Selanjutnya dibuktikan ketunggalan dari I +
sx. Misalkan juga I
+ ux adalah ekspresi dari I
+ gx dengan derux
n. Maka I +
sx =
I +
ux. Ini berarti sx +
− u
x ∈
I =
px. Karena setiap elemen taknol dalam I berderajat
≥ n padahal dersx
+ −
u x
n, maka haruslah sx +
− u
x =
0, yaitu s
x =
ux. ■
Teorema 2.6.15 di atas mengatakan bahwa setiap elemen dalam I
x F
] [
berbentuk I
+ sx dengan dersx
n. Jadi untuk I +
fx, I +
kx ∈
I x
F ]
[ , maka dari bukti
Teorema 2.6.15, I +
fx I +
kx =
I +
fx kx =
I +
sx di mana sx adalah sisa dari pembagian fx kx oleh px. Dengan perkataan lain, setiap koset dalam
I x
F ]
[ mempunyai representasi tunggal polinomial berderajat
n dalam F[x]. Ini sama halnya
elemen-elemen dalam Z
n
direpresentasikan oleh tepat salah satu bilangan-bilangan bulat 0, 1, 2, …, n
− 1. Ini memudahkan kita mengoperasikan elemen-elemen dalam
I x
F ]
[ .
Akan diberikan contoh-contoh penjelasan maksud tersebut sekaligus menutup bab ini.
Contoh 2.6.3.
Misalkan F =
R dan px
= x
2
+ 1. Maka dengan Teorema 2.6.15, setiap elemen dalam
I x
] [
R di mana I
= px
= x
2
+ 1, berbentuk I
+ a
+ bx dengan a, b
∈ R.
Contoh 2.6.4.
Dari Contoh 2.6.3 akan ditunjukkan bahwa 1
] [
2
+ x
x R
isomorfis dengan medan
semua bilangan kompleks C.
Didefinisikan pemetaan α
: I
x ]
[ R
→
C dengan aturan
α I
+ a
+ bx
= a
+ bi untuk
setiap I +
a +
bx ∈
I x
] [
R .
Ambil sembarang I +
a +
bx, I +
c +
dx ∈
I x
] [
R . Jika I
+ a
+ bx
= I
+ c
+ dx,
maka menurut Teorema 2.6.15, a +
bx =
c +
dx, sehingga a =
c dan b =
d. Dengan demikian
α I
+ a
+ bx
= a
+ bi
= c
+ di
= α
I +
c +
dx. Jadi aturan pemetaan terdefinisi dengan baik. Kemudian ditunjukkan
α homomorfisma.
α I
+ a
+ bx
+ I
+ c
+ dx
= α
I +
a +
bx +
c +
dx =
α I
+ a
+ c
+ b
+ dx
= a
+ c
+ b
+ di
= a
+ bi
+ c
+ di
= α
I +
a +
bx +
α I
+ c
+ dx.
α I
+ a
+ bx I
+ c
+ dx
= α
I +
a +
bx c +
dx =
α I
+ ac
+ ad
+ bcx
+ bdx
2
. Perhatikan bahwa ac
+ ad
+ bcx
+ bdx
2
= bd x
2
+ 1
+ ac
− bd
+ ad
+ bcx. Jadi sisa
dari pembagian a +
bx c +
dx oleh x
2
+ 1 adalah ac
− bd
+ ad
+ bcx sehingga
menurut Teorema 2.6.15, α
I +
a +
bx I +
c +
dx =
α I
+ ac
− bd
+ ad
+ bcx
= ac
− bd
+ ad
+ bci
= a
+ bi c
+ di
i
2
= −
1 =
α I
+ a
+ bx
α I
+ c
+ dx.
Ker α
= {I
+ a
+ bx
∈ I
x ]
[ R
: α
I +
a +
bx =
0} =
{I +
a +
bx ∈
I x
] [
R : a
+ bi
= 0}
= {I
+ a
+ bx
∈ I
x ]
[ R
: a =
b =
0} =
{I +
0} =
{I}. Menurut Proposisi 2.5.9iv, pemetaan
α injektif. Jika c
∈
C, maka c
= a
+ bi untuk
suatu a, b ∈
R. Ini berarti ada I
+ a
+ bx
∈ I
x ]
[ R
dan α
I +
a +
bx =
a +
bi =
c. Dengan demikian pemetaan
α surjektif. Jadi
1 ]
[
2
+ x
x R
≅ C.
Perhatikan juga karena i ∈
C adalah akar dari x
2
+ 1, maka x
2
+ 1
+ x
∈ 1
] [
2
+ x
x R
adalah akar dari x
2
+ 1.
BAB III STRUKTUR MEDAN GALOIS
3.1. Perluasan Medan
Sudah diketahui bahwa polinomial x
2
−
2 tidak mempunyai akar dalam Q. Tetapi
x
2
−
2 mempunyai akar dalam R. Demikian pula contoh klasik lainnya, yaitu polinomial
x
2
+
1 tidak mempunyai akar dalam R tetapi mempunyai akar dalam C. Padahal sudah diketahui bahwa Q
⊂ R
⊂
C, yang berarti bahwa Q submedan dari R dan C, kemudian R submedan dari C. Maka dalam hal ini R adalah perluasan dari Q, kemudian C adalah
perluasan dari Q dan R. Jadi x
2
−
2 tidak mempunyai akar dalam Q tetapi mempunyai akar dalam perluasannya, yaitu R dan C. Demikian pula x
2
+ 1 tidak mempunyai akar
dalam R tetapi mempunyai akar dalam perluasannya, yaitu C.
Definisi 3.1.1. Medan E disebut perluasan dari medan F jika dan hanya jika E memuat submedan yang
isomorfis dengan F.
Definisi di atas bersifat lebih umum, dalam arti F submedan dari E merupakan kejadian khusus E perluasan dari F sebab F
≅ F. Pada bab terdahulu telah dibuktikan
bahwa medan berkarakteristik prima p memuat submedan yang isomorfis dengan Z
p
,
sedangkan medan berkarakteristik 0 memuat submedan yang isomorfis dengan Q. Jadi medan berkarakteristik p adalah perluasan dari Z
p
, dan medan berkarakteristik 0 adalah
perluasan dari Q.
Jika medan F isomorfis dengan suatu submedan dari medan E, maka F dikatakan dapat dimasukkan embedded ke dalam E, atau submedan dari E tersebut diidentikkan
sebagai F. Dengan perkataan lain, dapat diasumsikan F submedan dari E. Jadi untuk
selanjutnya dapat diasumsikan Z
p
submedan prima dari medan berkarakteristik prima p,
dan Q submedan prima dari medan berkarakteristik 0. Juga dalam Teorema 2.6.14 dapat
diasumsikan F submedan dari medan I
x F
] [
di mana submedan N =
{I +
a : a ∈
F} dalam
I x
F ]
[ diidentikkan sebagai F. Perhatikan juga bahwa F perluasan dari dirinya
sendiri sebab F submedan dari F. Misalkan medan E adalah perluasan dari medan F dan
α ∈
E. Maka terdapat homomorfisma evaluasi
θ
α
: F[x] →
E yang didefinisikan dengan aturan θ
α
fx =
f α
. Jika fx
= gx hx, maka f
α =
θ
α
fx =
θ
α
gx hx =
θ
α
gx θ
α
hx =
g α
h α
. Dengan demikian f
α =
0 jika dan hanya jika g α
= 0 atau h
α =
0 sebab E medan, tidak memuat pembagi nol. Jadi
α ∈
E adalah akar dari fx jika dan hanya jika α
adalah akar dari gx atau hx. Perlu diingatkan kembali bahwa setiap polinomial takkonstan fx merupakan
polinomial taktereduksi atau faktorisasi atas polinomial-polinomial taktereduksi. Ini berarti dalam setiap faktorisasi dari fx, terdapat sekurang-kurangnya satu faktor dari
f x yang merupakan polinomial taktereduksi. Keterangan-keterangan di atas kiranya
dapat menjelaskan teorema di bawah ini.
Teorema 3.1.1 Teorema Kronecker.
Jika F medan dan fx ∈
F[x] polinomial takkonstan, maka terdapat medan E yang memuat F dan suatu akar dari fx.
