dimana
1 2
, ,...,
T n
p p p
p
,
1 2
, ,...,
T n
a a a
a
dan
jl
q q
.
Nilai
, ,
j j
jl
a p q
dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan
error
per langkah, dan persamaan 2.35 akan sama dengan metode deret Taylor dari ordo
setinggi mungkin. Perhatikan bahwa
k
adalah hubungan yang selalu berulang,
1
k
hadir dalam persamaan untuk
2
k
,
2
k
hadir dalam persamaan
3
k
, dan seterusnya.
, ,
j j
jl
a p q
merupakan parameter-parameter yang digunakan pada metode Runge Kutta.
2.6.1 Metode Runge Kutta Ordo-2
Dengan mengambil n =2 pada persamaan 2.35 maka metode Runge Kutta ordo-2 dapat dituliskan dalam bentuk umum sebagai berikut :
1 1 1
2 2 i
i
y y
a k a k
h
2.37
dengan
1
,
i i
k f x y
2.38a
2 2
21 1
,
i i
k f x
p h y q
k h
2.38b
Supaya dapat menggunakan persamaan 2.37, kita harus menentukan harga- harga parameter
1 2
2
, ,
a a p
dan
21
q
. Untuk melakukan ini, kita ingat bahwa Deret Taylor ordo kedua untuk
1 i
y
yang dinyatakan oleh
i
y
dan
,
i i
f x y
ditulis sebagai berikut :
2 1
, ,
2
i i
i i
i i
h y
y f x y
h f x y
2.39
Universitas Sumatera Utara
dimana fungsi
,
i i
f x y
harus ditentukan melalui aturan rantai diferensiasi :
,
i i
f f dy
f x y x
y dx
2.40
Subtitusikan persamaan 2.39 ke persamaan 2.40, diperoleh :
2 1
, 2
i i
i i
f f dy h
y y
f x y h
x y dx
2.41
Strategi dasar yang menggarisbawahi meode Runge-Kutta ialah bahwa metode tersebut menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan harga-harga
1 2
2
, ,
a a p
dan
21
q
, yang menjadikan persamaan 2.37 dan persamaan 2.41 ekuivalen.
Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menggunakan sebuah Deret Taylor untuk memperluas persamaan 2.39. Deret Taylor untuk suatu fungsi dua variabel
didefinisikan sebagai :
... ,
,
g g
g x r y
s g x y
r s
x y
2.42
Dengan menerapkan metode ini untuk memperluas persamaan 2.38.b akan memberikan :
2 2
21 1
2 21
1
, ,
i i
i i
f f
f x p h y
q k h
f x y p h
q k h
h x
y
2.43
Hasil ini dapat disubtitusikan bersama-sama dengan persamaan 2.38a dan 2.38b untuk memberikan :
2 2
3 1
1 2
2 2
2 21
, ,
,
i i
i i
i i
i i
f f
y y
a hf x y a hf x y
a p h a q h f x y
h x
y
2.44
Universitas Sumatera Utara
Dengan mengelompokkan suku-sukunya diperoleh :
2 3
1 1
2 2
2 2
21
[ ,
, ]
,
i i
i i
i i
i i
f f
y y
a f x y a f x y h
a p a q f x y
h h
x y
2.45
Sekarang bandingkan persamaan 2.44 dengan persamaan 2.45, sehingga akan diperoleh :
1 2
1 a
a
2 2
1 2
a p
2 21
1 2
a q
Karena ada empat parameter dalam tiga persamaan, maka harus diasumsikan satu nilai parameter untuk menentukan tiga parameter lainnya. Misalnya ditentukan
suatu nilai parameter
1
a
, maka diperoleh :
2 1
1 a
a
2.46a
2 21
2
1 2
p q
a
2.46b Syarat
a
2
0.
Karena dapat dipilih tak hingga nilai untuk
1
a
, maka ada banyak solusi untuk metode Runge-Kutta ordo-2. Tiap versi memberikan hasil yang sama dengan
eksaknya jika solusi dari persamaan diferensial adalah kuadratik, linier, atau konstan. Tiga versi yang sering digunakan dari metode Runge-Kutta ordo-2 adalah :
Universitas Sumatera Utara
a. Metode Heun dengan Korektor Tunggal
