dengan
P x
,
Q x
dan
H x
adalah fungsi dari peubah bebas
x
. Munzir, said dan Marwan, 2009.
2.2.2.1 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Homogen
Secara khusus, persamaan diferensial linier tingkat dua homogen mempunyai bentuk
2 2
d y dy
P x Q x y
dx dx
2.19
Persamaan diferensial tingkat dua homogen selalu mempunyai dua penyelesaian yang bebas linier. Jika
1
y x
dan
2
y x
adalah dua penyelesaian yang bebas linier untuk persamaan 2.19, maka
1 1 2
2
y x c y x
c y x
adalah penyelesaian umum untuk persamaan 2.19
Persamaan Diferensial Linier Homogen Dengan Koefisien Konstan
Suatu persamaan diferensial dikatakan persamaan diferensial linier tingkat dua homogen dengan koefisien konstanta apabila
H x
, berarti bentuknya menjadi
2 2
d y dy
p qy
dx dx
2.20
dimana
p
dan
q
adalah konstanta riil.
Persamaan diferensial linier homogen tingkat satu dengan koefisien konstan mempunyai penyelesaian
cx
y e
. Untuk memperoleh suatu ide mengenai perkiraan penyelesaian dalam kasus tingkat dua, dicoba untuk menemukan penyelesaian
Universitas Sumatera Utara
persamaan 2.20 dalam bentuk
mx
y e
dengan
m
adalah suatu konstanta. Didiferensialkan penyelesaian
mx
y e
diperoleh
mx
y e
2.21a
mx
y me
2.21b
2 mx
y m e
2.21c
Persamaan 2.21a,2.21b dan 2.21c disubtitusikan ke persaamaan 2.20 diperoleh akar-akar karakteristik sebagai berikut :
2 mx
mx mx
m e pme
qe
2 mx
m pm
q e
2
m pm
q
2 1,2
4 2
p p
q m
2 1
4 2
p p
q m
;
2 2
4 2
p p
q m
Ada beberapa variasi dari akar-akar karakteristik yang diperoleh dari penyelesaian homogen tergantung pada jenis persamaan yang diselesaikan. Berikut
variasi akar-akar karakteristik yang akan dibahas cara penyelesaiannya.
a. Bila akar karakteristik
1 2
m m
dan bilangan riil yang berbeda, maka penyelesaian homogennya adalah sebagai berikut :
1 2
1 2
m x m x
y c e
c e
b. Bila akar karakteristik
1 2
m m
dan bilangan riil yang tidak berbeda, maka penyelesaian homogennya adalah sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
1 2
mx
y c
c x e
c. Bila akar karakteristik bilangan kompleks
1,2
m i
maka penyelesaian homogennya adalah :
1 2
i x i x
y c e
c e
1 2
x ix
x ix
y c e e
c e e
1 2
cos sin
cos sin
x x
y c e
x i
x c e
x i
x
1 1
2 1
2
cos sin
x
y c e
c c
x c
c i x
cos sin
x
y e
A x
Bi x
Persamaan Diferensial Linier Homogen Dengan Koefisien Peubah
Suatu persamaan diferensial dikatakan persamaan diferensial linier tingkat dua homogen dengan koefisien peubah apabila
H x
, berarti bentuknya menjdi
2 2
d y dy
P x Q x y
dx dx
dimana
P x
dan
Q x
adalah fungsi yang kontinu.
Pada umumnya tidak ada cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien peubah secara eksplisit, kecuali persamaan
diferensial yang berbentuk khusus, misalnya persamaan dfierensial tipe Euler dan persamaan diferensial tingkat dua yang telah diketahui salah satu penyelesaiannya.
Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah persamaan diferensial Euler khususnya persamaan diferensial Euler tingkat dua.
Suatu persamaan diferensial Euler adalah suatu persamaan diferensial berbentuk
1 1
1 1
...
n n
n n
n n
a x y a
x y
a xy a y
2.22
Universitas Sumatera Utara
dimana
n
a
,
1 n
a
, . . . ,
1
a
,
a
merupakan konstanta-konstanta dan
n
a
. Karena koefisien pertama
n n
a x
tidak akan pernah nol, selang definisi persamaan diferensial 2.22 ialah salah satu dari dua selang terbuka
0,
atau
, 0
. Ini berarti, persamaan diferensial itu akan diselesaikan untuk
x
atau
x
. Persamaan diferensial Euler mungkin merupakan tipe termudah dari persamaan diferensial linier
dengan koefisien peubah. Alasan untuk ini ialah bahwa perubahan peubah bebas
t t
e jika
x x
e jika
x
menghasilkan suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstanta. Fakta ini dilukiskan untuk kasus tingkat dua.
Jika 2
n
maka pada persamaan 2.22 akan diperoleh
2 2
1
a x y a xy
x y
2.23
Pada persamaan 2.23 merupakan suatu bentuk dari persamaan diferensial tingkat dua dimana
2 1
,
a a
dan
a
adalah konstanta.
2.2.2.2 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Tidak Homogen Dengan Koefisien Konstan
Kategori