Proposisi 3.1.5 juga berpegang prinsip pada Teorema Kronecker. Penggunaan huruf i berpautan dengan kata imaginary merupakan suatu tradisi untuk menyatakan akar dari
x
2
+ 1, yaitu i
2
+ 1
= 0 yang kemudian didefinisikan i
2
= −
1. Jika
α ∈
F, maka jelas F medan terkecil yang memuat F dan α
. Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 juga dapat menunjukkannya. Jika
α ∈
F, maka polinomial monik taktereduksi dalam F[x] untuk
α adalah polinomial linear x
− α
, sehingga medan terkecil yang memuat F dan
α adalah F
α =
{b : b ∈
F} =
F. Ini juga berarti F α
= F
adalah medan pembelah dari x −
α .
Misalkan gx ∈
F[x] polinomial taktereduksi berderajat k dan α
1
, α
2
, …, α
k
∈ E
perluasan dari medan F adalah akar-akar dari gx. Dari Proposisi 3.1.4, ]
[ x
g x
F isomorfis dengan F
α
1
, F α
2
, …, F α
k
, sehingga F α
1
≅ F
α
2
≅ …
≅ F
α
k
. Jadi ]
[ x
g x
F memuat semua akar dari gx atau
] [
x g
x F
adalah medan pembelah dari polinomial taktereduksi gx
∈ F[x]. Ini berarti bahwa jika
α ∈
E adalah akar dari polinomial taktereduksi gx
∈ F[x], maka F
α adalah medan pembelah dari gx, yaitu
medan terkecil yang memuat F dan semua akar dari gx. Sebelumnya sudah disinggung bahwa medan pembelah dari suatu polinomial
tergantung pada medan yang didefinisikan. Medan pembelah dari x
2
+ 1
∈
R[x] adalah Ri
=
C, tetapi jika x
2
+ 1
∈
Q[x], maka medan pembelahnya Qi
= {
a +
bi : a, b ∈
Q }
submedan dari C. Artinya, medan terkecil yang memuat Q dan semua akar dari x
2
+ 1
adalah Qi.
Semua contoh medan pembelah di atas dari polinomial taktereduksi, padahal menurut Teorema 3.1.2, medan pembelah selalu ada untuk setiap polinomial. Berikut ini
diberikan contoh-contoh medan pembelah dari polinomial tereduksi.
Contoh 3.1.3.
Akan ditentukan medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x].
Karena 1 ∈
Q akar dari x
3
− 1
∈
Q[x], maka x
3
−
1 tereduksi dalam Q[x], yaitu x
− 1
faktor dari x
3
− 1. Dengan pembagian yang panjang, didapat x
3
− 1
= x
− 1 x
2
+ x
+ 1.
Dan x
2
+ x
+
1 tidak mempunyai akar dalam Q, sehingga x
2
+ x
+
1 taktereduksi atas Q
Teorema 2.6.8. Jadi 1
] [
2
+ +
x x
x Q
medan pembelah dari x
2
+ x
+ 1
∈
Q[x]. Karena
1 ∈
Q ⊂
1 ]
[
2
+ +
x x
x Q
, maka 1
] [
2
+ +
x x
x Q
medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x].
Kemudian Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 digunakan untuk menentukan medan yang isomorfis dengan
1 ]
[
2
+ +
x x
x Q
. Dengan menggunakan rumus kuadrat yang sudah dikenal, maka w
= 2
3 1
i +
− ∈
C merupakan akar dari x
2
+ x
+ 1. Dengan
demikian Qw
= {a
+ bw : a, b
∈
Q} medan yang isomorfis dengan 1
] [
2
+ +
x x
x Q
. Karena a, b
∈
Q dan w
= 2
3 1
i +
− , maka medan pembelah dari x
3
− 1
∈
Q[x]
adalah {c +
di 3 : c, d ∈
Q} =
Qi 3
⊂
C sebab polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk i 3 adalah polinomial berderajat 2, yaitu x
2
+ 3.
Contoh 3.1.4.
Akan ditentukan medan pembelah dari x
4
− x
2
− 2
∈
Q[x]. Polinomial ini tidak mempunyai akar dalam Q tetapi tereduksi atas Q, yaitu x
4
− x
2
− 2
= x
2
− 2 x
2
+
1. Dari contoh-contoh di atas, maka Q 2
= {a
+ b 2 : a, b
∈ Q}
medan pembelah dari x
2
− 2
∈
Q[x], dan Qi
= {a
+ bi : a, b
∈
Q} medan pembelah
dari x
2
+ 1
∈
Q[x]. Tetapi 2
∉
Qi dan i
∉
Q 2 , sehingga Q 2 dan Qi
kedua-duanya bukan medan pembelah dari x
4
− x
2
− 2
∈
Q[x]. Dapat ditunjukkan bahwa
