1 2
1 c
c
1 2
2 3
2 c
c
Menggunakaan metode eliminasi diperoleh
1 2
1 dan c
c
Sehingga penyelesaian khusus untuk nilai
x
,
1 y
dan
1 y
adalah
2 2
3
1 2
x x
y e
x x e
3.1.1.3 Jika cos
sin
x n
n
H x e
P x x
Q x x
Untuk mencari penyelesaian partikulernya dilakukan dengan ketentuan-ketentuan sebagai berikut :
a. Apabila
i
tidak merupakan akar karakteristik maka
cos sin
x p
y e
U x x
V x x
dimana pangkat dari
U x
dan
V x
adalah sama dengan pangkat tertinggi dari polinomial
P x
dan
Q x
.
b. Apabila
i
merupakan akar karakteristik maka
cos sin
x p
y xe
U x x
V x x
Universitas Sumatera Utara
Kasus 3
Cari solusi dari persamaan berikut
3 4 8
cos 2
x
y y
y e
x
Dengan nilai
x
,
y
dan
1 y
Penyelesaian
Persamaan diferensial homogen :
3 4 y
y y
Persamaan karakteristik :
2
3 4
m m
Akar-akar karakteristik :
4 1
m m
1 2
4 1
m dan m
Sehingga diperoleh solusi homogen
1 2
1 2
m x m x
h
y c e
c e
4 1
2 x
x h
y c e
c e
Oleh karena
1
dan
2
bukan merupakan akar karakteristik
1
m
dan
2
m
, maka dari a penyelesaian partikulernya adalah
cos 2 sin 2
x x
p
y Ae
x Be
x
cos 2 2
sin 2 sin 2
2 cos 2
x x
x x
p
y Ae
x Ae
x Be
x Be
x
cos 2 2
sin 2 sin 2
2 cos 2
x x
x x
p
y Ae
x Ae
x Be
x Be
x
2 cos 2
2 sin 2
x x
p
y A
B e x
B A e
x 2
cos 2 2
2 sin 2
2 sin 2
2 2
cos 2
x x
x x
p
y A
B e x
A B e
x B
A e x
B A e
x
2 cos 2
4 2
cos 2 2
4 sin 2
2 sin 2
x x
x x
p
y A
B e x
A B e
x A
B e x
A B e
x
3 4
cos 2 4
3 sin 2
x x
p
y A
B e x
A B e
x
Universitas Sumatera Utara
Selanjutnya dengan mensubtitusiakan
p
y
,
p
y
dan
p
y
ke dalam dalam persamaan kasus diperoleh
3 4
cos 2 4
3 sin 2
3 2
cos 2 2
sin 2 4
cos 2 sin 2
8 cos 2
x x
x x
x x
x
A B e
x A
B e x
A B e
x A
B e x
Ae x
Be x
e x
10 cos 2
2 cos 2
10 sin 2
2 sin 2
8 cos 2
x x
x x
x
Ae x
Be x
Be x
Ae x
e x
10 2
cos 2 2
10 sin 2
8 cos 2
x x
x
A B e
x A
B e x
e x
Sehingga diperoleh dua persamaan yaitu
10 2
8
A B
2 10
A B
Eliminasikan kedua persamaan diatas sehingga diperoleh
2 13
B
dan
10 13
A
Dari nilai
A
dan
B
yang diperoleh maka penyelesaian partikulernya adalah
10 2
cos 2 sin 2
13 13
x x
p
y e
x e
x
Sehingga diperoleh penyelesaian umum
h p
y y
y
4 1
2
10 2
cos 2 sin 2
13 13
x x
x x
y c e
c e e
x e
x
untuk nilai
x
,
y
dan
1 y
Universitas Sumatera Utara
40 1
2
10 2
cos 20 sin 20
13 13
c e c e
e e
1 2
10 13
c c
4 1
2
10 20
2 4
4 cos 2
sin 2 sin 2
cos 2 13
13 13
13
x x
x x
x x
y c e
c e e
x e
x e
x e
x
40 1
2
10 20
2 4
1 4
cos 20 sin 20
sin 20 cos 20
13 13
13 13
x
c e c e
e e
e e
1 2
1 4
13 c
c
Sehingga diperoleh
1
11 65
c
dan
2
39 65
c
Sehingga diperoleh penyelesaian khusus pada kondisi 0, 0
x y
dan
1 y
adalah
4
11 39
10 2
cos 2 sin 2
65 65
13 13
x x
x x
y e
e e
x e
x
3.1.1.4 Jika
