Untuk nilai
1 y
maka persamaan 3.15 adalah
2 1
1 2cos 0
cos0 c
1
3
c
Akibatnya persamaan 3.16 untuk
1
3
c
dan
y
diperoleh
2
1 sin 20
3sin0 2
c
2
c
Sehingga penyelesaian khusus untuk nilai
x
,
y
dan
1 y
adalah
1 sin 2
3sin 2
y x
x x
3.1.2.2 Persamaan Diferensial Euler Tingkat Dua
Bentuk umum persamaan diferensial Euler Tingkat dua adalah
2 1
2
a x y a xy
a y
3.17
Dimana
1
,
a a
dan
2
a
adalah konstanta dan pangkat dari
x
sesuai dengan tingkat turunan.
Dalam suatu interval yang tidak memuat titik asal, persamaan 3.17 memiliki solusi umum yang dituliskan dalam bentuk
1 1 2
2
y c y x
c y x
3.18
Universitas Sumatera Utara
Dengan
1
y
dan
2
y
saling bebas linier. Untuk memudahkan, pandang interval
x
. Asumsikan bahwa persamaan 3.17 memiliki penyelesaian dalam bentuk :
m
y x
Dimana
m
adalah konstanta. Persamaan diatas kita diferensialkan terhadap
x
sehingga diperoleh
1 m
y mx
2
1
m
y m m
x
Subtitusikan
, y y
dan
y
ke persamaan 3.17 sehingga diperoleh
2 2
1 1
2
1
m m
m
a x m m x
a xmx a x
1 2
1
m m
m
a m m x
a mx a x
1 2
1
a m m a m
a
3.19
2 1
2 m
m m
m
a m x a mx
a mx a x
2 1
2
a m a
a m
a
3.20
2 1
1 2
1,2
4 2
a a
a a
a a m
a
xx
Maka fungsi pangkat
m
y x
menyelesaikan persamaan Euler 3.17 jika dan hanya jika
m
adalah akar kuadrat dari persamaan 3.20. Didalam penyeleseaian akar kuadrat dari persaamaa Euler, ada terdapat beberapa kasus bentuk akar kuadrat dari persamaan
Euler yaitu : a.
Jika
1
m
dan
2
m
bernilai rill dan berbeda
1 2
m m
maka menghasilkan
1
1 m
y x
dan
2
2 m
y x
Dari Wronskian test diperoleh
Universitas Sumatera Utara
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
,
m m
m m
x x
w y y m x
m x
1 2
1 2
1
m m
m m x
Akibatnya
1
y
dan
2
y
adalah bebas linier, sehingga menurut persamaan 3.18 diperoleh penyelesaian umum
1 2
1 2
m m
y c x
c x
b. Jika
1
m
dan
2
m
bernilai rill dan sama
1 2
m m
maka penyelesaian umumnya adalah
1 2
ln
m
y c
c x x
c. Jika
1
m
dan
2
m
bernilain kompleks
1 2
, m m
i
maka penyelesaian umumnya adalah
1 2
cos ln
sin ln
y c
x c
x x
Kasus 6
Cari solusi dari persamaan berikut
2
2 x y
xy y
Dengan nilai 1
x
,
1 1
y
dan
1 2
y
Penyelesaian :
Dari soal diperoleh akar persamaan yaitu
Universitas Sumatera Utara
1 2
2 1
1
m m
1
1 2
m
dan
2
1
m
Karena akar persamaan bernilai rill dan berbeda maka diperoleh penyelesaian umum dari kasus adalah
1 1
2 1
2
y c x
c x
Untuk nilai
1, 1 1
x y
dan
1 2
y
diperoleh
1 1
2 1
2
y c x
c x
1 1
2 1
2
1 1
1
c c
1 2
1 c
c
1 2
2 1
2
1 2
y c x
c x
1 2
2 1
2
1 2
1 1
2
c c
1 2
2 4
c c
Sehingga diperoleh
1 2
1 c
c
1 2
2 4
c c
Dengan menggunakan metode elminasi maka diperoleh
2
1 c
dan
1
2
c
Akibatnya diperoleh penyelesaian khusus adalah
Universitas Sumatera Utara
1 2
y x
x
3.2 Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua
Persamaan diferensial linier tingkat dua sesuai kasus-kasus pada subbab diatas akan dibahas dengan menggunakan metode numerik yaitu metode Runge-Kutta ordo-2.
Penyelesaian persamaan diferensial linier tingkat dua tersebut menggunakan program dalam bahasa Matlab. Aplikasi yang digunakan untuk menjalankan program yaitu
aplikasi Matlab 6.1. Secara umum, algoritma atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier tingkat dua dengan metode Runge-Kutta
Ordo-2 adalah: 1.
Menentukan persamaan diferensial tingkat dua yang akan dicari penyelesaiannya.
2. Memberikan nilai awal variabel bebas
x
dan variabel terikat
y
dan
z
. 3.
Menentukan nilai
x
yang akan ditentukan penyelesaiannya. 4.
Menentukan besarnya ukuran langkah
h
. 5.
Menentukan nilai parameter
a
1
. 6.
Menghitung parameter-parameter
a
2
,p
2
dan
q
21
dengan mensubtitusikan nilai
a
1
ke persamaan rumus yang ditentukan untuk menghitung parameter- parameter tersebut.
7. Menuliskan Rumus Persamaan Metode Runge-Kutta ordo-2
8. Menghitung variabel-variabel Runge-Kutta yang terdapat dalam rumus dengan
menggunakan formulasi rumus yang telah ditentukan, dalam hal ini variabel
k
1
,
k
2
dan
m
1
,
m
2
. 9.
Menghitung
y
i+1
dan
z
i+1
dengan mensubtitusikan variabel
k
1
,
k
2
dan
m
1
,
m
2
. Dimana variabel
k
1
dan
k
2
disubtitusikan ke persamaan
y
i+1
dan variabel
m
1
dan
m
2
disubtitusikan ke persamaan
z
i+1.
Berdasarkan algoritma diatas, ada beberapa variabel dan parameter yang harus diketahui besar nilainya agar suapaya program yang akan ditulis berdasarkan
algoritma dapat berjalan dengan baik . Adapun variabel yang dimaksud adalah nilai
x
awal
x
, nilai
y
awal
y
, nilai
x
yang akan dicari solusinya
x
n
dan nilai ukuran
Universitas Sumatera Utara
