BUKTI. Didefinisikan
µ : H
→ Ha dengan aturan
µ h
= h
∗ a,
∀ h
∈ H. Pemetaan
µ terdefinisi
dengan baik sebab untuk sembarang h
1
, h
2
∈ H dengan h
1
= h
2
, maka h
1
∗ a
= h
2
∗ a,
yaitu µ
h
1
= µ
h
2
. Kemudian jika µ
h
1
= µ
h
2
, maka h
1
∗ a
= h
2
∗ a, sehingga h
1
= h
2
. Jadi pemetaan
µ injektif. Jelas pemetaan
µ surjektif sebab jika x
∈ Ha, maka x
= h
∗ a
untuk suatu h ∈
H. Jadi pemetaan µ
bijektif, sehingga H =
Ha . Dengan cara yang sama, maka H
= aH .
Terbukti Ha =
H =
aH . ■
Teorema 2.2.11 Teorema Lagrange.
Jika G grup berhingga dan H ≤
G, maka order H membagi order G.
BUKTI. Grup G adalah gabungan koset-koset kanan dari H yang saling asing, yaitu
U
k i
i
Ha G
1 =
=
di mana Ha
i
∩ Ha
j
= ∅
, i ≠
j. Menurut Lema 2.2.10,
i
Ha =
H untuk setiap i. Maka G
=
1
Ha +
2
Ha +
… +
k
Ha =
H +
H +
… +
H =
k H . Jadi H
G =
k. ■
Akibat 2.2.12.
i Jika G grup berhingga, maka order a membagi order G dan
G
a =
e
G
, ∀
a ∈
G. ii Grup G berorder prima adalah grup siklik yang dihasilkan oleh setiap a
≠ e
G
∈ G
dan hanya mempunyai subgrup trivial {e
G
} dan dirinya sendiri.
BUKTI. i
Dari Akibat 2.2.5, ο
a =
〉 〈
a . Karena 〈
a 〉
subgrup, maka 〉
〈 a membagi G . Jadi
ο a membagi G . Kemudian dari Teorema 2.2.4ii,
G
a =
e
G
untuk ∀
a ∈
G. ii Diasumsikan G berorder prima p. Pilih a
≠ e
G
∈ G. Menurut i,
ο a
= 〉
〈 a
= p,
sehingga G =
〈 a
〉 . Berarti G grup siklik yang dihasilkan oleh setiap a
≠ e
G
∈ G.
Kemudian jika H ≤
G, maka haruslah H =
1 atau H =
p Teorema Lagrange. Jadi subgrup-subgrup yang memenuhi hanyalah {e
G
} dan G. ■
Sudah terbukti jika H ≤
G, maka G =
k H . Jadi bilangan k ini adalah banyaknya koset kanan dari H sebab setiap koset kanan dari H mempunyai H elemen.
Definisi 2.2.7.
Jika G grup dan H ≤
G, maka banyaknya koset kanan dari H dalam G disebut indeks
dari H dalam G, dinotasikan G :
H.
Definisi 2.2.8. Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal dinotasikan N
G jika dan hanya jika
∀ g
∈ G
∀ n
∈ N g
∗ n
∗ g
− 1
∈ N.
Teorema 2.2.13.
Misalkan G grup dan N G
. Maka N
G =
{Na : a ∈
G} adalah grup terhadap operasi •
yang didefinisikan dengan Na •
Nb =
Na ∗
b untuk setiap Na, Nb ∈
N G
.
BUKTI. Terlebih dahulu dibuktikan bahwa operasi
• dalam
N G
terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang Na
1
, Na
2
, Nb
1
, Nb
2
∈ N
G sedemikian sehingga Na
1
= Na
2
dan Nb
1
= Nb
2
. Akan ditunjukkan Na
1
∗ b
1
= Na
2
∗ b
2
. Jika Na
1
= Na
2
dan Nb
1
= Nb
2
, maka menurut Lema 2.2.9, a
2
∗ a
1 −
1
= n
1
∈ N dan b
2
∗ b
1 −
1
= n
2
∈ N untuk suatu n
1
, n
2
∈ N. Sehingga
a
2
= n
1
∗ a
1
dan b
2
= n
2
∗ b
1
. Perhatikan bahwa a
2
∗ b
2
= n
1
∗ a
1
∗ n
2
∗ b
1
= n
1
∗ a
1
∗ n
2
∗ a
1 −
1
∗ a
1
∗ b
1
= n
1
∗ n
3
∗ a
1
∗ b
1
N G
= n
4
∗ a
1
∗ b
1
. Sehingga a
2
∗ b
2
∗ a
1
∗ b
1 −
1
= n
4
∈ N. Menurut Lema 2.2.9, Na
1
∗ b
1
= Na
2
∗ b
2
. Selanjutnya ambil sembarang Na, Nb, Nc
∈ N
G . Maka Na
• Nb
= Na
∗ b
∈ N
G sebab G grup. Berarti
• bersifat tertutup. Kemudian, Na
• Nb
• Nc
= Na
∗ b
• Nc
= N
a ∗
b ∗
c =
Na •
Nb ∗
c =
Na •
Nb •
Nc. Sehingga •
bersifat asosiatif. Terdapat identitas Ne
G
∈ N
G sebab berlaku Na
• Ne
G
= Na
∗ e
G
= Na
= Ne
G
∗ a
= Ne
G
• Na.
Akhirnya, Na •
Na
− 1
= Na
∗ a
− 1
= Ne
G
= Na
− 1
∗ a
= Na
− 1
• Na. Dan ini berarti Na
− 1
invers dari Na. Terbukti
N G
grup. ■
Perhatikan bahwa operasi pada grup N
G tidak terdefinisi jika N bukan subgrup
normal dalam G. Jadi N
G adalah grup jika N normal dalam G. Dengan perkataan lain,
jika N G
maka terdapat grup N
G atau selalu dapat dibentuk grup
N G
.
Definisi 2.2.9.
Grup koset-koset kanan dari subgrup normal N dalam grup G ditulis N
G disebut
grup faktor.
Lema 2.2.14.
Jika G grup komutatif dan N ≤
G, maka N G
dan N
G grup komutatif.
BUKTI. Ambil sembarang a
∈ G dan n
∈ N. Maka a
∗ n
∗ a
− 1
= n
∗ a
∗ a
− 1
= n
∈ N sebab G
grup komutatif. Menurut Definisi 2.2.8, N G
. Dan karena N normal dalam G, maka terdapat grup faktor
N G
. Selanjutnya ditunjukkan N
G komutatif. Ambil sembarang
Na , Nb
∈ N
G . Maka Na
• Nb
= Na
∗ b
= Nb
∗ a
= Nb
• Na. Dengan demikian
N G
grup komutatif. ■
Teorema 2.2.15.
Jika G grup berhingga dan N G
, maka N
G =
N G
.
BUKTI. Teorema Lagrange telah membuktikan bahwa G
= G
: N N di mana G
: N adalah
indeks dari N dalam G. Maka N
G =
G :
N =
N G
. ■
