BUKTI. Akan dibuktikan
∼ bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
Karena a ∗
a
− 1
= e
G
∈ H, maka a
∼ a, yaitu
∼ refleksif. Jika a
∼ b, maka b
∗ a
− 1
∈ H,
sehingga b ∗
a
− 1
− 1
= a
∗ b
− 1
∈ H, yaitu b
∼ a. Berarti
∼ simetris. Jika a
∼ b dan b
∼ c,
maka b ∗
a
− 1
∈ H dan c
∗ b
− 1
∈ H. Maka c
∗ b
− 1
∗ b
∗ a
− 1
= c
∗ a
− 1
∈ H. Jadi a
∼ c,
sehingga ∼
transitif. ■
Kelas-kelas ekivalensi dari ∼
dinamakan koset kanan dari H dalam G. Jika b ∗
a
− 1
diganti dengan a
− 1
∗ b, maka kelas-kelas ekivalensi dari
∼ dinamakan koset kiri dari H
dalam G.
Akibat 2.2.8 Bentuk Koset.
Misalkan G grup dan H ≤
G. Setiap koset kanan dari H berbentuk Ha
= {h
∗ a : h
∈ H}
dan koset kiri dari H berbentuk aH
= {a
∗ h : h
∈ H}, untuk suatu a
∈ G.
BUKTI. Misalkan K adalah koset kanan dari H dalam G, maka K adalah kelas ekivalensi dari
∼ yang memuat suatu elemen a
∈ G, yaitu K
= {b
∈ G : a
∼ b}
= {b
∈ G : b
∗ a
− 1
∈ H}.
Selanjutnya akan dibuktikan K =
Ha. Ambil sembarang x ∈
K, maka x ∗
a
− 1
= h
∈ H,
sehingga x =
h ∗
a ∈
Ha. Kemudian jika x ∈
Ha, maka x =
h ∗
a untuk suatu h ∈
H, berarti x
∗ a
− 1
= h
∈ H, sehingga x
∈ K. Jadi x
∈ K jika dan hanya jika x
∈ Ha untuk
∀ x
, sehingga K
= Ha. Dengan cara yang sama, maka setiap koset kiri dari H dalam G pasti
berbentuk aH. ■
Lema 2.2.9.
Misalkan G grup, H ≤
G dan a, b ∈
G. Maka Ha =
Hb jika dan hanya jika b ∗
a
− 1
∈ H.
BUKTI. ⇒
Karena b ∈
Hb, yaitu b =
e
H
∗ b dan Ha
= Hb, maka b
∈ Ha. Ini berarti untuk
suatu h ∈
H, b =
h ∗
a ⇔
b ∗
a
− 1
= h. Jadi b
∗ a
− 1
∈ H.
⇐ Diasumsikan b
∗ a
− 1
∈ H. Akan dibuktikan Ha
= Hb. Ambil sembarang elemen
dalam Ha katakanlah h ∗
a dengan h ∈
H. Karena b ∗
a
− 1
∈ H, maka b
∗ a
− 1
− 1
= a
∗ b
− 1
∈ H, sehingga h
∗ a
= h
∗ a
∗ b
− 1
∗ b
∈ Hb. Jadi Ha
⊆ Hb. Untuk
sembarang h ∗
b ∈
Hb, maka h ∗
b =
h ∗
b ∗
a
− 1
∗ a
∈ Ha. Jadi Hb
⊆ Ha,
sehingga Ha =
Hb. ■
Misalkan H subgrup dari grup G dan ∼
adalah relasi ekivalensi pada G yang didefinisikan dalam Teorema 2.2.7. Maka kelas-kelas ekivalensi dari
∼ membentuk
suatu partisi dari G, yaitu subhimpunan-subhimpunan takkosong dari G yang saling
asing atau saling lepas, tidak saling tumpang tindih dan G harus merupakan gabungan dari subhimpunan-subhimpunan tersebut. Jadi partisi dari G yang ditimbulkan oleh
kelas-kelas ekivalensi dari ∼
terdiri dari koset-koset kanan dari H dalam G. Di bawah ditunjukkan bahwa H berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya. Jadi jika G
berhingga, maka banyaknya elemen dalam G kelipatan dari banyaknya elemen dalam H.
Lema 2.2.10.
Jika H subgrup berhingga dari grup G dan a ∈
G, maka Ha =
H =
aH .
BUKTI. Didefinisikan
µ : H
→ Ha dengan aturan
µ h
= h
∗ a,
∀ h
∈ H. Pemetaan
µ terdefinisi
dengan baik sebab untuk sembarang h
1
, h
2
∈ H dengan h
1
= h
2
, maka h
1
∗ a
= h
2
∗ a,
yaitu µ
h
1
= µ
h
2
. Kemudian jika µ
h
1
= µ
h
2
, maka h
1
∗ a
= h
2
∗ a, sehingga h
1
= h
2
. Jadi pemetaan
µ injektif. Jelas pemetaan
µ surjektif sebab jika x
∈ Ha, maka x
= h
∗ a
untuk suatu h ∈
H. Jadi pemetaan µ
bijektif, sehingga H =
Ha . Dengan cara yang sama, maka H
= aH .
Terbukti Ha =
H =
aH . ■
Teorema 2.2.11 Teorema Lagrange.
Jika G grup berhingga dan H ≤
G, maka order H membagi order G.
BUKTI. Grup G adalah gabungan koset-koset kanan dari H yang saling asing, yaitu
U
k i
i
Ha G
1 =
=
di mana Ha
i
∩ Ha
j
= ∅
, i ≠
j. Menurut Lema 2.2.10,
i
Ha =
H untuk setiap i. Maka G
=
1
Ha +
2
Ha +
… +
k
Ha =
H +
H +
… +
H =
k H . Jadi H
G =
k. ■
Akibat 2.2.12.
i Jika G grup berhingga, maka order a membagi order G dan
G
a =
e
G
, ∀
a ∈
G. ii Grup G berorder prima adalah grup siklik yang dihasilkan oleh setiap a
≠ e
G
∈ G
dan hanya mempunyai subgrup trivial {e
G
} dan dirinya sendiri.
