Tabel 2.1 Model Loglinier untuk Tabel Kontingensi Tiga Dimensi
Nomor Model Loglinier Tiga Dimensi
Simbol 1
Z k
Y j
X i
ijk
m Ln
ˆ
X, Y, Z
2
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m Ln
ˆ
XY, Z
3
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m Ln
ˆ
XY, YZ
4
XZ ik
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m Ln
ˆ
XY, YZ, XZ
5
XYZ ijk
XZ ik
YZ jk
XY ij
Z k
Y j
X i
ijk
m Ln
ˆ
XYZ
2.6 Tabel Kontingensi
Penggunaan tabel kontingensi merupakan teknik penyusunan data yang cukup sederhana untuk melihat hubungan antara beberapa peubah dalam satu tabel Abdul
Hakim, 2002. Peubah yang dianalisis merupakan peubah kategorikal, yang memiliki skala nominal atau ordinal. Jumlah seluruh frekuensi sel yang diharapkan harus sama
dengan jumlah seluruh pengamatan.
Data sering terdiri dari sejumlah objek yang terhitung dengan atribut tertentu yang dimiliki oleh kategori-kategori tertentu yang disusun dalam tabel satu dimensi,
dua dimensi, tiga dimensi atau bahkan lebih biasanya disebut tabel kontingensi satu arah, dua arah dan tiga arah Elfriede Mahulae, 2010.
Misalnya suatu eksperimen yang terdiri dari
n
observasi yang diklasifikasikan menurut dua peubah atau lebih peubah kategorik. Peubah pertama
mempunyai
b
tingkat
b
kategori ditulis dengan
A
1
, A
2
, A
3
,…,A
b
. dan peubah ke dua mempunyai
k
tingkat
k
kategori ditulis dengan
B
1
, B
2,
B
3
,…, B
k
Agresti, 1990. Misalkan
y
ij
adalah banyaknya kejadian peubah pertama pada tingkat ke-
i
dan peubah ke dua pada tingkat ke-
j
, untuk
i
= 1, 2, 3, … ,
b
dan
j
= 1, 2, 3, … ,
k
. Data tersebut dapat disusun seperti tabel berikut:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.2 Tabel Kontingensi
bxk
Variabel 2
Variabel 1
B
1
B
2
B
3
… B
j
… B
k
Jumlah
A
1
A
2
A
3
: A
i :
A
b
y
11
y
12
y
13
… y
1j
… y
1k
y
21
y
22
y
23
… y
2j
… y
2k
y
31
y
32
y
33
… y
3j
… y
3k :
y
i1
y
i2
y
i3
… y
ij
… y
ik :
y
b1
y
b2
y
b3
… y
bj
… y
bk
n
1
n
2
n
3
n
i
n
b
Jumlah
m
1
m
2
m
3
… m
j
… m
k
N = n
1
+ n
2
+ n
3
+ n
i
+ n
b
= m
1
+ m
2
+ m
3
+ m
j
+ m
k
Hal-hal yang yang berlaku dalam uji independensi untuk tabel kontingensi
k b
yaitu: 1.
Sebanyak
n
trial dilakukan dan tiap-tiap hasilnya diklasifikasikan menurut 2 dua sifat
A
1
, A
2
, A
3
,…,A
b
dan
B
1
, B
2,
B
3
,…, B
k
. Jadi, ada sebanyak
k b
peristiwa yang mungkin
A
i
dan
B
j
pada setiap percobaan. Setiap trial bebas artinya percobaan pertama tidak mempengaruhi percobaan ke dua, dan
seterusnya. 2.
Probabilitas peristiwa
A
i
dan
B
j
untuk setiap satu eksperimen adalah
p
ij
yaitu peluang
A
i
dan
B
j
. Nilai atau besarnya
p
ij
tidak diketahui. 3.
y
ij
adalah banyaknya frekuensi dengan peristiwa
A
i
dan
B
j
terjadi dalam
n
percobaan=frekuensi sel
ij
.
Dengan demikian diperoleh suatu model yang menghasilkan tabel probabilitas sel seperti tabel berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.3 Tabel Probabilitas
bxk
Variabel 2 Variabel 1
B
1
B
2
B
3
… B
j
… B
k
Probabilitas Baris
A
1
A
2
A
3
: A
i :
A
b
p
11
p
12
p
13
… p
1j
… p
1k
p
21
p
22
p
23
… p
2j
… p
2k
p
31
p
32
p
33
… p
3j
… p
3k :
p
i1
p
i2
p
i3
… p
ij
… p
ik :
p
b1
p
b2
p
b3
… p
bj
… p
bk
p
1
. = PA
1
p
2
.= P
2
A p
3
. = PA
3
p
i
. = PA
i
p
b
. = PA
b
Probabilitas Kolom
p.
1
= p.
2
= p.
3
= p.
j
= p.
k
= PB
1
PB
2
PB
3
… PB
j
… PB
k
N=
...
1
b
A P
A P
=
...
1
k
B P
B P
p
i.
= p
i1
+ p
i2
+ p
i3
+ … + p
ik
= P
i
A p
.j
= p
1j
+ p
2j
+ p
3j
+ … + p
bj
= P
j
B
Jika nilai
p
i.
tidak diketahui, maka dicari nilai
.
ˆ
i
p
N n
p
i i
.
ˆ Jika nilai
p
.j
tidak diketahui, maka dicari nilai
j
p
.
ˆ
N m
p
j j
.
ˆ
N m
n p
p N
E
j i
j i
ij
. .
ˆ ˆ
H
:
ij
P
= P
i
A
dan
j
B
= P
i
A
. P
j
B
=
j i
P P
1
H
:
ij
P
P
i
A
dan
j
B
P
i
A
. P
j
B
j i
P P
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.4 Tabel Kontingensi Model Loglinier Tiga Dimensi
VAR 3 VARIABEL 2
Jumlah
1
…
J
…
1
…
K
Jumlah …
1
…
K
Jumlah
V A
R
1
1 2
3 .
. .
I X
111
X
.11
X
11k
X
.1k
X
11.
X
ij.
X
1j1
X
ij1
… …
X
1jk
X
ijk
X
1j.
X
ij.
X
1..
X
i..
Jumlah
X
.11
X
.1k
X
1j.
X
.j1
X
.jk
X
.j.
X
…
Taksiran nilai harapan masing-masing sel dinyatakan sebagai:
2 ..
. .
.. ..
. .
..
ˆ ˆ
N X
X X
m N
N X
N X
N X
m
k j
i ijk
k j
i ijk
2.7 Uji Chi-Kuadrat
Untuk menginterpretasikan data pada tabel kontingensi, salah satu yang dapat dipakai adalah uji Chi-Kuadrat
Agresti, 1990
.
Uji Chi-Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi yang benar-benar terjadi dengan
frekuensi harapanekspektasi. Frekuensi observasi adalah nilai yang didapat dari hasil observasi sedangkan frekuensi harapan adalah nilai yang didapat dari penghitungan
secara teoritis. Uji Chi-Kuadrat
digunakan untuk mengetahui adanya hubungan antara peubah yang diukur tersebut signifikan atau tidak.
Universitas Sumatera Utara
Kegunaan uji Chi-Kuadrat adalah: 1.
Untuk menguji apakah ada perbedaan yang cukup berarti antara pengamatan suatu objek respon tertentu terhadap nilai harapan.
2. Untuk menguji apakah ada hubungan antara satu peubah berdasarkan
pengkategorian klasifikasi terhadap peubah lainnya yang juga diberikan pengkategorian klasifikasi.
Hipotesa yang dipergunakan adalah:
k j
i ijk
k j
i ijk
P P
P P
H P
P P
P H
.. .
. ..
1 ..
. .
..
: :
Hipotesa ini berlaku untuk semua peubah yang bebas. Statistik uji Chi- Kuadrat untuk tabel kontingensi R.S.N Pillai and V. Bagavathi, 2000 dirumuskan
sebagai berikut:
I i
J j
K k
ijk ijk
ijk
e e
n
1 1
1 2
2
2
Keterangan:
ijk
n
observasi untuk kasus-kasus yang dikategorikan pada peubah ke-
i
,
j
dan
k
ijk
e
banyak kasus yang diharapkan untuk dikategorikan pada peubah ke-
i
,
j
dan
k
2
= sebuah nilai peubah acak uji Chi-Kuadrat.
Dengan kriteria pengujian adalah: Jika
2 2
ta bel hitung
maka Tolak
H
Jika
2 2
ta bel hitung
maka Terima
H
Uji Chi-Kuadrat banyak digunakan di berbagai bidang yang menyangkut kesesuaian
goodness of fit
maupun uji kebebasan tentang distribusi empiris dan teoritis Yusuf Wibisono, 2005. Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian
antara frekuensi pengamatan observasi dan frekuensi yang diharapkan dari distribusi teoritis yang dihipotesiskan. Pengujian tentang kebebasan antara dua peubah atau
lebih, ke homogenitas proporsi, bahkan sebagai alternatif dalam pengujian beberapa
Universitas Sumatera Utara
nilai lokasi sekaligus yang analog dengan uji keragaman juga menjadi fokus dari uji Chi-Kuadrat ini.
Beberapa karakteristik uji Chi-Kuadrat R.S.N Pillai and V. Bagavathi, 2000 yaitu:
1. Pengujian berdasarkan pada kejadian-kejadian atau frekuensi-frekuensi, di
mana dalam teori-teori distribusi, pengujian berdasarkan rata-rata dan standard deviasi.
2. Untuk menemukan kesimpulan, pengujian Chi-Kuadrat harus diaplikasikan
terutama pengujian hipotesis tetapi tidak digunakan untuk estimasi. 3.
Pengujian dapat digunakan antara semua himpunan dari observasi dan ekspektasi frekuensi.
4. Untuk semua penambahan nilai derajat kebebasan, distribusi Chi-Kuadrat baru
harus dibentuk. 5.
Pengujian Chi-Kuadrat merupakan tujuan pengujian umum dan sering digunakan dalam penelitian.
Beberapa asumsi dari pengujian Chi-Kuadrat R.S.N Pillai and V. Bagavathi, 2000 adalah:
1. Semua observasi harus independen.
2. Semua kejadian harus
mutually exclusive.
3. Terdapat observasi yang besar.
4. Untuk tujuan perbandingan, data tersebut harus dalam bentuk yang asli.
2.8 Uji Hipotesis