2.3 Masalah Nilai Awal
Initial Value Problem
Suatu persamaan diferensial biasa dengan syarat tambahan pada fungsi yang tidak diketahui dan derivatif-derivatifnya, semua diberikan nilai yang sama untuk variabel
bebas, merupakan suatu masalah nilai awal
initial value problem
. Syarat tambahan tersebut dinamakan syarat awal
initial condition
. Jika syarat tambahan diberikan pada lebih dari satu varibel bebas, dinamakan masalah nilai batas
boundary value problem
dan syaratnya dinamakan syarat batas.
Secara umum, problem persamaan diferensial biasa selalu melibatkan nilai awal initial-value, yang dapat ditulis sebagai berikut :
2.26
dengan kondisi awal y x
y yang dipanggil sebuah masalah nilai awal
initial value problem.
Verner, 2010.
2.4 Kesalahan
Error
Dalam suatu perhitungan matematik, kita selalu berusaha untuk memperoleh jawaban yang eksak, misalnya untuk menghitung suatu variabel tertentu dari suatu persamaan
matematik. Akan tetapi, jawaban yang demikian jarang kita peroleh, maka sebagai solusinya digunakan metode numerik. Dalam metode numerik pada tiap langkah
penyelesaiannya dari formulasi hingga komputasinya hanya akan menghasilkan solusi pendekatan bukan solusi eksak. Oleh karena itu penyelesaian secara numerik
memberikan hasil pendekatan yang berbeda dengan penyelesaian secara analitis. Adanya perbedaan inilah yang sering disebut sebagai
error
. Dalam metode numerik
error
sering juga disebut dengan istilah
error
.
Hubungan antara nilai eksak, nilai pendekatan dan
error
dapat dirumuskan sebagai berikut:
0,
, , y x
f x y x y x
y
, ,
n
x x x
Universitas Sumatera Utara
Nilai eksak = pendekatan +
error
Error
absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya dengan nilai pendekatan. Secara matematis, jika
y
adalah solusi hampiran dan
a
y
adalah solusi eksak,
error
dinyatakan oleh
a
y y
error
dapat bernilai positif atau negatif. Jika tanda
error
tidak dipertimbangkan,
error
absolut didefinisikan sebagai
| |
a
y y
2.27
dengan :
a
y
= nilai sebenarnya
y
= nilai perkiraan = kesalahan
absolut kesalahan terhadap nilai sebenarnya
Ungkapan kesalahan menggunakan rumus di atas kurang begitu bermakna karena tidak menunjukkan secara langsung seberapa besar
error
itu dibandingkan dengan nilai eksaknya. Sebagai contoh, jika nilai eksaknya
a
y
= 10 dan nilai hampirannya
y
= 10,2,
error
absolutnya adalah 0,2.
Error
yang sama akan diperoleh jika
a
y
= 8 dan
y
= 7,8. Ketika seseorang melaporkan hasil perhitungannya 0,2, tanpa menyebutkan nilai eksaknya, kita tidak mendapatkan informasi yang lengkap.
Istilah kesalahan relatif muncul untuk menghindari salah interpretasi terhadap nilai
error
. Kesalahan relatif didefinisikan sebagai
r a
y
2.28
Universitas Sumatera Utara
Akan tetapi, dalam metode numerik, kita tidak mengetahui nilai sejatinya sehingga sulit untuk mendapatkan
error
relatif ini. Untuk mengatasi hal tersebut,
error
dibandingkan dengan nilai hampirannya disebut
error
relatif hampiran, yaitu
100
r
y
dengan :
r
= kesalahan relatif = kesalahan
absolut
y
= nilai perkiraan
Di dalam metode numerik sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.
Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif dapat dituliskan dalam bentuk :
1 1
- y 100
n n
r n
y y
dengan : y
n
: nilai perkiraan pada iterasi ke n
1 n
y
: nilai perkiraan pada iterasi ke n+1
2.4.1 Pembagian Kesalahan
Kesalahan dalam metode numerik disebabkan oleh hal-hal berikut, yaitu :
1. Kesalahan
Pemotongan
Truncation Error
Merupakan kesalahan yang terjadi akibat penggunaan metode itu sendiri dalam menyelesaikan suatu persoalan matematika. Kesalahan pemotongan yaitu
kesalahan yang disebabkan karena kita menghentikan suatu deret atau runtunan
dengan suku-suku yang tidak berhingga menjadi deret dengan suku-suku yang
Universitas Sumatera Utara
berhingga. Kesalahan
ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Biasanya sering terjadi dalam penyelesaian numerik dengan
menggunakan deret Taylor. Untuk penyederhanaan permasalahan biasanya perhatian hanya ditujukan pada beberapa suku dari deret Taylor tersebut,
sedangkan suku yang lainnya diabaikan. Pengabaian inilah yang menyebabkan terjadinya kesalahan.
Contohnya, hampiran fungsi cosx dengan Deret Taylor : Cosx = 1
– x
2
2 + x
4
4 + x
6
6 + x
8
8 + x
10
10 + . . . Pemotongan
nilai hampiran
error
pemotongan
2. Kesalahan
Pembulatan
Round-off Error
Kesalahan pembulatan merupakan suatu keharusan pada batas ketilitian batastitik ambang
aritmatika yang
biasanya digunakan
dalam metode
yang diimplementasikan terhadap komputer. Kesalahan tersebut bergantung pada
bilangan dan tipe dari operasi aritmatika yang digunakan pada sebuah langkah.
Kesalahan pembulatan yaitu kesalahan yang disebabkan oleh keterbatasan
jumlah digit komputer dalam menyatakan bilangan riil. Bilangan riil yang panjangnya melebihi jumlah digit komputer dibulatkan ke bilangan terdekat.
Secara normal, kesalahan pembulatan tidak begitu diperhitungkan pada algoritma analisis numerik, karena bergantung pada komputer
yang algoritma diimplementasikan dan merupakan algoritma numerik eksternal.
Contohnya, bilangan riil tanpa akhir 0.666666…., pada komputer 7 digit
dinyatakan sebagai 0.6666667.
3. Kesalahan pada data masukan
error in original data
Merupakan kesalahan yang terjadi akibat dari gangguan yang ada pada data masukan yang akan diproses, atau adanya informasi tertentu yang tidak diketahui
unknown information
terikut dalam proses perhitungan. Misalnya pada
Universitas Sumatera Utara
kebanyakan pemodelan matematika suatu sistem fisik, biasanya ada suatu faktor yang tidak kelihatan pengaruhnya terikut dalam proses. Hal ini akan menyebabkan
kesalahan pada outputnya.
4.
Blunders gross error
Merupakan kesalahan yang terjadi akibat kesalahan manusia atau mesin hitung yang digunakan, Kesalahan jenis ini bisa dikurangi dengan melakukan pekerjaan
yang berulang-ulang dan memilih mesin hitung yang baik kualitasnya.
2.5 Metode Deret Taylor
Metode deret Taylor adalah metode yang umum untuk menurunkan rumus-rumus solusi PDB. Metode ini pada dasarnya adalah merepresentasikan solusinya dengan
beberapa suku deret Taylor. Metode deret taylor juga berkaitan dengan masalah nilai awal yaitu :
, dy
f x y dx
, y x
y
2.29
Disini, kita
asumsikan bahwa
, f x y
adalah fungsi
yang dapat
dideferensialkan sedemikian mungkin yang berkenaan dengan
x
dan
y
. Jika
y x
adalah solusi eksak dari persamaan 2.29, kita dapat memperluas
y x
dengan deret Taylor pada titik
x x
dan memperoleh
y x
2 3
2 3
x x
x x
y x x
x y x y x
y x
4
... 4
IV
x x
y x
Jika kita diberikan h
x x , kita dapat menuliskan deret sebagai berikut:
y x
2 3
2 3
h h
y x hy x
y x y
x
Universitas Sumatera Utara
4
... 4
IV
h y
x
2.30 Gerald, 2004
Persamaan 2.30 menyiratkan bahwa untuk menghitung hampiran
y x
, kita perlu menghitung
, , , ,...,
,...
IV n
y x y x
y x
y x
y x
yang dapat dikerjakan dengan rumus
1
,
k k
y x
P f x y
2.31
yang dalam hal ini
k
adalah ordo dan
P
adalah operator turunan yaitu,
P f
x y
2.32 Munir, 2010
Sehingga dengan menggunakan persamaan diferensial parsial diperoleh
, y x
f x y
2.33a
x y
f f dy
y x f
ff x
y dx
2.33b
xx xy
xy yy
y x
y
y x
f ff
f ff ff
f f
ff
2
2
xx xy
yy y
x y
f ff
f f f
f ff
2.33c
2 2
3 3
2
IV xxx
xxy xyy
y xx
xy yy
y x
f ff
f f f
f ff
f f
2
3
x y
xy yy
y x
y
f ff
f ff
f f
ff
2.33d
dan seterusnya. Melanjutkan cara ini, kita dapat menyatakan turunan apa saja dari
y
yang berkenaan
, f x y
dan turunan parsialnya.
Universitas Sumatera Utara
2.6 Metode Runge Kutta