Ketiga macam kendala tersebut akan selalu dijumpai di dalam setiap susunan kendala kasus pemrograman linier, baik yang sejenis maupun gabungan dari
ketiganya. Dengan demikian ”Pemrograman linier adalah sebuah metode matematis yang berkarakteristik linear untuk menemukan suatu penyelesaian optimal dengan
cara memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan terhadap satu susunan kendala”.
3.5. Linier Goal Multi Objectives Programming
6
3.6. Goal Programming
Masalah keputusan banyak kriteria-masalah yang melibatkan tidak hanya satu tetapi beberapa fungsi tujuan-merupakan topik menarik dalam Operation Research.
Menyadari keperluan untuk mengikutsertakan aneka ragam tujuan dalam proses pengambilan keputusan memiliki hambatan utama. Pertama,benturan diantara tujuan-
tujuan dan tujuan-tujuan tidak dapat diperbandingkan. Bagaimana mengatasi masalah keputusan banyak kriteria dengan kemungkinan adanya tujuan-tujuan yang saling
terbentur dan tidak dapat dibandingkan dan akan diatasi dengan Linier Goal Progreamming.
7
Goal Programming merupakan suatu teknik penyelesaian problema pengambilan keputusan yang melibatkan jamak sasaran.. Pendekatan dasar yang
digunakan dalam goal programming adalah meminimalkan deviasi antara sasaran yang ditetapkan dan usaha yang akan dilakukan dalam suatu himpunan kendala
6
Sri Mulyono. Riset Operasi. Penerbit Fak. Ekonomi UI:Jakarta p.199-200
7
Parlin Sitorus. Program Linier. Penerbit Universitas Trisakti, Jakarta, 1997 p. 139
Universitas Sumatera Utara
sistem. Dengan demikian, model program sasaran hanya melibatkan problema meminimalkan.
Dalam goal programming selalu diterapkan dalam problema pengambilan keputusan untuk alokasi sumber daya, perencanaa dan penjadwalan, dan analisis
kebijaksanaan, baik di tingkat perusahan publik atau instansi pemerintah maupun lembaga sosial nonkomersial, seperti perencanaan sumber daya manusia tenaga
kerja, perencanaa produksi dan pengendalian inventory, analisis kebijakan ekonomi, logistik transportasi dan lain-lainnya. Model Goal Programming merupakan
perluasan dari model pemrogaman linier, sehingga seluruh asumsi, notasi formulasi model matematis, prosedur perumusan model dan penyelesaiannya tidak berbeda.
Perbedaannya hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasioanal yang akan muncul difungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala. Goal Programming adalah
salah satu model matematis empiris yang dipakai sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dan karenanya pendekatan Goal Programming ini disebut dengan
pendekatan kuantitatif. Goal Programming dipakai untuk menjawab berbagai masalah yang pemecahannya sesuai dengan menggunakan Goal Programming
daripada menggunakan teknik lainnya.
3.6.1. Kendala-Kendala Sasaran
8
Di dalam Goal Programming, Charnes dan Cooper menghadirkan sepasang variable yang dinamakan “variable deviasional” dan berfungsi untuk menampung
penyimpangan atau deviasi yang akan terjadi pada nilai ruas kiri suatu persamaan
8
Siswanto. Operations Research. Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006 p. 342.
Universitas Sumatera Utara
kendala terhadap nilai ruas kanannya. Agar deviasi itu minimum, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala “sebisa mungkin” mendekati nilai ruas kanannya maka
variable deviasional itu harus diminimumkan di dalam fungsi tujuan. Pemanipulasian model pemrograman linier yang dilakukan oleh Charner dan
Cooper telah mengubah makna kendala fungsional. Bila pada model pemrograman linier, kendala-kendala fungsional menjadi pembatas bagi usaha pemaksimuman atau
peminimuman fungsi tujuan, maka pada model Goal Programming kendala-kendala itu merupakan sara untuk mewujudkan sasaran yang hendak dicapai. Sasaran-sasaran,
dalam hal ini dinyatakan sebagai nilai konstan pada ruas kanan kendala. Sebagai contoh ; sasaran laba, anggaran yang tersedia, resiko investasi, ketersediaan bahan
baku, ketersediaan jam kerja, kapasitas produksi dan lain-lain. Mewujudkan suatu sasaran, dengan demikian berarti mengusahakan agar nilai ruas kiri suatu persamaan
kendala sama dengan nilai ruas kanannya. Itulah sebabnya kendala-kendala di dalam model Goal Programming selalu berupa persamaan dan dinamakan “kendala
sasaran”. Disamping itu, keberadaan sebuah kendala ditandai dengan kehadiran variable deviasional sehingga setiap kendala sasaran pasti memiliki variable
deviasional.
3.6.2. Bentuk Umum Goal Programming
9
Kendala Tujuan : Bentuk umum goal programming memiliki struktur berikut:
Minimumkan : Z = P
i
d
i -
- d
i +
∑
a
ij
x
j
+ d
i -
- d
i +
= b
1 9
Sri Mulyono. Riset Operasi . Penerbit Fakultas Ekonomi UI, Jakarta, 2006 p.202
Universitas Sumatera Utara
Kendala Sistem : g
kj
X
j
≤ C
k
g
kj
X
j
≥ C
k
k = 1,2,…,p dan j = 1,2,…,n Dimana : d
i -
- d
i +
= Jumlah deviasi negarif d
i -
dan jumlah deviasi positif d
i +
terhadap jumlah tujuan b
i
Aij = koefisien fungsi kendala tujuan yaitu berhubungan dengan variabel pengambilan keputusan
Xij = variabel pengambilan keputusan
bi = tujuan atau target yang ingin dicapai
gij = koefisien fungsi kendala sistem
Ck = sumber daya yang tersedia
3.6.3. Langkah-Langkah Goal Programming
Langkah yang harus dilakukan dalam pembentukan model Goal Programming antara lain:
1. Penentuan variabel keputusan, yaitu parameter-parameter yang berpengaruh
terhadap keputusan 2.
Formulasi Fungsi Tujuan 3.
Menyusun persamaan matematis untuk tujuan yang telah ditetapkan Tiap fungsi tujuan harus digambarkan sebagai fungsi variabel keputusan.
g
i
=f
i
x, f
i
x = fungsi variabel keputusan pasa tujuan ke i.
Universitas Sumatera Utara
Tiap fungsi harus memiliki ruas kanan dan ruas kiri. Harga di- menunjukkan besarnya deviasi negatif fix dari bi, sedangkan nilai di+ menunjukkan
besarnya nilai deviasi positif. f
i
x + d
i -
- d
i +
= b
i
dimana i = 1,2,3,...m 4.
Memilih tujuan absolut, yaitu tujuan yang harus dipenuhi dan ditetapkan sebagai prioritas membentuk suatu fungsi pencapaian.
5. Menetapkan tujuan pada tingkat prioritas yang tepat
6. Menyederhanakan model
Langkah ini perlu dilakukan untuk mendapatkan model yang cukup besar sehingga model dapat mewakili semua tujuan.
7. Menyusun fungsi Pencapaian
3.8. Metode Pemecahan Masalah
Ada tiga metode yang digunakan dalam menyelesaikan Linier Goal Multi Objectives Programming.
1. Metode Grafis Metode grafis digunakan untuk menyelesaikan masalah multi objective
dengan dua variabel. Langkah penyelesaian dengan metode grafis adalah: a.
Menggambarkan fungsi kendala pada bidang kerja sehingga diperoleh daerah yang memenuhi kendala
b. Meminimumkan variabel deviasional agar sasaran-sasaran yang diinginkan
tercapai dengan cara menggeser fungsi atau garis yang dibentuk oleh variabel deviasional terhadap daerah yang memenuhi kendala
Universitas Sumatera Utara
2. Metode Algoritma Simpleks Algoritma simpleks digunakan untuk menyelesaikan masalah Linier Goal
Multi Objectives Programming dengan menggunakan variabel keputusan yang lebih dari dua. Langkah-langkah penyelesaian Goal Programming dengan metode
algoritma simpleks adalah: a.
Membentuk tabel simpleks awal b.
Pilih kolom kunci dimana Cj-Zj memiliki nilai negatif terbesar. Kolomkunci ini disebut kolom pivot
c. Pilih baris yang berpedoman pada biaij dengan rasio terkecil dimana bi
adalah nilai sisi kanan dari setiap persamaan. Baris kunci ini disebut baris pivot.
d. Mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana nilai elemen pivot bernilai 1
dan elemen lain bernilai nol dengan cara mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua elemen dibaris pertama. Dengan
demikian diperoleh tabel simpleks iterasi I. e.
Pemeriksaan optimalitas, yaitu melihat apakah solusi sudah layak atau tidak. Solusi dikatakan layak bila variabel adalah positif atau nol.
Berikut akan diberikan contoh kasus penggunaan Goal Programming. Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis produk yang berbeda, yaitu X
1
dan X
2
. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan yang berbeda, yaitu proses I dan proses II. Proses I mampu menghasilkan 5 unit produk X
1
dan 6 unit produk X
2
sedangkan untuk proses II hanya mampu menghasilkan 1 unit produk
Universitas Sumatera Utara
X
1
dan 2 unit X
2
. Kapasitas maksimum proses I dan II berturut-turut adalah 60 dan 16.
Dalam hal ini perusahaan mendapatkan 4 macam sasaran yaitu: 1.
Kapasitas yang tersedia pada proses I dimanfaatkan secara maksimum 2.
Kapasitas yang tersedia pada proses II dimanfaatkan secara maksimum 3.
Produksi X
1
paling sedikit 10 unit 4.
Produksi X
2
paling sedikit 6 unit Berapakah jumlah produksi optimal yang harus diproduksi oleh perusahaan?
Penyelesaian: Yang menjadi variabel keputusan adalah:
X
1
= jumlah produk X
1
yang akan diproduksi X
2
= jumlah produk X
2
yang akan diproduksi Yang menjadi fungsi kendala adalah:
5X
1
+ 6X
2
≤ 60 X
1
+ 2X
2
≤ 16 X
1
≥ 10 X
2
≥ 6 Sesuai dengan sasaran yang akan dicapai, maka model goal programming untuk
kasus ini akan menjadi: Min Z = P
1
DA
1
+DB
1
+P
2
DA
2
+DB
2
+P
3
DB
3
+P
4
DB
4
ST : 5X1 + 6X2 + DB1 - DA1 = 60
X
1
+ 2X
2
+ DB
2
- DA
2
= 16 X
1
+ DB
3
= 10
Universitas Sumatera Utara
X
2
+ DB
4
= 6 Penyelesaian model ini dimulai dengan membuat tabel simpleks awal seperti pada
tabel 3.1.
Tabel 3.1. Tabel Simpleks Awal
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P1
1 DB1
5 6
-1 1
60 P2
1 DB2
1 2
-1 1
16 P3
1 DB3
1 1
10 P4
1 DB4
1 1
6 Zj
P1 5
6 -1
1 P2
1 2
-1 1
P3 1
1 P4
1 Cj-Zj
P1 -5
-6 2
1 1
1 1
P2 -1
-2 1
1 -2
1 1
P3 -1
1 1
1 1
1 P4
-1 1
1 1
1 1
1
Yang menjadi kolom kunci adalah kolom ke-2 dimana Cj-Zj memiliki nilai negatif terbesar yaitu -6. Yang menjadi baris kunci adalah baris ke empat karena
memiliki biaij terkecil 606=10, 162=8, 100= ∞, 61=6. Pemilihan kolom kunci
dapat dilihat pada tabel 3.2.
Tabel 3.2. Tabel Simpleks Awal Pemilihan Kolom Kunci
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P1
1 DB1
5 6
-1 1
60 P2
1 DB2
1 2
-1 1
16 P3
1 DB3
1 1
10 P4
1 DB4
1 1
6 Zj
P1 5
6 -1
1 P2
1 2
-1 1
P3 1
1 P4
1 Cj-Zj
P1 -5
-6 2
1 1
1 1
P2 -1
-2 1
1 -2
1 1
P3 -1
1 1
1 1
1 P4
-1 1
1 1
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
Langkah selanjutnya adalah mencari sistem kanonikal yaitu sistem dimana nilai elemen pivot bernilai 1 dan elemen lain bernialai nol dengan cara
mengalikan baris pivot dengan -1 lalu menambahkannya dengan semua elemen dibaris pertama. Misalnya untuk baris pertama:
0 1 0 0 0 0 0 1 0 -6 0 0 0 0 0 -6
x6
5 6 -1 1 0 0 0 0 5 0 -1 1 0 0 0 -6
+
Nilai bi pada sistem kanonikal diperoleh dengan cara: b1 = -166 + 60 = 24
b2 = -126 + 16 = 4 b3 = -106 + 10 = 10
Dengan demikian diperoleh tabel simoleks iterasi I seperti tabel 3.3.
Tabel 3.3. Tabel Simpleks Iterasi I
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P1
1 DB1
5 -1
1 -6
24 P2
1 DB2
1 -1
1 -2
4 P3
1 DB3
1 1
10 X2
1 1
6 Zj
P1 5
-1 1
-6 P2
1 -1
1 -2
P3 1
1 Cj-Zj
P1 -5
2 1
1 1
7 P2
-1 1
1 2
1 3
P3 -1
1 1
1 1
1
Dengan perhitungan yang sama, dilakukan iterasi sampai ditemukan solusi optimal. Tabel Iterasi dapat dilihat pada tabel 3.4., tabel 3.5., dan tabel 3.6.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 3.4. Tabel Simpleks Iterasi II
Cj 1
1 1
1 1
1 bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P1
1 DB1
-1 1
5 -5
4 4
X1 1
-1 1
-2 4
P3 1
DB3 1
-1 1
6 X2
1 1
6 Zj
P1 -1
1 5
-5 4
P3 1
-1 1
Cj-Zj P1
2 -4
6 -3
P3 1
1 2
1 1
Tabel 3.6. Tabel Simpleks Iterasi III
Cj 1
1 1
1 1
1 Bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P2
1 DA2
-15 15
1 -15
45 45
X1 1
-15 15
-65 445
P3 1
DB3 15
-15 1
-45 516
X2 1
1 6
Zj P2
-15 15
-1 1
45 P3
15 -15
65 Cj-Zj
P2 65
45 2
1 15
P3 45
65 1
1 -15
Tabel 3.5. Tabel Simpleks Iterasi IV
Cj 1
1 1
1 1
1 Bi
Pk Cj
VB X1
X2 DA1
DB1 DA2
DB2 DB3
DB4 P4
1 DA4
-14 14
-54 1
1 X1
1 -12
12 32
1 6
P3 1
DB3 12
-12 -32
1 4
X2 1
14 -14
-54 5
Zj P3
-14 14
-54 1
1 5
P4 12
-12 -32
Cj-Zj P3
54 ¾
94 1
1 P4
12 12
52 1
1
Pada tabel 3.6. diperolehsolusi optimal karena seluruh Zj-Cj ≥0. Dengan
demikian, solusi optimal untuk produk yang diproduksi adalah X1=6 dan X2=5. 3. Penyelesaian model Goal Programming menggunakan software Lindo
Lindo singkatan dari linier interactive discrete optimazer, adalah sebuah program yang dirancang untuk menyelesaikan kasus-kasus pemrograman linier. Sebuah kasus
harus diubah dahulu ke dalam sebuah model matematis pemrograman linier yang menggunakan format tertentu agar bisa diolah oleh program lindo.
Universitas Sumatera Utara
a. Input Lindo
Program ini menghendaki input sebuah program matematikan dengan struktur tertentu. Misalnya contoh di atas bentuk input di program lindo adalah:
MIN DA1 + DB1 + DA2 + DB2 + DB3 + DB4
SUBJECT TO 2 –DA1 + DB1 + 5X1 + 6X2 = 60
3 –DA2 + DB2 + X1 + 2X2 = 16 4 DB3 + X1 = 10
5 DB4 + X2 = 6
b. Output Lindo Setelah data dimasukkan,segera perintahkan program untuk mengolah data
tersebut melalui fasilitas perintah GO. Sesaat kemudian program menayangkan hasil olahannya. Output atau hasil olahan program Lindo pada dasarnya bisa
dipisahkan menjadi dua bagian,yaitu: 1.
Optimal Solution atau penyelesaian optimal 2.
Sensitivity Analysis atau analisis sensitivitas Hasil olahan Lindo memuat 5 macam informasi yaitu
1. Nilai fungsi tujuan dibawah label Objective Function Value
Informasi ini ditandai dengan notasi ”1” untuk menunjukkan bahwa di dalam struktur input Lindo, fungsi tujuan ditempatkan pada baris 1 dan fungsi
kendala mulai dari urutan baris ke 2 2.
Nilai optimal variabel keputusan dibawah label value Variabel keputusan pada output Lindo ditandai dengan label variabel.
Misalnya variabel keputusan X1 dan X2, maka bilangan dibawah value dan berada pada baris dimana X1 berada menunjukkan nilai optimal variabel
keputusan.
Universitas Sumatera Utara
3. Sensitivitas Cj jika Xj = 0 dibawah kolom reduced cost.
Memberikan informasi mengenai sampai sejauh mana nilai Cj harus diturunkan agar nilai variabel keputusan menjadi positif. Ini berarti bahwa
reduced cost akan selalu nol bila nilai variabel keputusan positif dan sebaliknya.
4. Slack Variabel atau Surplus Variabel dibawah label slack or surplus
Informasi ini menunjukkan nilai slack atau surplus masing-masing kendala ketika nilai fungsi tujuan mencapai nilai ekstrem.
5. Dual Price
Informasi ini menunjukkan tentang perubahan yang akan terjadi pada nilai fungsi tujuan bila nilai ruas kanan kendala berubah satu unit.
Hasil olahan lindo juga memberikan informasi mengenai jumlah iterasi yang diperlukan untuk menemukan penyelesaian optimal. Misalnya untuk output untuk
contoh diatas adalah:
OUTPUT: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1 5
VARIABLE VALUE REDUCED COST DA1 0.000000 1.000000
DB1 0.000000 1.000000 DA2 0.000000 1.000000
DB2 0.000000 1.000000 DB3 0.000000 1.000000
DB4 0.000000 1.000000 X1 132465.000000 0.000000
X2 30558.000000 0.000000 DB7 70.736748 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 0.000000 0.250000
3 0.000000 -0.250000 4 0.000000 -1.000000
5 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 5
Universitas Sumatera Utara
3.9. Peramalan
