dengan 0 ≤
r n. Maka e
G
= a
t
= a
nq +
r
= a
nq
∗ a
r
= a
n q
∗ a
r
= e
G q
∗ a
r
= a
r
. Padahal dari i diketahui bahwa n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga a
n
= e
G
, maka haruslah r =
0. Ini menunjukkan bahwa t
= nq.
⇐ Jika n adalah faktor dari t, maka t
= nw. Jadi a
t
= a
nw
= a
n w
= e
G w
= e
G
. iii Ambil sembarang a
m
∈ 〈
a 〉
untuk suatu m ∈
Z. Menurut algoritma pembagian
pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat u dan v sedemikian sehingga m
= nu
+ v dengan 0
≤ v
n. Maka a
m
= a
nu +
v
= a
nu
∗ a
v
= a
n u
∗ a
v
= e
G u
∗ a
v
= a
v
. Jadi a
m
sama dengan tepat salah satu dari a , a
1
, a
2
, …, a
n −
1
. Untuk menunjukkan bahwa elemen-elemen a
, a
1
, a
2
, …, a
n −
1
saling berbeda, misalkan a
v
= a
w
di mana 0 ≤
v n dan 0
≤ w
n. Jika v ≥
w, maka a
v −
w
= e
G
dengan v −
w ≥
0. Dan menurut ii, n adalah faktor dari v −
w. Tetapi perhatikan bahwa 0
≤ v
− w
n, maka haruslah v −
w =
0, yaitu v =
w. Demikian juga analog untuk w
≥ v.
Jadi 〈
a 〉
= {e
G
, a, a
2
, …, a
n −
1
}. ■
Definisi 2.2.5 Order Elemen.
Jika terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a
n
= e
G
, maka n
disebut order a dalam grup G, dinotasikan
ο a. Tetapi jika tidak terdapat bilangan bulat
positif terkecil yang dimaksud di atas, maka a dikatakan berorder takhingga.
Akibat 2.2.5.
Jika G grup dan a ∈
G, maka ο
a =
〉 〈
a .
BUKTI. Jika
ο a
= n, maka menurut Teorema 2.2.4iii,
〈 a
〉 =
{e
G
, a, a
2
, …, a
n −
1
}, sehingga 〉
〈 a
= n
= ο
a. Jika a berorder takhingga, maka tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a
n
= e
G
. Jadi a
r
≠ a
s
untuk setiap bilangan bulat r dan s, sehingga
〉 〈
a takhingga.
■
Definisi 2.2.6.
Jika a ∈
G dan G =
〈 a
〉
, maka grup G disebut grup siklik yang dibangun atau dihasilkan
oleh a.
Contoh 2.2.2. Grup Z adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 1 atau
− 1. Perhatikan bahwa di sini 1
n
adalah 1 +
1 +
… +
1 =
n1.
Jika G grup siklik yang dihasilkan oleh a ∈
G, maka setiap elemen dalam G berbentuk a
k
untuk suatu k ∈
Z. Jika G berorder n, maka G
= {e
G
, a, a
2
, …, a
n −
1
}. Selanjutnya faktor persekutuan terbesar dari k dan n ditulis k, n.
Teorema 2.2.6 Sifat-sifat Grup Siklik.
Jika G grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a ∈
G dan 1 ≤
k n, maka
i G
grup komutatif. ii Setiap subgrup dari G adalah siklik.
iii a
k
membangun subgrup berorder ,
n k
n .
