Dengan memfokuskan ketertutupan operasi penjumlahan dan perkalian dari 2 dan
3 , sepertinya Q 2 , 3
= {a
+ b 2
+ c 3
+ d 6 : a, b, c, d
∈
Q}. Tetapi akan
digunakan Proposisi 3.1.4 dan Proposisi 3.1.5 untuk menunjukkannya. Perkalian dari 2 dan
3 adalah 6 , sehingga polinomial monik taktereduksi dalam Q[x] untuk
6 adalah x
2
−
6. Dengan Proposisi 3.1.5, maka Q 6
= {a
+ b 6 : a, b
∈ Q}.
Tetapi Q 6 tidak memuat 2 dan 3 . Padahal Q 2 , 3 harus memuat 2 dan 3 , sehingga Q 2 , 3
≠
Q 6 . Misalkan
α =
2 +
3 , maka α
2
= 5
+ 2 6
⇔ α
2
− 5
= 2 6
⇔ α
2
− 5
2
= 24
⇔ α
4
− 10
α
2
+ 1
= 0. Ini berarti polinomial monik
taktereduksi dalam Q[x] untuk 2
+ 3 adalah x
4
− 10x
2
+ 1. Dengan Proposisi 3.1.5,
maka Q
α =
{e +
f α
+ g
α
2
+ h
α
3
: e, f, g, h ∈
Q}. Perhatikan bahwa
α
3
= 2
+ 3
3
= 5
+ 2 6 2
+ 3
= 11 2
+
9 3 . Maka Q 2
+ 3
= {a
+ b 2
+ c 3
+ d
6 : a, b, c, d ∈
Q} memuat 2 dan 3 . Dengan demikian haruslah Q 2 , 3
= Q 2
+
3 . Di sini Q 2 , 3 adalah medan pembelah dari x
4
− 5x
2
+ 6
∈
Q[x]
juga medan pembelah dari x
4
− 10x
2
+ 1
∈
Q[x]. Perhatikan juga bahwa Q 2 , 3 adalah Q 2 3 atau Q 3 2 , yaitu medan terkecil yang memuat medan
Q 2 dan 3 , atau medan terkecil yang memuat medan Q 3 dan 2 .
3.2. Ruang Vektor
Ruang vektor dapat digunakan untuk mempelajari perluasan medan. Diasumsikan topik ruang vektor sudah dikenal dengan baik, di sini hanya diingatkan kembali dan
teorema-teorema yang berkaitan dengan perluasan medan saja yang dibuktikan.
Definisi 3.2.1. Ruang vektor V atas medan F adalah grup komutatif V,
+ bersama dengan operasi
perkalian skalar dan dipenuhi i
ru
∈ V,
ii rsu
=
rsu,
iii r +
su
=
ru
+
su, iv ru
+
v
=
ru
+
rv,
v 1
F
u
=
u untuk setiap skalar r, s
∈
F dan setiap vektor u, v
∈ V.
Contoh 3.2.1.
Jika F medan, maka F
n
= F
× F
× …
× F
= {a
1
, a
2
, …, a
n
: a
i
∈ F} merupakan grup
komutatif terhadap operasi penjumlahan. Didefinisikan operasi perkalian skalar dengan
ru
= ra
1
, ra
2
, …, ra
n
di mana u
∈ F
n
dan r ∈
F. Jelas F
n
adalah ruang vektor atas F sebab memenuhi sifat-sifat ruang vektor. Sudah dibuktikan bahwa jika p prima, maka
Z
p
medan, sehingga
n p
Z adalah ruang vektor atas Z
p
dengan banyaknya elemen dalam
n p
Z adalah p
n
.
Contoh 3.2.2.
Misalkan F medan dan F[x] gelanggang semua polinomial atas F. Didefinisikan operasi
perkalian skalar dengan rv
= r ax
= r a
+ a
1
x +
… +
a
n
x
n
= ra
+ ra
1
x +
… +
ra
n
x
n
di mana ax ∈
F[x] adalah vektor dan r ∈
F adalah skalar. Maka F[x] adalah ruang vektor atas F. Sifat-sifat ruang vektor dipenuhi sebab F[x] daerah integral.
Contoh 3.2.3.
Misalkan medan E perluasan dari medan F. Didefinisikan operasi perkalian skalar
dengan rw
= ra di mana a
∈ E sebagai vektor dan r
∈ F sebagai skalar. Maka E ruang
vektor atas F.
Definisi 3.2.2.
Subhimpunan W ≠
∅
dari ruang vektor V disebut subruang dari ruang vektor V jika dan
hanya jika W adalah ruang vektor terhadap operasi yang didefinisikan dalam V.
Contoh 3.2.4.
Himpunan 〈
v
1
, v
2
, …, v
n
〉 =
{a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ …
+ a
n
v
n
: a
i
∈
F, v
i
∈ V} adalah subruang
dari ruang vektor V atas medan F.
Definisi 3.2.3.
Subruang W =
〈
v
1
, v
2
, …, v
n
〉 dari ruang vektor V atas medan F disebut subruang yang
direntang atau dibangun oleh subhimpunan {v
1
, v
2
, …, v
n
} dari V. Dan vektor-vektor
v
= a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ …
+ a
n
v
n
∈
W disebut kombinasi linear dari v
1
, v
2
, …, v
n
.
Definisi 3.2.4. Misalkan V ruang vektor atas medan F. Vektor-vektor v
1
, v
2
, …, v
n
∈ V dikatakan
bebas linear atas F jika dan hanya jika persamaan a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ …
+ a
n
v
n
=
0 untuk
∀ a
i
∈ F, dipenuhi hanya jika a
1
= a
2
= …
= a
n
=
0. Selainnya disebut takbebas linear atas
F , yaitu terdapat sekurang-kurangnya satu a
i
≠ ∈
F dan a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ …
+ a
n
v
n
=
0.
