1
R
. Karena elemen 1
R
tunggal, maka u
1 −
1
= u
1 −
1
⋅ 1
R
= u
1 −
1
⋅ u
⋅ u
2 −
1
= u
1 −
1
⋅ u
⋅ u
2 −
1
= 1
R
⋅ u
2 −
1
= u
2 −
1
. Terbukti elemen satuan dan invers multiplikatif tunggal.
■
Definisi 2.3.6.
Misalkan R adalah gelanggang. Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga na
= a
+ a
+ …
+ a
= 0 untuk
∀ a
∈
R, maka n disebut karakteristik dari R.
Jika tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n yang demikian itu, maka R dikatakan berkarakteristik 0.
Lema 2.3.4 Karakteristik Gelanggang dengan Elemen Satuan.
Gelanggang R dengan elemen satuan berkarakteristik n jika dan hanya jika n1
R
= 0.
BUKTI. ⇒
Jika R berkarakteristik n, maka na =
0 untuk ∀
a ∈
R. Jadi n1
R
= 0.
⇐ Jika diasumsikan n1
R
= 0, maka na
= a
+ a
+ …
+ a
= 1
R
+ 1
R
+ …
+ 1
R
⋅ a
= n1
R
⋅ a
= ⋅
a =
0. ■
Selanjutnya definisi gelanggang diperluas lagi untuk mendapatkan struktur baru. Pada gelanggang R sudah didefinisikan R adalah grup aditif komutatif dan ditambahkan
sifat asosiatif pada operasi ⋅
dan bersifat distributif kombinasi +
dan ⋅
. Kemudian jika R
juga merupakan grup multiplikatif grup dengan operasi perkalian yang komutatif, maka kita mempunyai struktur baru yang dinamakan medan.
Definisi 2.3.7. Misalkan F adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Maka F disebut medan
jika dan hanya jika setiap elemen taknol dalam F mempunyai invers multiplikatif.
Dari definisi di atas, dapat dikatakan dengan cara lebih baik bahwa F adalah medan jika dan hanya jika
i F,
+ grup komutatif
1. Operasi +
bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen identitas 0.
3. Setiap elemen a mempunyai invers −
a .
ii F ,
⋅ dengan F
= F
− {0} grup komutatif
1. Operasi ⋅
bersifat asosiatif dan komutatif. 2. Terdapat elemen satuan 1
F
. 3. Setiap elemen u mempunyai invers u
− 1
. iii Kombinasi operasi
+ dan
⋅ bersifat distributif.
Contoh 2.3.2. Gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah medan. Tetapi gelanggang Z
bukan medan sebab unit-unit dalam Z hanyalah
− 1 dan 1.
Definisi 2.3.8.
Jika a ≠
0 dan b ≠
0 adalah elemen-elemen dalam gelanggang komutatif R sedemikian sehingga a
⋅ b
=
0, maka a dan b disebut pembagi nol.
Definisi 2.3.9. Gelanggang komutatif D dengan elemen satuan disebut daerah integral jika dan hanya
jika D tidak memuat pembagi nol berarti jika a ⋅
b =
0, maka a =
0 atau b =
0 untuk setiap a, b
∈ D.
Contoh 2.3.3. Gelanggang komutatif Z merupakan gelanggang dengan elemen satuan yang tidak
memuat pembagi nol, sehingga Z adalah daerah integral. Juga gelanggang-gelanggang Q, R, dan C semuanya adalah daerah integral.
Definisi 2.3.10.
Misalkan a, b, c dalam gelanggang R dengan a ≠
0. Hukum kanselasi multiplikatif disingkat kanselasi dikatakan berlaku dalam R yaitu jika a
⋅ b
= a
⋅ c, maka b
= c,
demikian pula jika b ⋅
a =
c ⋅
a, maka b =
c.
Teorema 2.3.5.
Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah daerah integral jika dan hanya jika dalam R berlaku kanselasi.
BUKTI. ⇒
Misalkan a ≠
0 dan a ⋅
b =
a ⋅
c. Maka a ⋅
b +
− a
⋅ c
= a
⋅ b
+ −
c =
0. Karena R daerah integral dan a
≠ 0, maka haruslah b
+ −
c =
0, sehingga b =
c. Jadi dalam R berlaku kanselasi.
