BUKTI. Jika
ο a
= n, maka menurut Teorema 2.2.4iii,
〈 a
〉 =
{e
G
, a, a
2
, …, a
n −
1
}, sehingga 〉
〈 a
= n
= ο
a. Jika a berorder takhingga, maka tidak terdapat bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga a
n
= e
G
. Jadi a
r
≠ a
s
untuk setiap bilangan bulat r dan s, sehingga
〉 〈
a takhingga.
■
Definisi 2.2.6.
Jika a ∈
G dan G =
〈 a
〉
, maka grup G disebut grup siklik yang dibangun atau dihasilkan
oleh a.
Contoh 2.2.2. Grup Z adalah grup siklik yang dihasilkan oleh 1 atau
− 1. Perhatikan bahwa di sini 1
n
adalah 1 +
1 +
… +
1 =
n1.
Jika G grup siklik yang dihasilkan oleh a ∈
G, maka setiap elemen dalam G berbentuk a
k
untuk suatu k ∈
Z. Jika G berorder n, maka G
= {e
G
, a, a
2
, …, a
n −
1
}. Selanjutnya faktor persekutuan terbesar dari k dan n ditulis k, n.
Teorema 2.2.6 Sifat-sifat Grup Siklik.
Jika G grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a ∈
G dan 1 ≤
k n, maka
i G
grup komutatif. ii Setiap subgrup dari G adalah siklik.
iii a
k
membangun subgrup berorder ,
n k
n .
iv Jika k, n =
1, maka a
k
membangun G. v Jika n
k , maka G mempunyai tepat satu subgrup berorder k.
BUKTI. i
Ambil sembarang elemen-elemen a
m
, a
n
∈ G. Maka a
m
∗ a
n
= a
m +
n
= a
n +
m
= a
n
∗ a
m
untuk suatu m, n ∈
Z. Menurut Definisi 2.2.2, G grup komutatif.
ii Ambil sembarang H ≤
G. Jelas H =
{e
G
} adalah subgrup siklik. Jika H ≠
{e
G
}, maka terdapat a
k
∈ H untuk suatu bilangan bulat positif k. Misalkan m adalah
bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga a
m
∈ H. Selanjutnya akan
ditunjukkan H =
〈 a
m
〉 , yaitu setiap elemen dalam H adalah pangkat dari a
m
. Ambil sembarang b
∈ H, maka b
= a
t
untuk suatu t ∈
{0, 1, …, n −
1}. Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat
q , r sedemikian sehingga t
= mq
+ r dengan 0
≤ r
m. Maka a
t
= a
mq +
r
= a
m q
∗ a
r
⇔ a
m q
− 1
∗ a
t
= a
r
. Perhatikan bahwa a
m
, a
t
∈ H, sehingga a
r
∈ H. Kemudian,
karena 0 ≤
r m dan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga
a
m
∈ H, maka haruslah r
= 0. Jadi b
= a
t
= a
mq
= a
m q
. iii Jika G adalah grup siklik berorder n yang dihasilkan oleh a
∈ G, maka a
n
= e
G
. Perhatikan bahwa
〉 〈
k
a merupakan bilangan bulat positif terkecil s sedemikian
sehingga a
k s
= a
ks
= e
G
. Menurut Teorema 2.2.4ii, a
ks
= e
G
jika dan hanya jika ks
n . Misalkan g
= k, n. Maka menurut sifat bilangan bulat, g adalah kombinasi
linear dari k dan n, yaitu g =
uk +
vn ⇔
1 =
g n
v g
k u
+ untuk suatu u, v
∈ Z.
Jadi ,
g n
g k
= 1. Jika ks
n , maka
s g
k g
n . Akibatnya
s g
n . Ini berarti
bilangan bulat positif terkecil s adalah g
n . Jadi a
k
membangun subgrup berorder ,
n k
n .
iv Jika k, n =
1, maka dari iii, 〉
〈
k
a =
1 n
= n
= G , sehingga
〈 a
k
〉 =
G. v Jika n
k , maka n
= ku untuk suatu bilangan bulat positif u dan u, n
= u. Dari iii,
a
u
membangun subgrup berorder u
n =
k. Jadi G mempunyai subgrup berorder k. Akan ditunjukkan subgrup berorder k tunggal. Misalkan L dan M subgrup-subgrup
berorder k. Maka L =
M . Jelas L =
M untuk L =
M =
1. Dari ii, L dan M adalah siklik, yaitu L
= 〈
a
r
〉 dan M
= 〈
a
s
〉 untuk suatu bilangan bulat positif r dan s.
Karena e
G
= a
n
, maka a
n
dalam 〈
a
r
〉 dan
〈 a
s
〉 . Ini berarti a
n
adalah pangkat dari a
r
dan a
s
, sehingga n
r dan n s . Jadi r, n
= r dan s, n
= s. Maka menurut iii,
〉 〈
r
a =
, n
r n
= r
n dan
〉 〈
s
a =
, n
s n
= s
n . Jadi jika
〉 〈
r
a =
〉 〈
s
a , maka
r n
= s
n ⇔
r =
s, sehingga 〈
a
r
〉 =
〈 a
s
〉 atau L
= M.
■
Jadi dari teorema di atas, berarti banyaknya subgrup dari grup siklik berhingga G adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi order G. Selanjutnya Lagrange
membuktikan bahwa order subgrup dari grup berhingga harus membagi order grupnya. Dibahas dahulu tentang suatu subhimpunan dari grup yang dinamakan koset.
Teorema 2.2.7.
Misalkan G grup dan H ≤
G. Jika relasi ∼
pada G didefinisikan dengan a
∼ b jika dan hanya jika b
∗ a
− 1
∈ H,
maka ∼
adalah relasi ekivalensi pada G.
