Ambil sembarang [a], [b], [c] ∈
Z
n
. Jelas kedua operasi bersifat tertutup. Perhatikan bahwa [a]
+ [b]
+ [c]
= [a
+ b]
+ [c]
= [a
+ b
+ c]
= [a]
+ [b]
+ [c] dan [a]
⋅ [b]
⋅ [c]
= [ab]
⋅ [c]
= [abc]
= [a]
⋅ [b]
⋅ [c]. Berarti kedua operasi bersifat asosiatif. Kedua
operasi bersifat komutatif, yaitu [a] +
[b] =
[a +
b] =
[b +
a] =
[a] +
[b] dan [a] ⋅
[b] =
[ab] =
[ba] =
[b] ⋅
[a]. Kombinasi kedua operasi bersifat distributif, yaitu [a] +
[b] ⋅
[c] =
[a +
b] ⋅
[c] =
[a +
bc] =
[ac +
bc] =
[ac] +
[bc] =
[a] ⋅
[c] +
[b] ⋅
[c] dan [c] ⋅
[a] +
[b] =
[c] ⋅
[a +
b] =
[ca +
b] =
[ca +
cb] =
[ca] +
[cb] =
[c] ⋅
[a] +
[c] ⋅
[b]. Elemen identitas adalah [0] sebab [a]
+ [0]
= [a
+ 0]
= [a]. Invers aditif dari [a] adalah
[ −
a ] sebab [
− a
] =
[0] +
[ −
a ]
= [n]
+ [
− a
] =
[n −
a] sehingga [a] +
[ −
a ]
= [a]
+ [n
− a]
= [n]
= [0]. Elemen satuan adalah [1] sebab [a]
⋅ [1]
= [a1]
= [a].
Terbukti Z
n
adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan. ■
Di atas sudah dibuktikan bahwa Z
n
gelanggang. Gelanggang Z
6
= {[0], [1], [2],
[3], [4], [5]} bukan medan sebab [2] dan [3] adalah pembagi nol, yaitu [2] ⋅
[3] =
[0].
Mudah dipahami bahwa Z
2
, Z
3
, Z
5
, Z
7
tidak mempunyai pembagi nol. Secara umum,
teorema berikut membuktikan bahwa Z
n
adalah medan untuk setiap bilangan prima n.
Teorema 2.4.3. Z
n
adalah medan jika dan hanya jika n prima.
BUKTI. ⇒
Diasumsikan Z
n
medan dan akan dibuktikan n prima. Andaikan n bukan prima. Maka n
= st di mana 1
s n dan 1
t n. Ini berarti [st]
= [s]
⋅ [t]
= [n]
= [0].
Padahal [s] ≠
[0] dan [t] ≠
[0], berarti [s] dan [t] adalah pembagi nol dalam Z
n
.
Kontradiksi dengan Z
n
medan. Jadi haruslah n prima. ⇐
Ambil sembarang [a] ≠
[0] dalam Z
n
dan n prima. Akan ditunjukkan bahwa [a] mempunyai invers multiplikatif. Karena n prima dan n bukan faktor dari a, maka
faktor persekutuan terbesar dari n dan a adalah 1. Sehingga dari sifat bilangan bulat, 1 adalah kombinasi linear dari n dan a. Jadi terdapat bilangan bulat r dan s
sedemikian sehingga 1 =
ra +
sn. Berarti 1 ≡
ra mod n. Jadi pada bilangan bulat modulo prima n, [1]
= [ra]
= [r]
⋅ [a]. Jadi jika n prima, maka [a]
≠
[0] dalam Z
n
mempunyai invers multiplikatif [r], sehingga Z
n
medan. ■
2.5. Ideal dan Teorema Isomorfisma
Untuk mengkonstruksi medan nantinya, diperlukan suatu subgelanggang khusus menjadi salah satu kunci dari tujuan yang hendak dicapai yang dinamakan ideal.
Definisi 2.5.1. Misalkan R adalah gelanggang. Subgelanggang I dari R disebut ideal jika dan hanya jika
r ⋅
a ∈
I dan a ⋅
r ∈
I untuk ∀
a ∈
I, ∀
r ∈
R.
Teorema 2.5.1 Uji Ideal.
Misalkan R gelanggang dan I ⊆
R. Maka I ideal dalam R jika dan hanya jika i
I ≠
∅ ,
ii ∀
a
1
, a
2
∈ I a
1
+ −
a
2
∈ I,
iii ∀
a ∈
I ∀
r ∈
R r ⋅
a ∈
I dan a ⋅
r ∈
I.
BUKTI. ⇒
Definisi 2.5.1. ⇐
Ambil sembarang a, b ∈
I. Maka a +
− a
= 0 sebab R gelanggang dan I
⊆ R.
Berarti dari ii, 0 ∈
I, sehingga I ≠
∅ . Karena 0
∈ I, maka dari ii, 0
+ −
a =
− a
∈ I. Dan a
+ −
− b
= a
+ b
∈ I. Kemudian dari iii, a
⋅ b
∈ I. Menurut
Teorema 2.3.2, I subgelanggang dari R. Dari iii, I ideal dalam R. ■
Teorema 2.5.2.
Jika R gelanggang komutatif dengan elemen satuan, maka a =
{r ⋅
a : r ∈
R} ideal dalam R, untuk
∀ a
∈ R.
BUKTI. Karena 1
R
∈ R dan a
= 1
R
⋅ a, maka a
∈ a, sehingga a
≠ ∅
. Jika r
1
⋅ a, r
2
⋅ a
∈ a,
maka r
1
⋅ a
+ −
r
2
⋅ a
= r
1
+ −
r
2
⋅ a
∈ a untuk suatu r
1
, r
2
∈ R. Jika diambil
sembarang r ∈
R, maka r ⋅
r
1
⋅ a
= r
⋅ r
1
⋅ a
∈ a dan r
1
⋅ a
⋅ r
= r
1
⋅ r
⋅ a
∈ a
sebab R gelanggang komutatif. Menurut Teorema 2.5.1, a ideal dalam R. ■
Definisi 2.5.2.
Ideal a =
{a ⋅
r : r ∈
R} dari gelanggang komutatif R dengan elemen satuan disebut
ideal utama yang dihasilkan oleh a
∈ R.
Contoh 2.5.1.
Untuk n ∈
Z, maka nZ
= {nz : z
∈ Z}
=
n adalah ideal utama dalam gelanggang Z.
Teorema 2.5.3.
Gelanggang komutatif R dengan elemen satuan adalah medan jika dan hanya jika ideal dalam R hanyalah {0} dan R.
BUKTI. ⇒
Jelas R mempunyai ideal trivial {0}. Misalkan I ideal taktrivial dalam R. Akan ditunjukkan I
= R. Pilih a
≠ ∈
I. Karena diasumsikan R medan, maka untuk setiap x
∈ R, x
= a
⋅ a
− 1
⋅ x
∈ I, sehingga R
⊆ I. Karena I
⊆ R, maka I
= R.
Terbukti ideal dalam R hanyalah {0} dan R. ⇐
Ambil sembarang a ≠
0 dalam R. Akan ditunjukkan bahwa a mempunyai invers multiplikatif. Menurut Teorema 2.5.2, a ideal dalam R. Karena a
∈ a, maka
a ≠
{0}. Karena diasumsikan ideal dalam R hanya {0} dan R, maka a =
R, sehingga 1
R
∈ a, yaitu 1
R
= a
⋅ b. Jadi
∃ b
∈ R sedemikian sehingga a
⋅ b
= 1
R
. Terbukti R medan.
■
Definisi 2.5.3. Jika R gelanggang komutatif, maka ideal I dalam R disebut ideal prima jika dan hanya
jika I ≠
R dan jika a ⋅
b ∈
I, maka a ∈
I atau b ∈
I, untuk ∀
a , b
∈ R.
Definisi 2.5.4.
Jika R gelanggang, maka ideal M ≠
R disebut ideal maksimal jika dan hanya jika tidak
terdapat ideal sejati dari R yang memuat M.
