1 2
1 cos 3
sin 3 cos 3
3 y
c x
c x
x x
1 2
1 1
cos 30 sin 30
0 cos 30 3
c c
1
1 c
1 2
1 3 sin 3
3 cos 3
cos 3 sin 3
3 y
c x
c x
x x
x
1 2
1 1
3 sin 30 3
cos 30 cos 30
0 sin 30 3
c c
2
4 9
c
Sehingga diperoleh
1
1 c
dan
2
4 9
c
Penyelesaian khusus untuk nilai
0, 0 1
x y
dan
1 y
adalah
4 1
cos 3 sin 3
cos 3 9
3 y
x x
x x
3.1.2 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua dengan Koefisien Peubah
3.1.2.1 Persamaan Tidak Memuat Variabel
y
Bila persmaaan diferensial linier tingkat dua tidak memuat variabel
y
maka dari persamaan 2.18 diperoleh bentuk umum persamaan adalah
2 2
d y dy
P x G x
dx dx
3.4
Universitas Sumatera Utara
dengan
P x
dan
G x
adalah konstanta atau fungsi kontinu.
Untuk menyelesaikan persaman diferensial jenis tersebut dilakukan langkah- langkah sebagai berikut :
Misalkan
dy z
dx
2 2
d y dz
dx dx
3.5
Persamaan 3.5 disubtitusikan pada persamaan 3.4 diperoleh :
dz P x z
G x dx
3.6
Persamaan 3.6 merupakan persamaan diferensial tingkat satu yang dapat diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan linier tingkat satu.
Kasus 5
Cari solusi dari persamaan berikut
tan sin 2
y y
x x
Dengan nilai
x
,
y
dan
1 y
Penyelesaian :
Misalkan :
Universitas Sumatera Utara
dy z
dx
2 2
dz d y
dx dx
3.7
Persamaan 3.7 disubtitusikan persamaan kasus maka diperoleh
tan sin 2
dz z
x x
dx
3.8
Persamaan 3.8 sudah merupakan bentuk persamaan diferensial linier tingkat satu yang mana variabel-variabelnya adalah fungsi kontinu. Oleh karena itu
berdasarkan subbab sebelumnya solusi persamaan diferensial yang demikian adalah
z U x V x
3.9
dz dV x
dU x U x
V x dx
dx dx
3.10
Persamaan 3.10 disubtitusikan ke persamaan 3.8 diperoleh:
tan sin
dV x dU x
U x V x
U x V x x
x dx
dx tan
sin dV x
dU x U x
V x x
V x x
dx dx
3.11
Dari persamaan 3.11 dapat diambil dua persamaan yaitu:
1.
tan dV x
V x x dx
dx tan
dV x V x
x dx
tan dV x
V x xdx
tan
dV x x dx
V x
Universitas Sumatera Utara
tan
dV x x dx
V x ln
ln cos V x
x cos
V x x
3.12
2.
sin dU x
V x x
dx
sin 2
x dU x
dx V x
3.13
Subtitusikan persamaan 3.12 ke persamaan 3.13
sin 2 cos
x dU x
dx x
sin cos
2 cos
x x
dU x dx
x
2 sin
dU x x dx
1
2cos U x
x c
3.14
dari persamaan 3.9 diperoleh
1
2cos cos
z x
c x
2 1
2cos cos
z x
c x
2 1
2 cos cos
dy y
x c
x dx
3.15
2 1
2 cos cos
dy x
c x dx
1 2
1 sin 2
2 2
sin 2
x x
y c
x c
1 2
1 sin 2
sin 2
y x
x c
x c
3.16
Universitas Sumatera Utara
Untuk nilai
1 y
maka persamaan 3.15 adalah
2 1
1 2cos 0
cos0 c
1
3
c
Akibatnya persamaan 3.16 untuk
1
3
c
dan
y
diperoleh
2
1 sin 20
3sin0 2
c
2
c
Sehingga penyelesaian khusus untuk nilai
x
,
y
dan
1 y
adalah
1 sin 2
3sin 2
y x
x x
3.1.2.2 Persamaan Diferensial Euler Tingkat Dua
