180 Penunjang Belajar Matematika untuk SMPMTs Kelas 7
Misalkan diketahui dua himpunan A dan B. Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota A yang buka anggota B, dan ditulis
A – B = {x | x
A, x
B} S
B A
Pada diagram Venn di samping daerah yang diarsir adalah A – B. Misalnya himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 7, 11}. Himpunan
semua anggota A yang bukan anggota B adalah {1, 4, 6}, jadi A
– B = {1, 4, 6}.
Gambar 6.6
Contoh 6.12
1. Diketahui: A = {himpunan bilangan asli kurang dari 10} dan
B = {himpunan bilangan prima kurang dari 15.
Tentukan anggota dari A – B dan B – A dan gambarkan diagram venn-nya. Penyelesaian
: A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13} a. A – B = {1, 4, 6, 8, 9}
b. B – A = {11, 13} a.
S B
A 6
5 7
1 2
3 4
8 9
b.
S B A
11 2
13 7
3 5
2. Diketahui P = { x | 3
d x 7, x
A}, Q = {x | 0 x d
5, x
B} Ditanya: a. P – Q dan b. Q – P
Penyelesaian :
P = {3, 4, 5, 6, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}
a. P – Q = {6} b.
Q – P = {1, 2}
Himpunan 181
1. Diketahui: A
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C
= {1, 3, 5, 7}
B = {0, 2, 4, 6}
D =
{2, 3, 5, 7} Tentukanlah:
a. A – B b. A – C
c. A – D d. C – D
e. B – D 2.
Diketahui A = {bilangan cacah antara 0 dan 10} B
= { x | x d
5, x
bilangan asli}, C = {x | 2 x d
6, x
bilangan bulat} Tentukan:
a. Tulis semua anggota masing-masing himpunan b. A – B
c. A – C 3.
Diketahui: A =
{faktor dari 16} B
= {faktor dari 12}
Tentukan: a. Semua anggota masing-masing himpunan. b. A – B
c. B – A 4.
Diketahui: P = {bilangan prima antara 2 dan 8}, Q = {bilangan ganjil antara 1 dan 9}. Ditanya: a. anggota himpunan P – Q dan Q – P
b. apakah P – Q = Q – P?
5. Sifat-Sifat Operasi pada Himpunan
a. Sifat-sifat irisan
Misalkan S =
{1, 2, 3, 4, ..., 10} A
= {1, 3, 5, 6}, B = {2, 3, 5, 7}, dan C = {1, 2, 3, 4}
Tentukan: a. A
B, B
A, A
C, B
C b. A
B
C, A
B
C c. Apakah A
B = B
A? d. Apakah A
B
C = A
B
C Penyelesaian
: a.
A
B = 3, 5}, B
A = {3, 5}, A
C = {1, 3}, B
C = {2, 3} b.
A
B
C = { }, A
B
C = {3} c.
A
B = B
A = {3, 5} d.
A
B
A = A
B
C = {3} Dari pembahasan di atas diperoleh:
A
B = B
A sifat komutatif dan A
B
C = A
B
C sifat asosiatif.
182 Penunjang Belajar Matematika untuk SMPMTs Kelas 7
S B
A
C 1
3 5
7 9
2 4
6 8
10 S
B A
C 1
3 5
7 9
2 4
6 8
10 S
B A
C 1
3 5
7 9
2 4
6 8
10 S
B A
C 1
3 5
7 9
2 4
6 8
10
diarsir A
B diarsir B
A diarsir A
B
C diarsir A
B
C
Pada irisan himpunan berlaku sifat:
b. Sifat-Sifat Gabungan
Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {0, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 3, 5}
{0, 2, 4} {1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}
{0, 2, 4} {0, 1, 2, 3, 4}
A B
A B
B A
Q A
½
¾
¿
untuk: 1.
A
B = B
A disebut komutatif 2.
A
B
B = A
B
C disebut asosiatif Perhatikan diagram Venn-nya di bawah ini.
S B
A
C S
B A
C S
B A
C S
B A
C
diarsir A
B diarsir B
A diarsir A
B
C diarsir A
B
C
Sifat-sifat pada gabungan: 1.
A
B = B
A, sifat komutatif. 2.
A
B
C = A
B
C, sifat asosiatif. 3.
A
A = A, A
I = A, S
A = S , sifat identitas. 4.
A
B
C = A
B
A
C, distributif irisan terhadap gabungan. 5.
A
B
C = A
B
A
C, distributif gabungan terhadap irisan. 1.
komutatif A
B = A
B 2.
asosiatif A
B
C = A
B
C 3.
Sifat identitas A
A = A, A
Q = Q, S
A = A
Himpunan 183
6. Himpunan Komplemen
Perhatikan gambar berikut. Apabila benda-benda yang berada di atas meja
dimisalkan sebagai himpunan semesta, yaitu S = {gelas, piring, kue, buku, pensil, pulpn, penhapus,
penggaris, dan kumpulan alat tulis dimisalkan sebagia himpunan A, yaitu A = {buku, pensil, pulpen,
penghapus, penggaris, maka kumpulan benda-benda selain alat tulis, yaitu gelas, piring, dan kue disebut
sebagai himpunan komplemen atau himpunan pelengkap dari himpunan A.
Himpunan komplemen A dinotasikan dengan A
atau A atau A
c
. Dengan demikian, himpunan komplemen A di atas dapat ditulis
A = A = A
c
= {gelas, piring, kue}.
Komplemen Suatu Himpunan
Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota S himpunan semesta yang bukan anggota A.
S A
Komplemen dari A terhadap S ditulis A baca komplemen dari A atau A komplemen. Perhatikan
diagram Venn di samping, daerah yang diarsir adalah komplemen dari A atau A. Dengan
pembentuk notasi himpunan dapat dituliskan A
= {x | x
S, x
A}
TUGAS SISWA
Untuk sifat 4 dan 5 buktikan sendiri.
|
A
Contoh 6.12
Diketahui: S = {x | x 10, x
bilangan cacah} dan A = {1, 3, 5, 7, 9} Tentukan komplemen dari A A.
Penyelesaian :
S =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; A = {1, 3, 5, 7, 9} Semua anggota S yang bukan anggota A
membentuk satu himpunan yaitu {0, 2, 4, 6, 8} Jadi, komplemen himpunan A adalah A ={0, 2, 4, 6, 8}.
Perhatikan diagram Venn di samping. Daerah yang diarsir adalah komplemen A atau A.
S A
4 2
6 8
A 1
5 3
7 9
