Jika G berorder n, maka G

bilangan bulat positif terkecil s adalah g n . Jadi a k membangun subgrup berorder , n k n . iv Jika k, n = 1, maka dari iii, 〉 〈 k a = 1 n = n = G , sehingga 〈 a k 〉 = G. v Jika n k , maka n = ku untuk suatu bilangan bulat positif u dan u, n = u. Dari iii, a u membangun subgrup berorder u n = k. Jadi G mempunyai subgrup berorder k. Akan ditunjukkan subgrup berorder k tunggal. Misalkan L dan M subgrup-subgrup berorder k. Maka L = M . Jelas L = M untuk L = M = 1. Dari ii, L dan M adalah siklik, yaitu L = 〈 a r 〉 dan M = 〈 a s 〉 untuk suatu bilangan bulat positif r dan s. Karena e G = a n , maka a n dalam 〈 a r 〉 dan 〈 a s 〉 . Ini berarti a n adalah pangkat dari a r dan a s , sehingga n r dan n s . Jadi r, n = r dan s, n = s. Maka menurut iii, 〉 〈 r a = , n r n = r n dan 〉 〈 s a = , n s n = s n . Jadi jika 〉 〈 r a = 〉 〈 s a , maka r n = s n ⇔ r = s, sehingga 〈 a r 〉 = 〈 a s 〉 atau L = M. ■ Jadi dari teorema di atas, berarti banyaknya subgrup dari grup siklik berhingga G adalah banyaknya bilangan bulat positif yang membagi order G. Selanjutnya Lagrange membuktikan bahwa order subgrup dari grup berhingga harus membagi order grupnya. Dibahas dahulu tentang suatu subhimpunan dari grup yang dinamakan koset. Teorema 2.2.7. Misalkan G grup dan H ≤ G. Jika relasi ∼ pada G didefinisikan dengan a ∼ b jika dan hanya jika b ∗ a − 1 ∈ H, maka ∼ adalah relasi ekivalensi pada G. BUKTI. Akan dibuktikan ∼ bersifat refleksif, simetris, dan transitif. Karena a ∗ a − 1 = e G ∈ H, maka a ∼ a, yaitu ∼ refleksif. Jika a ∼ b, maka b ∗ a − 1 ∈ H, sehingga b ∗ a − 1 − 1 = a ∗ b − 1 ∈ H, yaitu b ∼ a. Berarti ∼ simetris. Jika a ∼ b dan b ∼ c, maka b ∗ a − 1 ∈ H dan c ∗ b − 1 ∈ H. Maka c ∗ b − 1 ∗ b ∗ a − 1 = c ∗ a − 1 ∈ H. Jadi a ∼ c, sehingga ∼ transitif. ■ Kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kanan dari H dalam G. Jika b ∗ a − 1 diganti dengan a − 1 ∗ b, maka kelas-kelas ekivalensi dari ∼ dinamakan koset kiri dari H dalam G. Akibat 2.2.8 Bentuk Koset. Misalkan G grup dan H ≤

G. Setiap koset kanan dari H berbentuk Ha

= {h ∗ a : h ∈ H} dan koset kiri dari H berbentuk aH = {a ∗ h : h ∈ H}, untuk suatu a ∈ G. BUKTI. Misalkan K adalah koset kanan dari H dalam G, maka K adalah kelas ekivalensi dari ∼ yang memuat suatu elemen a ∈ G, yaitu K = {b ∈ G : a ∼ b} = {b ∈ G : b ∗ a − 1 ∈ H}. Selanjutnya akan dibuktikan K = Ha. Ambil sembarang x ∈ K, maka x ∗ a − 1 = h ∈ H, sehingga x = h ∗ a ∈ Ha. Kemudian jika x ∈ Ha, maka x = h ∗ a untuk suatu h ∈ H, berarti x ∗ a − 1 = h ∈ H, sehingga x ∈ K. Jadi x ∈ K jika dan hanya jika x ∈ Ha untuk ∀ x , sehingga K = Ha. Dengan cara yang sama, maka setiap koset kiri dari H dalam G pasti berbentuk aH. ■