3.3 Perbandingan Nilai
Error
Menggunakan Nilai Parameter Yang Berbeda
Pada pembahasan ini, penulis akan membandingkan nilai
error
pada setiap perubahan parameter. Tetapi sebelum itu, penulis akan membandingkan terlebih dahulu solusi
analitik dan solusi numerik dalam setiap iterasi dengan nilai parameter
a
1
yang berbeda dalam bentuk grafik kurva. Hal ini dikarenakan nilai
error
yang diperoleh pada pembahasan ini merupakan hasil perbandingan antara solusi numerik dengan
solusi analitik.
Parameter yang akan diubah nilainya dalam hal ini adalah parameter
a
1
. Parameter
a
1
akan diuji untuk setiap nilai
a
1
pada interval
1
1
a
dimana
a
1
adalah bilangan rill. Karena
a
1
adalah bilangan rill, maka akan tak terhingga bilangan yang
diperoleh pada interval
a
1
tersebut. Oleh karena itu, penulis membatasi nilai
a
1
pada interval
1
1
a
dengan membuat ukuran langkah selang
a
1
=0.0001. Nilai
a
1
akan diuji pada interval tersebut dengan pertambahan nilai
a
1
sebesar 0.1 untuk iterasi pertama, 0.01 untuk iterasi kedua dan seterusnya.
Perbandingan nilai
Error
dilakukan pada kasus yang sama. Dengan melihat hasil yang diperoleh , maka akan dicari pada
saat berapakah nilai
a
1
akan diperoleh nilai
error
paling minimum pada suatu kasus yang sama.
Kasus-kasus yang dibahas adalah kasus-kasus soal pada sub bab diatas. Oleh karena itu berikut merupakan hasil dari proses perhitungan persamaan diferensial
linier tingkat dua dengan menggunakan metode Runge-Kutta ordo-2. Untuk mempermudah penulis, untuk semua kasus pada subbab 3.1 akan diselesaikan
menggunakan alat bantu program matlab. Hasil perhitungan akan diperlihatkan dengan tabel dan grafik sesuai kasus yang akan diselesaikan.
Kasus 1
4 4 10
y y
y x
Universitas Sumatera Utara
Dengan nilai
x
,
1 y
dan
2 y
Hasil perhitungan dengan menggunakan program matlab untuk mencari solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Gambar 3.1 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 1 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
sedangkan nilai
error
pada kasus 1 untuk setiap parameter
a
1
dengan ukuran langkah
h
= 0.1 dapat diperlihatkan dengan tabel berikut.
Tabel 3.1a Nilai
Error
Persamaan Kasus 1 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.6867
0.6867 0.6867
0.6867 0.6867
3 0.20
1.3227 1.3227
1.3227 1.3227
1.3227 4
0.30 1.8270
1.8270 1.8270
1.8270 1.8270
Universitas Sumatera Utara
5 0.40
2.2000 2.2000
2.2000 2.2000
2.2000 6
0.50 2.4732
2.4732 2.4732
2.4732 2.4732
7 0.60
2.6789 2.6789
2.6789 2.6789
2.6789 8
0.70 2.8412
2.8412 2.8412
2.8412 2.8412
9 0.80
2.9762 2.9762
2.9762 2.9762
2.9762 10
0.90 3.0943
3.0943 3.0943
3.0943 3.0943
11 1.00
3.2020 3.2020
3.2020 3.2020
3.2020 12
1.10 3.3036
3.3036 3.3036
3.3036 3.3036
13 1.20
3.4014 3.4014
3.4014 3.4014
3.4014 14
1.30 3.4973
3.4973 3.4973
3.4973 3.4973
15 1.40
3.5923 3.5923
3.5923 3.5923
3.5923 16
1.50 3.6870
3.6870 3.6870
3.6870 3.6870
17 1.60
3.7818 3.7818
3.7818 3.7818
3.7818 18
1.70 3.8771
3.8771 3.8771
3.8771 3.8771
19 1.80
3.9728 3.9728
3.9728 3.9728
3.9728 20
1.90 4.0692
4.0692 4.0692
4.0692 4.0692
21 2.00
4.1662 4.1662
4.1662 4.1662
4.1662
Tabel 3.1b Nilai
Error
Persamaan Kasus 1 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.6867
0.6867 0.6867
0.6867 0.6867
3 0.20
1.3227 1.3227
1.3227 1.3227
1.3227 4
0.30 1.8270
1.8270 1.8270
1.8270 1.8270
5 0.40
2.2000 2.2000
2.2000 2.2000
2.2000 6
0.50 2.4732
2.4732 2.4732
2.4732 2.4732
7 0.60
2.6789 2.6789
2.6789 2.6789
2.6789 8
0.70 2.8412
2.8412 2.8412
2.8412 2.8412
9 0.80
2.9762 2.9762
2.9762 2.9762
2.9762 10
0.90 3.0943
3.0943 3.0943
3.0943 3.0943
11 1.00
3.2020 3.2020
3.2020 3.2020
3.2020 12
1.10 3.3036
3.3036 3.3036
3.3036 3.3036
13 1.20
3.4014 3.4014
3.4014 3.4014
3.4014 14
1.30 3.4973
3.4973 3.4973
3.4973 3.4973
15 1.40
3.5923 3.5923
3.5923 3.5923
3.5923 16
1.50 3.6870
3.6870 3.6870
3.6870 3.6870
17 1.60
3.7818 3.7818
3.7818 3.7818
3.7818 18
1.70 3.8771
3.8771 3.8771
3.8771 3.8771
Universitas Sumatera Utara
19 1.80
3.9728 3.9728
3.9728 3.9728
3.9728 20
1.90 4.0692
4.0692 4.0692
4.0692 4.0692
21 2.00
4.1662 4.1662
4.1662 4.1662
4.1662
Pada tabel 3.1a dan 3.1b, perhitungan menggunakan ukuran langkah
h
=0.1 dan menghasilkan nilai
error
yang cukup besar untuk metode Runge-Kutta. Oleh karena itu pada grafik dibawah dilakukan perhitungan dengan menggunakan ukuran langkah
yang lebih kecil lagi yaitu
h
= 0.01. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat grafik berikut.
Gambar 3.2 Grafik nilai
error
kasus 1 untuk setiap nilai parameter
a
1
Dari gambar 3.2 nilai
error
yang dihasilkan lebih kecil dibandingkan dengan nilai
error
yang diperlihatkan pada tabel 3.1a dan 3.1b. Hal ini disebabkan karena pada gambar 3.2 diberikan ukuran langkah yang lebih kecil dalam penyelesaiannya
dibandingkan dengan penyelesaian pada tabel 3.1a dan 3.1b. Semakin kecil ukuran langkah yang diberikan maka akan semakin kecil
error
yang diperoleh dalam arti solusi yang diperoleh akan semakin mendekati nilai sebenarnya.
Pada gambar 3.2 dapat dilihat bahwa nilai
error
untuk setiap nilai parameter
a
1
tidak terlihat perbedaan.
Universitas Sumatera Utara
Kurva nilai
error
pada parameter
a
1
= 0 sampai
a
1
= 0.8 ditutupi oleh kurva nilai
error
parameter
a
1
= 0.9.
Kasus 2
3
5 6
x
y y
y xe
Dengan nilai
x
,
1 y
dan
1 y
Hasil perhitungan dengan menggunakan program matlab untuk mencari solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Gambar 3.3 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 2 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
Universitas Sumatera Utara
sedangkan nilai
error
pada kasus 2 untuk setiap parameter
a
1
dengan ukuran langkah
h
= 0.1 dapat diperlihatkan dengan tabel berikut.
Tabel 3.2a Nilai
Error
Persamaan Kasus 2 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.1678
0.1678 0.1678
0.1678 0.1678
3 0.20
0.4582 0.4593
0.4606 0.4623
0.4648 4
0.30 0.9489
0.9531 0.9585
0.9655 0.9752
5 0.40
1.8045 1.8163
1.8313 1.8510
1.8781 6
0.50 3.4461
3.4762 3.5145
3.5649 3.6341
7 0.60
7.3801 7.4622
7.5666 7.7039
7.8925 8
0.70 26.0492
26.4090 26.8666
27.4683 28.2944
9 0.80
38.7677 39.4247
40.2603 41.3586
42.8660 10
0.90 14.2673
14.5631 14.9392
15.4334 16.1115
11 1.00
9.8026 10.0523
10.3697 10.7867
11.3587 12
1.10 7.9182
8.1689 8.4876
8.9063 9.4804
13 1.20
6.8351 7.1101
7.4596 7.9186
8.5478 14
1.30 6.0567
6.3775 6.7852
7.3205 8.0542
15 1.40
5.3506 5.7472
6.2511 6.9126
7.8191 16
1.50 4.5129
5.0388 5.7069
6.5839 7.7854
17 1.60
3.1604 3.9380
4.9259 6.2223
7.9982 18
1.70 0.1790
1.2687 3.1075
5.5204 8.8251
19 1.80
32.4810 24.4258
14.1950 0.7720
17.6084 20
1.90 18.7762
16.3382 13.2421
9.1805 3.6197
21 2.00
12.2528 11.1552
9.7615 7.9334
5.4309
Tabel 3.2b Nilai
Error
Persamaan Kasus 2 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.1678
0.1678 0.1678
0.1678 0.1678
3 0.20
0.4683 0.4739
0.4843 0.5095
0.6365 4
0.30 0.9893
1.0118 1.0533
1.1532 1.6551
5 0.40
1.9178 1.9809
2.0970 2.3762
3.7705
Universitas Sumatera Utara
6 0.50
3.7351 3.8960
4.1912 4.9001
8.4218 7
0.60 8.1676
8.6053 9.4081
11.3314 20.8405
8 0.70
29.4984 31.4137 34.9220
43.3121 84.6035
9 0.80
45.0620 48.5532 54.9418
70.1935 144.9311
10 0.90
17.0989 18.6679 21.5363
28.3730 61.7379
11 1.00
12.1913 13.5136 15.9289
21.6767 49.6190
12 1.10
10.3159 11.6418 14.0621
19.8130 47.6686
13 1.20
9.4631 10.9152 13.5635
19.8479 50.1812
14 1.30
9.1211 10.8130 13.8964
21.2035 56.3575
15 1.40
9.1370 11.2258 15.0302
24.0348 67.2189
16 1.50
9.5317 12.2983 17.3340
29.2391 86.1630
17 1.60
10.5784 14.6649 22.0982
39.6521 123.3473
18 1.70
13.6253 21.2248 35.0405
67.6324 222.6061
19 1.80
44.3009 86.5450 163.3017 344.1924 1202.1045 20
1.90 4.4539 17.2273
40.4242 95.0399
353.4279
21 2.00
1.7983 3.9471
14.3757 38.9070
154.6924
Pada grafik dibawah ini dilakukan perhitungan dengan menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil lagi, yaitu
h
= 0.01. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat grafik berikut.
Gambar 3.4 Grafik nilai
error
kasus 2 untuk setiap nilai parameter
a
1
Universitas Sumatera Utara
Nilai
error
terbesar berada pada parameter
a
1
= 0.9 tepatnya di titik
x
= 1.82 yaitu 72.78536 . Nilai
error
pada interval tersebut terus meningkat dengan nilai yang tinggi sampai titik
x
= 1.82 dan kembali menurun secara normal. Terjadinya nilai
error
yang cukup tinggi pada
x
= 1.82 dipengaruhi oleh nilai koefisien dari fungsi polinomial berderajat satu pada
H x
. Semakin kecil nilai koefisien maka lonjakan nilai
error
pada kurva akan semakin runcing dan posisi lonjakan akan berpindah ke kiri sumbu
x
. Sedangkan apabila koefisien nilainya diperbesar maka bentuk kurva
error
akan semakin tumpul dan nilai
error
juga akan semakin kecil untuk semua parameter. Pemberian nilai awal
x
,
y
, dan y’ yang tepat juga mempengaruhi bentuk
kurva
error
pada kasus 2.
Kasus 3
3 4 8
cos 2
x
y y
y e
x
Dengan nilai
x
,
y
dan
1 y
Hasil perhitungan solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.5 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 3 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
sedangkan nilai
error
pada kasus 3 untuk setiap parameter
a
1
dengan ukuran langkah
h
= 0.1 dapat diperlihatkan dengan tabel berikut.
Tabel 3.3a Nilai
Error
Persamaan Kasus 3 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 4.7495
4.7495 4.7495
4.7495 4.7495
3 0.20
13.3488 13.4101
13.4878 13.5894
13.7280 4
0.30 61.6872
62.1895 62.8253
63.6557 64.7858
5 0.40
13.4904 13.6348
13.8175 14.0559
14.3798 6
0.50 9.2550
9.3699 9.5150
9.7042 9.9610
7 0.60
7.9820 8.0890
8.2241 8.4000
8.6384 8
0.70 7.6096
7.7148 7.8476
8.0204 8.2544
9 0.80
7.6586 7.7646
7.8983 8.0722
8.3074 10
0.90 7.9567
8.0645 8.2006
8.3774 8.6164
11 1.00
8.4226 8.5328
8.6718 8.8522
9.0961 12
1.10 9.0091
9.1217 9.2637
9.4480 9.6970
13 1.20
9.6828 9.7977
9.9425 10.1304
10.3842 14
1.30 10.4173
10.5341 10.6813
10.8723 11.1302
Universitas Sumatera Utara
15 1.40
11.1900 11.3084
11.4575 11.6510
11.9121 16
1.50 11.9825
12.1019 12.2524
12.4477 12.7111
17 1.60
12.7795 12.8997
13.0510 13.2474
13.5123 18
1.70 13.5700
13.6905 13.8422
14.0390 14.3046
19 1.80
14.3465 14.4670
14.6187 14.8154
15.0808 20
1.90 15.1047
15.2249 15.3762
15.5724 15.8371
21 2.00
15.8429 15.9626
16.1132 16.3086
16.5722
Tabel 3.3b Nilai
Error
Persamaan Kasus 3 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 4.7495
4.7495 4.7495
4.7495 4.7495
3 0.20
13.9278 14.2405
14.7960 16.0368
20.7601 4
0.30 66.4118
68.9469 73.4290
83.3525 120.3950
5 0.40
14.8448 15.5677
16.8402 19.6364
29.8930 6
0.50 10.3289
10.8996 11.9003
14.0847 21.9734
7 0.60
8.9796 9.5076
10.4306 12.4338
19.5686 8
0.70 8.5889
9.1056 10.0062
11.9511 18.7947
9 0.80
8.6433 9.1614
10.0622 11.9994
18.7435 10
0.90 8.9574
9.4826 10.3941
12.3473 19.0846
11 1.00
9.4438 9.9788
10.9056 12.8854
19.6618 12
1.10 10.0517
10.5970 11.5403
13.5505 20.3860
13 1.20
10.7455 11.3005
12.2597 14.2993
21.1978 14
1.30 11.4972
12.0606 13.0335
15.0989 22.0544
15 1.40
12.2837 12.8538
13.8376 15.9234
22.9239 16
1.50 13.0859
13.6609 14.6524
16.7525 23.7829
17 1.60
13.8890 14.4669
15.4630 17.5713
24.6156 18
1.70 14.6821
15.2611 16.2589
18.3698 25.4126
19 1.80
15.4582 16.0369
17.0338 19.1422
26.1701 20
1.90 16.2135
16.7906 17.7847
19.8866 26.8881
21 2.00
16.9469 17.5215
18.5111 20.6032
27.5695
Pada grafik dibawah dilakukan perhitungan dengan menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil, yaitu
h
= 0.01. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat grafik berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.6 Grafik nilai
error
kasus 3 untuk setiap nilai parameter
a
1
Pada kasus 3 nilai
error
terbesar pada interval 0 2
x
berada pada parameter
a
1
= 0.9 yaitu pada titik
x
= 0.27. Pada titik tersebut nilai
error
mencapai 24.63 . Untuk parameter lain, nilai
error
pada titik
x
=0.27 juga mengalami kenaikan yang cukup tinggi dibandingkan denga nilai
error
pada nilai
x
yang lain. Terjadinya nilai
error
yang sangat tinggi pada
x
= 0.27 dipengaruhi oleh bentuk fungsi
H x
dari suatu persamaan diferensial. Pada kasus 3 fungsi
H x
merupakan kombinasi dari fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial natural. Apabila koefisien dari fungsi
eksponensial natural pada kasus 3 diperbesar maka kurva
error
akan semakin cembung dan apabila koefisiennya diperkecil maka kurva
error
akan semakin lancip atau runcing dan mengalami pergeseran arah kiri sumbu
x
.
Kasus 4
9 2sin 3
y y
x
Dengan nilai
x
,
1 y
dan
1 y
Universitas Sumatera Utara
Hasil perhitungan solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Gambar 3.7 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 4 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
sedangkan nilai
error
pada kasus 4 untuk setiap parameter
a
1
dengan ukuran langkah
h
= 0.1 dapat diperlihatkan dengan tabel berikut.
Tabel 3.4a Nilai
Error
Persamaan Kasus 4 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.0157
0.0157 0.0157
0.0157 0.0157
3 0.20
0.2249 0.2251
0.2255 0.2260
0.2268 4
0.30 0.7687
0.7703 0.7725
0.7755 0.7798
5 0.40
1.7935 1.7992
1.8067 1.8168
1.8310 6
0.50 3.8742
3.8914 3.9135
3.9428 3.9835
7 0.60
9.9401 9.9987
10.0734 10.1717
10.3069 8
0.70 834.9561 841.4039 849.5831 860.2913 874.8985
9 0.80
11.9802 12.1029
12.2578 12.4596
12.7332 10
0.90 5.7942
5.8764 5.9798
6.1140 6.2948
Universitas Sumatera Utara
11 1.00
3.1472 3.2166
3.3036 3.4159
3.5666 12
1.10 1.2351
1.2976 1.3758
1.4762 1.6101
13 1.20
0.5608 0.5041
0.4336 0.3434
0.2242 14
1.30 2.5255
2.4763 2.4154
2.3382 2.2372
15 1.40
4.9159 4.8784
4.8325 4.7753
4.7023 16
1.50 8.1353
8.1181 8.0983
8.0756 8.0500
17 1.60
13.1142 13.1366
13.1671 13.2106
13.2758 18
1.70 23.0394
23.1563 23.3068
23.5073 23.7866
19 1.80
62.7608 63.3052
63.9968 64.9038
66.1440 20
1.90 81.4132
82.4947 83.8599
85.6363 88.0409
21 2.00
19.6489 20.0550
20.5653 21.2257
22.1132
Tabel 3.4b Nilai
Error
Persamaan Kasus 4 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.0157
0.0157 0.0157
0.0157 0.0157
3 0.20
0.2282 0.2306
0.2359 0.2505
0.3222 4
0.30 0.7865
0.7980 0.8207
0.8791 1.1356
5 0.40
1.8523 1.8874
1.9541 2.1157
2.7695 6
0.50 4.0436
4.1404 4.3183
4.7315 6.2906
7 0.60
10.5039 10.8155
11.3758 12.6324
17.0866 8
0.70 895.9647 928.8562 986.8799 1113.1926 1535.1720
9 0.80
13.1245 13.7284
14.7762 16.9950
23.9778 10
0.90 6.5514
6.9433 7.6126
8.9916 13.0589
11 1.00
3.7787 4.0994
4.6381 5.7156
8.6568 12
1.10 1.7972
2.0765 2.5369
3.4257 5.6078
13 1.20
0.0592 0.1834
0.5733 1.2888
2.7548 14
1.30 2.0997
1.9023 1.5980
1.0896 0.4592
15 1.40
4.6061 4.4756
4.2952 4.0779
4.5655 16
1.50 8.0235
8.0039 8.0249
8.2658 10.4226
17 1.60
13.3809 13.5684
13.9594 15.0208
20.0249 18
1.70 24.2004
24.8700 26.1107
29.0208 40.1916
19 1.80
67.9377 70.7494
75.7379 86.6971
123.9981 20
1.90 91.4736
96.7589 105.8931 125.1128
184.7145
21 2.00
23.3682 25.2747
28.5029 35.0571
53.6714
Universitas Sumatera Utara
Untuk lebih jelasnya, tabel 3.4a dan 3.4b akan diperlihatkan grafik dibawah dengan menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil, yaitu
h
= 0.01.
Gambar 3. 8 Grafik nilai
error
kasus 4 untuk setiap nilai parameter
a
1
Pada kasus 4 nilai
error
terbesar pada interval 0 2
x
berada pada parameter
a
1
= 0.9 yaitu pada titik
x
= 1.86. Pada titik tersebut nilai
error
mencapai 42.07. Untuk parameter lain, nilai
error
pada titik
x
=0.27 juga mengalami kenaikan yang cukup tinggi dibandingkan dengan nilai
error
pada nilai
x
yang lain.
Kasus 5
tan sin 2
y y
x x
Dengan nilai
x
,
y
dan
1 y
Hasil perhitungan solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.9 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 5 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
sedangkan perbandingan nilai
error
pada kasus 5 untuk setiap parameter
a
1
dapat diperlihatkan dengan tabel dan grafik berikut dimana perhitungan dilakukan dengan
ukuran langkah
h
= 0.1.
Tabel 3.5a Nilai
Error
Persamaan Kasus 5 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.1653
0.1653 0.1653
0.1653 0.1653
3 0.20
0.1549 0.1551
0.1554 0.1559
0.1567 4
0.30 0.1352
0.1362 0.1376
0.1394 0.1421
5 0.40
0.1076 0.1099
0.1128 0.1168
0.1224 6
0.50 0.0735
0.0774 0.0825
0.0893 0.0987
7 0.60
0.0346 0.0406
0.0483 0.0584
0.0724 8
0.70 0.0074
0.0010 0.0117
0.0257 0.0449
9 0.80
0.0506 0.0397
0.0258 0.0076
0.0173 10
0.90 0.0938
0.0801 0.0628
0.0401 0.0091
11 1.00
0.1355 0.1189
0.0979 0.0705
0.0332 12
1.10 0.1746
0.1551 0.1303
0.0980 0.0540
Universitas Sumatera Utara
13 1.20
0.2104 0.1878
0.1591 0.1217
0.0707 14
1.30 0.2422
0.2164 0.1837
0.1409 0.0826
15 1.40
0.2698 0.2407
0.2037 0.1553
0.0892 16
1.50 0.2944
0.2619 0.2206
0.1662 0.0915
17 1.60
0.3288 0.2943
0.2501 0.1917
0.1106 18
1.70 0.0542
0.3273 1.1335
22.7864 1.5882
19 1.80
0.9774 1.8206
4.4530 77.0252
5.1435 20
1.90 2.6033
4.4415 10.2658
171.9023 11.3639
21 2.00
5.2875 8.7579
19.8224 327.7190
21.5764
Tabel 3.5b Nilai
Error
Persamaan Kasus 5 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 0.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
0.10 0.1653
0.1653 0.1653
0.1653 0.1653
3 0.20
0.1579 0.1603
0.1652 0.1794
0.2551 4
0.30 0.1462
0.1531 0.1670
0.2030 0.3763
5 0.40
0.1307 0.1445
0.1708 0.2355
0.5261 6
0.50 0.1126
0.1351 0.1768
0.2761 0.7019
7 0.60
0.0929 0.1256
0.1853 0.3243
0.9015 8
0.70 0.0728
0.1170 0.1968
0.3796 1.1247
9 0.80
0.0534 0.1101
0.2117 0.4420
1.3740 10
0.90 0.0356
0.1057 0.2306
0.5119 1.6572
11 1.00
0.0207 0.1048
0.2544 0.5907
1.9934 12
1.10 0.0094
0.1084 0.2843
0.6809 2.4339
13 1.20
0.0027 0.1174
0.3219 0.7875
3.2149 14
1.30 0.0015
0.1333 0.3700
0.9214 2.6105
15 1.40
0.0066 0.1579
0.4337 1.1156
1.9647 16
1.50 0.0177
0.1932 0.5281
1.8245 1.4841
17 1.60
0.0108 0.2189
1.3803 1.8363
1.3257 18
1.70 0.8736
0.5690 2.4414
1.2730 1.4084
19 1.80
3.0092 2.4778
11.6271 0.1100
1.5381 20
1.90 6.7509
5.8290 27.7065
2.5611 1.6845
21 2.00
12.8968 11.3392
54.1198 6.6131
1.8404
Untuk lebih jelasnya, tabel 3.5a dan 3.5b akan diperlihatkan dengan grafik dibawah dengan menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil, yaitu
h
= 0.01.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3. 10 Grafik nilai
error
kasus 5 untuk setiap nilai parameter
a
1
Kasus 6
2
2 x y
xy y
Dengan nilai 1
x
,
1 1
y
dan
1 2
y
Hasil perhitungan solusi numerik dan solusi analitik dengan ukuran langkah
h
= 0.1 diperlihatkan dengan grafik sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.11 Grafik Solusi Analitik dan Solusi Numerik Kasus 6 dengan nilai parameter
a
1
yang Berbeda
sedangkan perbandingan nilai
error
pada kasus 6 untuk setiap parameter
a
1
dapat diperlihatkan dengan tabel dan grafik berikut dimana perhitungan dilakukan dengan
ukuran langkah
h
= 0.1.
Tabel 3.6a Nilai
Error
Persamaan Kasus 6 Pada Parameter
1
0.0 0.4
a
Iterasi x
a1
0.0 0.1
0.2 0.3
0.4
1 1.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
1.10 0.7550
0.7550 0.7550
0.7550 0.7550
3 1.20
2.3340 2.3340
2.3339 2.3339
2.3338 4
1.30 4.1935
4.1935 4.1934
4.1934 4.1934
5 1.40
6.0786 6.0786
6.0786 6.0787
6.0787 6
1.50 7.8581
7.8582 7.8583
7.8585 7.8587
7 1.60
9.4619 9.4621
9.4624 9.4628
9.4633 8
1.70 10.8531
10.8535 10.8540
10.8547 10.8556
Universitas Sumatera Utara
9 1.80
12.0146 12.0152
12.0159 12.0169
12.0183 10
1.90 12.9413
12.9421 12.9432
12.9446 12.9464
11 2.00
13.6364 13.6375
13.6388 13.6406
13.6430
Tabel 3.6b Nilai
Error
Persamaan Kasus 6 Pada Parameter
1
0.5 0.9
a
Iterasi x
a1
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9
1 1.00
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 2
1.10 0.7550
0.7550 0.7550
0.7550 0.7550
3 1.20
2.3338 2.3337
2.3336 2.3337
2.3348 4
1.30 4.1933
4.1933 4.1935
4.1941 4.1980
5 1.40
6.0788 6.0791
6.0797 6.0815
6.0901 6
1.50 7.8592
7.8599 7.8613
7.8650 7.8799
7 1.60
9.4642 9.4655
9.4681 9.4742
9.4969 8
1.70 10.8570
10.8591 10.8631
10.8721 10.9041
9 1.80
12.0203 12.0234
12.0290 12.0413
12.0838 10
1.90 12.9491
12.9534 12.9608
12.9768 13.0306
11 2.00
13.6465 13.6519
13.6613 13.6812
13.7472
Untuk lebih jelasnya, tabel 3.5a dan 3.5b akan diperlihatkan grafik dibawah dengan menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil, yaitu
h
= 0.01.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3. 12 Grafik nilai
error
kasus 6 untuk setiap nilai parameter
a
1
3.4 Analisis
Kategori