Masalah Nilai Awal Metode Deret Taylor

2.3 Masalah Nilai Awal

Initial Value Problem Suatu persamaan diferensial biasa dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak diketahui dan derivatif-derivatifnya, semua diberikan nilai yang sama untuk variabel bebas, merupakan suatu masalah nilai awal initial value problem . Syarat tambahan tersebut dinamakan syarat awal initial condition . Jika syarat tambahan diberikan pada lebih dari satu varibel bebas, dinamakan masalah nilai batas boundary value problem dan syaratnya dinamakan syarat batas. Secara umum, problem persamaan diferensial biasa selalu melibatkan nilai awal initial-value, yang dapat ditulis sebagai berikut : 2.26 dengan kondisi awal y x y  yang dipanggil sebuah masalah nilai awal initial value problem. Verner, 2010.

2.4 Kesalahan

Error Dalam suatu perhitungan matematik, kita selalu berusaha untuk memperoleh jawaban yang eksak, misalnya untuk menghitung suatu variabel tertentu dari suatu persamaan matematik. Akan tetapi, jawaban yang demikian jarang kita peroleh, maka sebagai solusinya digunakan metode numerik. Dalam metode numerik pada tiap langkah penyelesaiannya dari formulasi hingga komputasinya hanya akan menghasilkan solusi pendekatan bukan solusi eksak. Oleh karena itu penyelesaian secara numerik memberikan hasil pendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara analitis. Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai error . Dalam metode numerik error sering juga disebut dengan istilah error . Hubungan antara nilai eksak, nilai pendekatan dan error dapat dirumuskan sebagai berikut: 0, , , y x f x y x y x y           , , n x x x  Universitas Sumatera Utara Nilai eksak = pendekatan + error Error absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai pendekatan. Secara matematis, jika y adalah solusi hampiran dan a y adalah solusi eksak, error dinyatakan oleh a y y error dapat bernilai positif atau negatif. Jika tanda error tidak dipertimbangkan, error absolut didefinisikan sebagai | | a y y 2.27 dengan : a y = nilai sebenarnya y = nilai perkiraan = kesalahan absolut kesalahan terhadap nilai sebenarnya Ungkapan kesalahan menggunakan rumus di atas kurang begitu bermakna karena tidak menunjukkan secara langsung seberapa besar error itu dibandingkan dengan nilai eksaknya. Sebagai contoh, jika nilai eksaknya a y = 10 dan nilai hampirannya y = 10,2, error absolutnya adalah 0,2. Error yang sama akan diperoleh jika a y = 8 dan y = 7,8. Ketika seseorang melaporkan hasil perhitungannya 0,2, tanpa menyebutkan nilai eksaknya, kita tidak mendapatkan informasi yang lengkap. Istilah kesalahan relatif muncul untuk menghindari salah interpretasi terhadap nilai error . Kesalahan relatif didefinisikan sebagai r a y 2.28 Universitas Sumatera Utara Akan tetapi, dalam metode numerik, kita tidak mengetahui nilai sejatinya sehingga sulit untuk mendapatkan error relatif ini. Untuk mengatasi hal tersebut, error dibandingkan dengan nilai hampirannya disebut error relatif hampiran, yaitu 100 r y dengan : r = kesalahan relatif = kesalahan absolut y = nilai perkiraan Di dalam metode numerik sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif dapat dituliskan dalam bentuk : 1 1 - y 100 n n r n y y dengan : y n : nilai perkiraan pada iterasi ke n 1 n y : nilai perkiraan pada iterasi ke n+1

2.4.1 Pembagian Kesalahan

Kesalahan dalam metode numerik disebabkan oleh hal-hal berikut, yaitu : 1. Kesalahan Pemotongan Truncation Error Merupakan kesalahan yang terjadi akibat penggunaan metode itu sendiri dalam menyelesaikan suatu persoalan matematika. Kesalahan pemotongan yaitu kesalahan yang disebabkan karena kita menghentikan suatu deret atau runtunan dengan suku-suku yang tidak berhingga menjadi deret dengan suku-suku yang Universitas Sumatera Utara berhingga. Kesalahan ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Biasanya sering terjadi dalam penyelesaian numerik dengan menggunakan deret Taylor. Untuk penyederhanaan permasalahan biasanya perhatian hanya ditujukan pada beberapa suku dari deret Taylor tersebut, sedangkan suku yang lainnya diabaikan. Pengabaian inilah yang menyebabkan terjadinya kesalahan. Contohnya, hampiran fungsi cosx dengan Deret Taylor : Cosx = 1 – x 2 2 + x 4 4 + x 6 6 + x 8 8 + x 10 10 + . . . Pemotongan nilai hampiran error pemotongan 2. Kesalahan Pembulatan Round-off Error Kesalahan pembulatan merupakan suatu keharusan pada batas ketilitian batastitik ambang aritmatika yang biasanya digunakan dalam metode yang diimplementasikan terhadap komputer. Kesalahan tersebut bergantung pada bilangan dan tipe dari operasi aritmatika yang digunakan pada sebuah langkah. Kesalahan pembulatan yaitu kesalahan yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah digit komputer dalam menyatakan bilangan riil. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Secara normal, kesalahan pembulatan tidak begitu diperhitungkan pada algoritma analisis numerik, karena bergantung pada komputer yang algoritma diimplementasikan dan merupakan algoritma numerik eksternal. Contohnya, bilangan riil tanpa akhir 0.666666…., pada komputer 7 digit dinyatakan sebagai 0.6666667. 3. Kesalahan pada data masukan error in original data Merupakan kesalahan yang terjadi akibat dari gangguan yang ada pada data masukan yang akan diproses, atau adanya informasi tertentu yang tidak diketahui unknown information terikut dalam proses perhitungan. Misalnya pada Universitas Sumatera Utara kebanyakan pemodelan matematika suatu sistem fisik, biasanya ada suatu faktor yang tidak kelihatan pengaruhnya terikut dalam proses. Hal ini akan menyebabkan kesalahan pada outputnya. 4. Blunders gross error Merupakan kesalahan yang terjadi akibat kesalahan manusia atau mesin hitung yang digunakan, Kesalahan jenis ini bisa dikurangi dengan melakukan pekerjaan yang berulang-ulang dan memilih mesin hitung yang baik kualitasnya.

2.5 Metode Deret Taylor

Metode deret Taylor adalah metode yang umum untuk menurunkan rumus-rumus solusi PDB. Metode ini pada dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan beberapa suku deret Taylor. Metode deret taylor juga berkaitan dengan masalah nilai awal yaitu : , dy f x y dx  , y x y  2.29 Disini, kita asumsikan bahwa , f x y adalah fungsi yang dapat dideferensialkan sedemikian mungkin yang berkenaan dengan x dan y . Jika y x adalah solusi eksak dari persamaan 2.29, kita dapat memperluas y x dengan deret Taylor pada titik x x  dan memperoleh y x  2 3 2 3 x x x x y x x x y x y x y x       4 ... 4 IV x x y x    Jika kita diberikan h x x   , kita dapat menuliskan deret sebagai berikut: y x  2 3 2 3 h h y x hy x y x y x    Universitas Sumatera Utara 4 ... 4 IV h y x   2.30 Gerald, 2004 Persamaan 2.30 menyiratkan bahwa untuk menghitung hampiran y x , kita perlu menghitung , , , ,..., ,... IV n y x y x y x y x y x yang dapat dikerjakan dengan rumus 1 , k k y x P f x y   2.31 yang dalam hal ini k adalah ordo dan P adalah operator turunan yaitu, P f x y             2.32 Munir, 2010 Sehingga dengan menggunakan persamaan diferensial parsial diperoleh , y x f x y  2.33a x y f f dy y x f ff x y dx         2.33b xx xy xy yy y x y y x f ff f ff ff f f ff       2 2 xx xy yy y x y f ff f f f f ff      2.33c 2 2 3 3 2 IV xxx xxy xyy y xx xy yy y x f ff f f f f ff f f       2 3 x y xy yy y x y f ff f ff f f ff      2.33d dan seterusnya. Melanjutkan cara ini, kita dapat menyatakan turunan apa saja dari y yang berkenaan , f x y dan turunan parsialnya. Universitas Sumatera Utara

2.6 Metode Runge Kutta