dikembangkan oleh dua ahli matematika Jerman. Mereka adalah Runge dan Kutta. Metode ini juga dibedakan dengan ordo-ordonya.
Banyak variasi dari metode Runge-Kutta, namun secara umum bentuknya adalah :
1 1
n i
i j
j j
y y
h a k
dengan
1 2
3
, ,
,...,
n
a a a a
adalah konstanta dan
k
adalah :
1 1
,
j j
i j
i jl
l l
k f x
p h y q k
1
p
dimana diperoleh
1
,
i i
k f x y
2 2
21 1
,
i i
k f x
p h y q k
3 3
31 1 32 2
,
i i
k f x
p h y q k
q k
…
1 1 2 2
1 1
, ...
n i
n i
n n
n n n
k f x
p h y q k
q k q
k
, ,
j j
jl
a p q
merupakan parameter-parameter yang terdapat pada metode Runge- Kutta. Nilai parameter
, ,
j j
jl
a p q
dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan
error
per langkah, dan persamaan metode Runge-Kutta akan sama dengan metode deret Taylor dari ordo setinggi mungkin. Perhatikan bahwa
k
adalah hubungan yang selalu berulang,
1
k
hadir dalam persamaan untuk
2
k
,
2
k
hadir dalam persamaan
3
k
, dan seterusnya.
1.5 Tujuan Penelitian
Universitas Sumatera Utara
Adapun tujuan dari penelitian yaitu menentukan nilai parameter yang menghasilkan nilai
error
terkecil pada penyelesaian persamaan diferensial biasa linier tingkat dua menggunakan metode Runge-Kutta.
1.6 Manfaat Penelitian
Selain menambah literatur dalam bidang komputasi, tulisan ini juga dapat menambah wawasan bagi masyarakat terutama mahasiswa tentang penyelesaian persamaan
diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta khususnya metode Runge-Kutta Ordo-2 dan penggunaan parameter yang paling efisien pada Runge-Kutta sehingga
mendapatkan nilai
error
yang lebih kecil.
1.7 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan dan memaparkan beberapa bahan yang berkaitan dengan
Metode Runge-Kutta. 2.
Membuat program Runge-Kutta menggunakan Matlab 6.1 dimana didalam program tersebut parameter-parameter yang memenuhi syarat metode Runge-
Kutta dieksekusi satu per satu. 3.
Menguji program dan membandingkan output program sesuai dengan parameter-parameter yang dieksekusi.
4. Mengambil kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial
Definisi 2.1
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui, nilainya, dan diketahui
jumlah serta fungsinya Birkhoff, 1978.
Berdasarkan jumlah variabel bebasnya persamaan diferensial dibagi dalam dua kelas yaitu persamaan diferensial biasa PDB dan persamaan diferensial parsial
PDP.
Definisi 2.2
Persamaan diferensial parsial PDP adalah persamaan diferensial yang menyangkut turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau
lebih variabel bebas. Ross, 1984: 4
Contoh :
1
2 2
2 2
,
u u
u x
y t
2
z z
x y
z x
y
.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.3
Persamaan diferensial biasa PDB adalah persamaan diferensial yang menyangkut turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu
variabel bebas. Ross, 1984: 4
Contoh : 1
sin
x
dy e
x dx
2
1 1
y dx x dy
Definisi 2.4
Tingkat order dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Nugroho, D.B, 2011: 2
Contoh : 1
2
3 y
xy x
: PD tingkat 1 2
3 2
3 2
3 sin 2
d y d y
x dx
dx
: PD tingkat 3
Definisi 2.5
Derajat
degree
dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari suku derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Nugroho, D.B, 2011: 2
Contoh : 1
2 4
3 3
1 2
d y dy
y dx
dx
: PD derajat 2 2
3 4
5 x y
y x
: PD derajat 3
Universitas Sumatera Utara
Istilah persamaan diferensial pertama kali digunakan oleh Leibniz pada tahun 1676 untuk menunjukkan sebuah hubungan antara diferensial
dx
dan
dy
dari dua variabel
x
dan
y
.
Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel bebas, biasanya dinamakan
x
, satu variabel tak bebas, biasanya dinamakan
y
, dan derivatif
dy dx
. Suatu persamaan diferensial biasa ordo satu tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
, dy
f x y dx
2.1
Dengan adalah kontinu di
x
dan
y
. seringkali persamaan 2.1 dituliskan dalam bentuk diferensial baku
, ,
M x y dx N x y dy
2.2
PDB dengan ordo
n
, merupakan persamaan dengan satu variabel yang dapat dituliskan dalam bentuk :
2 2
, , ,
,...,
n n
dy d y d y
F x y dx dx
dx
2.3
dengan
y f x
Jika diambil
y x
sebagai suatu fungsi satu varibel, dengan
x
dinamakan varibel bebas dan
y
dinamakan variabel tak bebas, maka secara umum sebuah persamaan diferensial biasa linier dan non-linier dapat dituliskan sebagai :
1 1
, , ,...,
n n
n n
d y dy
d y
f x y dx
dx dx
Rao, 2001 2.4
, f x y
Universitas Sumatera Utara
2.2 Persamaan Diferensial Biasa Linier
