maka c Ini berarti ada I
Jika medan F isomorfis dengan suatu submedan dari medan E, maka F dikatakan dapat dimasukkan embedded ke dalam E, atau submedan dari E tersebut diidentikkan
sebagai F. Dengan perkataan lain, dapat diasumsikan F submedan dari E. Jadi untuk
selanjutnya dapat diasumsikan Z
p
submedan prima dari medan berkarakteristik prima p,
dan Q submedan prima dari medan berkarakteristik 0. Juga dalam Teorema 2.6.14 dapat
diasumsikan F submedan dari medan I
x F
] [
di mana submedan N =
{I +
a : a ∈
F} dalam
I x
F ]
[ diidentikkan sebagai F. Perhatikan juga bahwa F perluasan dari dirinya
sendiri sebab F submedan dari F. Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan
α ∈
E. Maka terdapat homomorfisma evaluasi
θ
α
: F[x] →
E yang didefinisikan dengan aturan θ
α
fx =
f α
. Jika fx
= gx hx, maka f
α =
θ
α
fx =
θ
α
gx hx =
θ
α
gx θ
α
hx =
g α
h α
. Dengan demikian f
α =
0 jika dan hanya jika g α
= 0 atau h
α =
0 sebab E medan, tidak memuat pembagi nol. Jadi
α ∈
E adalah akar dari fx jika dan hanya jika α
adalah akar dari gx atau hx. Perlu diingatkan kembali bahwa setiap polinomial takkonstan fx merupakan
polinomial taktereduksi atau faktorisasi atas polinomial-polinomial taktereduksi. Ini berarti dalam setiap faktorisasi dari fx, terdapat sekurang-kurangnya satu faktor dari
f x yang merupakan polinomial taktereduksi. Keterangan-keterangan di atas kiranya
dapat menjelaskan teorema di bawah ini.
Teorema 3.1.1 Teorema Kronecker.
Jika F medan dan fx ∈
F[x] polinomial takkonstan, maka terdapat medan E yang memuat F dan suatu akar dari fx.
BUKTI. Misalkan fx
= px qx dengan px taktereduksi atas F. Menurut Teorema 2.6.14,
] [
x p
x F
= E medan yang memuat F. Misalkan I
= px. Akan dibuktikan terdapat
α =
I +
x ∈
E sehingga p α
= 0. Misalkan px
= a
+ a
1
x +
… +
a
n
x
n
, a
i
∈ F.
Homomorfisma evaluasi θ
α
: F[x] →
E memberikan θ
α
px =
p α
= I
+ a
+ I
+ a
1
α +
… +
I +
a
n
α
n
= I
+ a
+ I
+ a
1
I +
x +
… +
I +
a
n
I +
x
n
= I
+ a
+ I
+ a
1
x +
… +
I +
a
n
x
n
= I
+ a
+ a
1
x +
… +
a
n
x
n
= I
+ px
= I.
Karena I =
I +
0 adalah elemen identitas dalam E, maka α
∈ E akar dari px. Ini berarti
α adalah akar dari fx. Jadi medan E memuat F dan suatu akar dari fx.
■
Teorema di atas mengatakan bahwa setiap medan mempunyai perluasan dan setiap polinomial takkonstan mempunyai akar dalam suatu medan. Dari kedua
pernyataan tersebut, pemahaman tentang perluasan medan dikaitkan dengan akar dari
suatu polinomial. Jadi seperti yang sudah disampaikan di awal bab, medan C dipahami sebagai perluasan dari medan R yang memuat akar dari x
2
+ 1.
Pada Teorema 2.6.5 sudah dibuktikan bahwa polinomial px dalam F[x] yang berderajat n, mempunyai paling banyak n akar dalam medan F. Jelas bahwa px juga
mempunyai paling banyak n akar dalam perluasan dari F. Polinomial x