metode Runge-Kutta tidak memiliki solusi yang unik. Solusi metode Runge-Kutta bergantung pada pemilihan nilai parameter yang diberikan. Pemilihan nilai parameter
juga mempengaruhi besar-kecilnya nilai
error
. Oleh karena itu penulis mengambil
judul “PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI
ERROR
PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-
2”.
1.2 Perumusan Masalah
Dari latar belakang ada beberapa masalah yaitu : 1.
Bagaimana solusi persamaan diferensial biasa secara analitik dan numerik yaitu menggunakan metode Runge-Kutta Ordo-2.
2. Bagaimana nilai kesalahan metode Runge-Kutta terhadap perubahan nilai
parameter yang diberikan. 3.
Bagaimana pengaruh perubahan nilai salah satu parameter secara increament terhadap nilai kesalahan yang diperoleh.
1.3 Batasan Masalah
Adapun batasan-batasan masalah dalam melakukan penelitian ini antara lain : 1.
Metode Runge Kutta yang digunakan adalah Metode Runge-Kutta Ordo-2. 2.
Persamaan diferensial yang diselesaikan pada tulisan ini adalah persamaan diferensial biasa yaitu persamaan diferensial linier tingkat dua yang
memiliki solusi eksak. 3.
Aplikasi yang digunakan pada penulisan program mencari solusi persamaan diferensial adalah aplikasi Matlab 6.1
4. Karena nilai parameter
a
1
adalah bialangan rill yang memenuhi persamaan
1 2
1 a
a
, maka ada banyak bilangan rill yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh Karen itu, penulis membatasi nilai parameter
a
1
pada interval
1
1
a
5. Perubahan salah satu parameter yang digunakan adalah perubahan secara
meningkat
increament
dengan selang iterasi sebesar 0.0001.
Universitas Sumatera Utara
1.4 Tinjauan Pustaka
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan diantara derivatif-derivatif yang dispesifikasikan pada suatu fungsi yang tidak diketahui, nilainya, dan diketahui
jumlah serta fungsinya Birkhoff, 1978. Persamaan diferensial biasa PDB adalah suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variabel bebas saja Setiawan,
2006. Penyelesaian suatu model matematika secara numerik memberikan hasil
aproksimasipendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara analitis. Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai
error
kesalahan. Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan
error
dapat dirumuskan sebagai berikut:
Nilai eksak = aproksimasi +
error
Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh definisi dari kesalahan absolut
absolute error
, yaitu :
Kesalahan absolut = nilai eksak – aproksimasi
Metode deret Taylor adalah metode yang umum untuk menurunkan rumus- rumus solusi PDB. Deret Taylor dapat digunakan untuk memperoleh Metode ini pada
dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan beberapa suku deret Taylor.
y x
2 3
2 3
x x
x x
y x x
x y x y x
y x
Metode Runge Kutta memperoleh akurasi dari pendekatan deret Taylor tanpa memerlukan perhitungan derivatif yang lebih tinggi. Metode Runge-Kutta
4
... 4
IV
x x
y x
Universitas Sumatera Utara
dikembangkan oleh dua ahli matematika Jerman. Mereka adalah Runge dan Kutta. Metode ini juga dibedakan dengan ordo-ordonya.
Banyak variasi dari metode Runge-Kutta, namun secara umum bentuknya adalah :
1 1
n i
i j
j j
y y
h a k
dengan
1 2
3
, ,
,...,
n
a a a a
adalah konstanta dan
k
adalah :
1 1
,
j j
i j
i jl
l l
k f x
p h y q k
1
p
dimana diperoleh
1
,
i i
k f x y
2 2
21 1
,
i i
k f x
p h y q k
3 3
31 1 32 2
,
i i
k f x
p h y q k
q k
…
1 1 2 2
1 1
, ...
n i
n i
n n
n n n
k f x
p h y q k
q k q
k
, ,
j j
jl
a p q
merupakan parameter-parameter yang terdapat pada metode Runge- Kutta. Nilai parameter
, ,
j j
jl
a p q
dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan
error
per langkah, dan persamaan metode Runge-Kutta akan sama dengan metode deret Taylor dari ordo setinggi mungkin. Perhatikan bahwa
k
adalah hubungan yang selalu berulang,
1
k
hadir dalam persamaan untuk
2
k
,
2
k
hadir dalam persamaan
3
k
, dan seterusnya.
1.5 Tujuan Penelitian
