2.1.5 Uraian Materi Pokok Trigonometri
2.1.5.1 Aturan Sinus
Perhatikan gambar 2.1 segitiga lancip berikut.
Garis-garis , , dan merupakan garis tinggi pada , , dan .
Panjang adalah , panjang adalah , dan panjang adalah .
Gambar 2.1 Segitiga lancip 1 Pada
:
1
Pada :
2
Persamaan 1 = 2, diperoleh :
3
Pada :
4
Pada :
5
Persamaan 4 = 5, diperoleh:
6
Persamaan 3 = 6, diperoleh:
Persamaan yang terakhir ini disebut aturan sinus atau dalil sinus. Perhatikan gambar segitiga tumpul
berikut. adalah sudut tumpul
Gambar 2.2 Segitiga tumpul 1 Berlakukah aturan sinus itu pada segitiga tumpul?
Garis adalah garis tinggi pada sisi , garis dan adalah garis tinggi pada
perpanjangan sisi dan .
Pada :
1
Pada :
2
Persamaan 1 = 2, diperoleh :
3
Pada :
4
Pada :
5
Persamaan 4 = 5, diperoleh: 6
Persamaan 3 = 6, diperoleh:
Perasamaan ini merupakan aturan sinus yang ditunjukkan pada segitiga tumpul. Jadi, aturan sinus juga berlaku pada segitiga tumpul.
Berdasarkan bukti-bukti di atas, aturan sinus pada segitiga sebarang dapat dinyatakan sebagai berikut.
Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.
2.1.5.2 Aturan Cosinus
Untuk menggunakan aturan cosinus, perhatikan segitiga lancip pada gambar di
bawah ini. Garis adalah garis tinggi pada sisi .
Gambar 2.3 Segitiga lancip 2 Dengan menerapkan teorema phytagoras pada segitiga siku-siku
, diperoleh: 1
Pada segitiga siku-siku ACD, diperoleh : 2
dan
sehingga 3
Subtitusi 2 dan 3
ke persamaan 1, diperoleh :
Dengan menggunakan analisis perhitungan yang sama untuk pada gambar 2.4
dan gambar 2.4 , diperoleh:
Gambar 2. 4 Dua segitiga lancip Berlakukah aturan cosinus itu pada segitiga tumpul?
Perhatikan gambar 2. 4 segitiga tumpul , adalah sudut tumpul.
Gambar 2. 5 Segitiga tumpul 2 Garis
CD = h
adalah garis tinggi pada perpanjangan sisi .
Dengan menerapkan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku , diperoleh:
1 A
b a
Pada segitiga siku-siku , diperoleh :
dan
sehingga
Subtitusi dan
ke persamaan 1, diperoleh
Dengan menggunakan analisis perhitungan yang sama untuk segitiga tumpul pada gambar 2.6 a dan gambar 2.6 b dibawah ini, diperoleh:
Gambar 2. 6 Dua segitiga tumpul Jelas bahwa aturan cosinus juga berlaku pada segitiga tumpul.
a b
Berdasarkan bukti-bukti di atas, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut. Pada segitiga
berlaku aturan cosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan.
Jika dalam diketahui sisi-sisi dan ss,ss,ss, maka besar sudut-
sudut dan dapat ditentukan melalui persamaan
2.1.5.3 Luas Segitiga
Kategori