2.2 Persamaan Diferensial Biasa Linier
Definisi 2.6
Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara varibel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya. Dengan kata lain, semua koefisiennya
adalah fungsi dari variabel-variabel bebas. Nugroho, D.B, 2011: 3
P
ersamaan diferensial linier dapat diklasifikasikan berdasarkan tingkat ordo tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial. Pada setiap
persaman diferensial yang sudah diklasifikasikan berdasarkan ordo, persaman diferensial tersebut juga dapat diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial linier
homogen dan persamaan diferensial linier tak homogen.
2.2.1 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu
Suatu persamaan diferensial tingkat satu dikatakan linier dalam
y
jika persamaan tidak dapat memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi non-linier lainnya dari
y
atau y’.
Dipunyai bentuk yang paling umum yaitu
dy F x
G x y H x
dx
Atau muncul dalam bentuk yang lebih biasa dengan membagikan setiap fungsi dengan
F x
sehingga diperoleh
dy P x y
Q x dx
2.5
dimana
G x P x
F x
dan
H x Q x
F x
adalah adalah fungsi kontinu atau konstanta sembarang. Jika
P x
, maka persamaan dapat diselesaikan dengan integrasi
Universitas Sumatera Utara
langsung, atau jika
Q x
, maka persmaan adalah terpisahkan dan juga merupakan persamaan diferensial linier yang homogen. Persamaan 2.5 memiliki beberapa
kemungkinan penyelesaian yang terjadi, yaitu :
1. Untuk
P x
maka persamaan 2.5 menjadi persamaan
dy Q x
dx
2.6
Persamaan 2.6 dapat diselesaikan dengan integrasi langsung sehingga penyelesainnya diperoleh
y Q x dx
c
2.7
2. Untuk
Q x
maka persamaan 2.5 menjadi persamaan
dy P x y
dx
2.8
Persamaan 2.8 adalah persamaan diferensial terpisahkan. Persamaan diferensial terpisahkan
separable differential equation
adalah suatu persamaan diferensial biasa tingkat satu yang secara aljabar dapat direduksi ke suatu bentuk
diferensial baku dengan setiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel.
3. Untuk
P x
dan
Q x
adalah fungsi kontinu maka solusi persamaan 2.5 adalah sebagai berikut :
Misalkan
y
adalah perkalian dua parameter
U x
dan
V x
sehingga diperoleh
y U x V x
2.9
dy dV x
dU x U x
V x dx
dx dx
2.10
Universitas Sumatera Utara
Subtitusikan persamaan 2.10 ke persamaan 2.5 maka
dV x dU x
U x V x
P x U x V x Q x
dx dx
dV x dU x
U x P x V x
V x Q x
dx dx
2.11
Dari persamaan 2.11 dapat diambil dua persamaan yaitu :
1.
dV x P x V x
dx
, sehingga
dV x P x V x
dx dV x
P x dx V x
2.12
dengan mengintegralkan kedua sisi persamaan 2.12
dV x P x dx
V x
ln
V x P x dx
P x dx
V x e
2.13
2.
dU x V x
Q x dx
, sehingga
dU x Q x
dx V x
2.14
Subtitusikan persamaan 2.13 ke persamaan 2.14 diperoleh
P x dx
dU x Q x
dx e
Universitas Sumatera Utara
P x dx
dU x Q x e
dx
P x dx
dU x Q x e
dx
2.15
integralkan persamaan persamaan 2.15
P x dx
dU x Q x e
dx
P x dx
U x Q x e
dx
+
c
2.16
subtitusikan persamaan 2.13 dan 2.16 ke persamaan 2.9
P x dx P x dx
y Q x e
dx c e
ln P x dx
P x dx x
y e
Q x e dx
c e
2.17
Berikut merupakan contoh persamaan diferensial linier tingkat satu
1.
3
2
x
y xe
y
2.
tan sec
dy y
x x
x
2.2.2 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua
Kategori