sebaiknya tidak diabaikan.
BESARAN MEKANIS BAHAN
Untuk mendesain mesin dan struktur agar keduanya berfungsi secara me madai kita harus memahami perilaku mekanis dari material (bahan) yang digunakan. Biasanya, satu-satunya cara untuk menentukan bagaimana suatu bahan berperilaku apabila mengalami pembebanan adalah dengan melakukan eksperimen di laboratorium. Prosedur yang biasa a�alah dengan meletakkan benda uji kecil dari material tersebut pacta mesin penguji, menerapkan beban, dan selanjutnya mengukur deformasinya (seperti misalnya perubahan panjang dan perubahan diameter). Hampir semua laboratorium pengujian bahan diperlengkapi dengan mesin-mesin yang mampu membebani benda uji dengan berbagai cara, termasuk pembebanan statik dan dinamik, baik tarik maupun tekan.
Mcsin uji tarik tipikal ditunjukkan dalam Gambar 1-7. Benda uji dipasang di antara kedua penjepit besar dari mesin uji dan selanjutnya dibebani tarik. Alat pengukur akan mencatat deformasi, sementara sistem
kontrol otomatis serta pengolah data (di kiri foto) membuat tabel dan grafik dari hasil pengujian.
Foto yang lebih detail dari benda uji tarik ditunjukkan dalam Gambar
1 -8. Ujung benda uji bundar mempunyai penampang yang lebih besar di dekat penjepit agar kegagalan tidak akan terjadi di dekat penjepit. Suatu kegagalan di ujung tidak dapat menghasilkan informasi yang diharapkan tentang bahan karena distribusi tegangan di dekat penjepit tidak terbagi rata sebagaimana telah dibahas dalam Subbab
1 .2. Pacta benda uji yang didesain dengan baik, kegagalan akan terjadi di bagian prismatis dari benda uji di mana distribusi tegangan terbagi rata dan batang tersebut
10 Bab 1 Tarik, Tekan, dan Geser
G a m bar 1 ·7 Mesin uji tarik dengan s i s tem pengolahan data (Atas izin MTS System Corpora tion)
hanya mengalami tarik murni. Situasi ini ditunj ukkan dalam Gambar 1 -8, di mana benda uji baja baru saja terputus akibat dibebani. Alat di kiri,
yang dihubungkan oleh dua buah lengan ke benda uji, adalah extensom cter untuk mengukur perpanjangan selama pembebanan.
Agar hasil pengujian dapat dibandingkan, maka dimensi benda uji dan metode penerapan beban telah distandarisasi. Organisasi pembuat standar yang paling utama adalah American Society for Testing and Ma terials (ASTM), suatu badan teknis nasional yang menerbitkan spesifikasi
dan standar untuk bahan dan pengujian. Organisasi lain yang sejenis di Amerika Serikat adalah American Standards Association (ASA), dan
National Institute of Standards and Institute (NIST), yang sebelumnya bernama National Bureau of Standards (NBS). Organisasi serupa ada di negara-negara lain.