Contoh 3.1.3.
Akan ditentukan medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x].
Karena 1 ∈
Q akar dari x
3
− 1
∈
Q[x], maka x
3
−
1 tereduksi dalam Q[x], yaitu x
− 1
faktor dari x
3
− 1. Dengan pembagian yang panjang, didapat x
3
− 1
= x
− 1 x
2
+ x
+ 1.
Dan x
2
+ x
+
1 tidak mempunyai akar dalam Q, sehingga x
2
+ x
+
1 taktereduksi atas Q
Teorema 2.6.8. Jadi 1
] [
2
+ +
x x
x Q
medan pembelah dari x
2
+ x
+ 1
∈
Q[x]. Karena
1 ∈
Q ⊂
1 ]
[
2
+ +
x x
x Q
, maka 1
] [
2
+ +
x x
x Q
medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x].
Kemudian Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 digunakan untuk menentukan medan yang isomorfis dengan
1 ]
[
2
+ +
x x
x Q
. Dengan menggunakan rumus kuadrat yang sudah dikenal, maka w
= 2
3 1
i +
− ∈
C merupakan akar dari x
2
+ x
+ 1. Dengan
demikian Qw
= {a
+ bw : a, b
∈
Q} medan yang isomorfis dengan 1
] [
2
+ +
x x
x Q
. Karena a, b
∈
Q dan w
= 2
3 1
i +
− , maka medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x]
adalah {c +
di 3 : c, d ∈
Q} =
Qi 3
⊂
C sebab polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk i 3 adalah polinomial berderajat 2, yaitu x
2
+ 3.
Contoh 3.1.4.
Akan ditentukan medan pembelah dari x
4
− x
2
− 2
∈
Q[x]. Polinomial ini tidak mempunyai akar dalam Q tetapi tereduksi atas Q, yaitu x
4
− x
2
− 2
= x
2
− 2 x
2
+
1. Dari contoh-contoh di atas, maka Q 2
= {a
+ b 2 : a, b
∈ Q}
medan pembelah dari x
2
− 2
∈
Q[x], dan Qi
= {a
+ bi : a, b
∈
Q} medan pembelah
dari x
2
+ 1
∈
Q[x]. Tetapi 2
∉
Qi dan i
∉
Q 2 , sehingga Q 2 dan Qi
kedua-duanya bukan medan pembelah dari x
4
− x
2
− 2
∈
Q[x]. Dapat ditunjukkan bahwa
{a +
b 2 +
ci +
di 2 : a, b, c, d ∈
Q} medan pembelah dari x
4
− x
2
− 2
∈
Q[x]
pembuktiannya analog dengan Contoh 3.1.5 di bawah.
Pembahasan tentang perluasan medan di atas, yaitu medan pembelah dari suatu polinomial fx
∈ F[x] dan submedan terkecil dari medan E yang memuat medan F dan
α ∈
E, telah memberikan gambaran tentang medan-medan lainnya selain medan-medan
Q, R, dan C yang sudah kita kenal. Medan-medan Q 2
= {a
+ b 2 : a, b
∈
Q} dan Qi
= {a
+ bi : a, b
∈
Q} dapat diperiksa kembali apakah tertutup terhadap operasi
penjumlahan, perkalian, dan invers multiplikatif. Jelas kedua medan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Invers multiplikatif dari a
+ b 2
≠ ∈
Q 2
adalah c
a −
2 c
b di mana c
= a
2
− 2b
2
. Invers multiplikatif dari a +
bi ≠
∈
Qi
adalah d
a −
i d
b di mana d
= a
2
+ b
2
. Definisi 3.1.5 dapat digeneralisasi. Misalkan elemen-elemen
α
1
, α
2
, …, α
n
∈ E
medan yang memuat medan F. Maka terdapat medan perluasan terkecil dari F yang memuat {
α
1
, α
2
, …, α
n
}, ditulis F α
1
, α
2
, …, α
n
. Jadi suatu medan dapat dihasilkan dari F dan {
α
1
, α
2
, …, α
n
}, yaitu dengan mengoperasikan berulang-ulang penjumlahan, perkalian, invers aditif, invers multiplikatif setiap elemen dari F dan {
α
1
, α
2
, …, α
n
}. Kemudian jika
α
1
, α
2
, …, α
n
merupakan akar-akar dari suatu polinomial fx ∈
F[x], maka F
α
1
, α
2
, …, α
n
adalah medan pembelah dari fx.
Contoh 3.1.5. Akan ditentukan medan perluasan terkecil dari Q yang memuat { 2 , 3 }.
