⇐ Akan ditunjukkan bahwa jika a
⋅ b
= 0, maka a
= 0 atau b
= 0. Jika a
≠ 0, maka
persamaan a ⋅
b =
= a
⋅ 0 mengakibatkan b
= 0, karena diasumsikan dalam R
berlaku kanselasi. Jadi R adalah daerah integral. ■
Sudah dibuktikan bahwa dalam daerah integral berlaku kanselasi. Berikutnya akan dibuktikan bahwa dalam medan juga berlaku kanselasi sehingga setiap medan adalah
daerah integral.
Teorema 2.3.6.
Setiap medan F adalah daerah integral.
BUKTI. Ambil sembarang a, b, c
∈ F. Dari Definisi 2.3.7, a
≠ 0 mempunyai invers multiplikatif
a
− 1
. Berarti jika a ⋅
b =
a ⋅
c, maka b =
c. Maka dari Definisi 2.3.10 dan Teorema 2.3.5, F
adalah daerah integral. ■
Teorema 2.3.7.
Jika D daerah integral, maka D berkarakteristik prima atau 0.
BUKTI. Misalkan D berkarakteristik n
≠ 0. Jika n
= 1, maka 11
D
= 1
D
≠ 0. Ini berarti 1 bukan
karakteristik dari D Lema 2.3.4. Akan ditunjukkan bahwa jika n1
D
= 0, maka n harus
prima. Perhatikan bahwa n1
D
= 1
D
+ 1
D
+ …
+ 1
D
. Andaikan n bukan prima. Maka
4 4
3 4
4 2
1
n D
D D
1 ...
1 1
+ +
+ =
4 4
4 3
4 4
4 2
1 4
4 4
3 4
4 4
2 1
t D
D D
s D
D D
1 ...
1 1
. 1
... 1
1 +
+ +
+ +
+ , 1
s n dan 1
t n.
Sehingga jika n1
D
= s1
D
⋅ t1
D
= 0, maka s1
D
= 0 atau t1
D
= 0 sebab D daerah integral.
Ini menunjukkan bahwa D berkarakteristik s atau t. Terdapat suatu kontradiksi dengan D
berkarakteristik n. Jadi haruslah n prima. ■
2.4. Bilangan Bulat Modulo n
Hanya ada dua metode standar untuk mengonstruksikan medan, yaitu medan hasil bagi daerah integral
misalnya, medan semua bilangan rasional adalah medan yang dikonstruksi dari daerah integral semua bilangan bulat dan bilangan bulat modulo
prima p nanti akan ditunjukkan bahwa terdapat medan berhingga berorder p. Medan hasil bagi daerah integral, yaitu medan semua anggotanya direpresentasikan sebagai
hasil bagi anggota-anggota dari daerah integral, khusus untuk mengkonstruksi medan takhingga. Karena tulisan ini akan membahas medan Galois medan berhingga, maka
kita akan akrab dengan bilangan bulat modulo p dalam mengoperasikan elemen-elemen dari medan Galois.
Definisi 2.4.1.
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Bilangan-bilangan bulat a dan b dikatakan
kongruen modulo n ditulis a
≡ b mod n jika dan hanya jika a
− b
= kn, k
∈ Z.
Teorema 2.4.1. Relasi kongruensi modulo n adalah relasi ekivalensi pada Z, untuk setiap bilangan bulat
positif n.
BUKTI. Akan dibuktikan relasi kongruensi modulo n bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
Ambil sembarang bilangan-bilangan bulat u, v, w. Karena u
− u
= =
0n, maka u ≡
u mod n. Jadi relasi bersifat refleksif. Jika u ≡
v mod n, maka u
− v
= kn, k
∈
Z, sehingga v
− u
= −
kn ,
− k
∈
Z. Maka v
≡ u mod n. Jadi relasi
bersifat simetris. Jika u ≡
v mod n dan v ≡
w mod n, maka u −
v =
rn dan v −
w =
sn untuk r, s
∈
Z. Ini berarti u
− v
+ v
− w
= rn
+ sn
⇔ u
− w
= r
+ sn, r
+ s
∈ Z,
sehingga u ≡
w mod n. Jadi relasi bersifat transitif. ■
Kelas-kelas ekivalensi dari relasi kongruensi modulo n disebut kelas kongruensi mod n. Kelas kongruensi mod n yang memuat suatu a
∈
Z adalah
[a] =
{b ∈
Z : b
≡ a mod n}
= {b
∈
Z : b
− a
= kn untuk suatu k
∈ Z}.
Menurut algoritma pembagian pada bilangan bulat, terdapat dengan tunggal bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga a
= qn
+ r dengan 0
≤ r
n. Ini menunjukkan bahwa a
≡ r mod n dan [a]
= [r]. Maka bilangan bulat a kongruen modulo n dengan tepat salah
satu bilangan bulat 0, 1, 2, …, n −
1. Misalkan juga [a] =
[s] dengan 0 ≤
s n, maka [r]
= [s], sehingga r
− s
= kn. Karena 0
≤ r
− s
n, maka haruslah r −
s =
0, yaitu r =
s. Jadi jika r
≠ s, maka [r]
≠ [s], artinya kelas-kelas kongruensi [0], [1], [2], …, [n
− 1] saling
berbeda. Misalkan Z
n
menyatakan himpunan kelas-kelas kongruensi mod n, maka
Z
n
= {[0], [1], [2], …, [n
− 1]}
di mana setiap bilangan bulat terdapat dalam tepat satu kelas kongruensi di atas. Dengan demikian untuk bilangan bulat positif n yang tetap, maka terdapat n kelas kongruensi
mod n. Selanjutnya Z
n
disebut himpunan semua bilangan bulat modulo n.
Contoh 2.4.1.
Untuk n =
3, maka terdapat 3 kelas kongruensi mod 3, yaitu [0]
= [
− 9]
= [30]
= [18]
= {…,
− 9,
− 6,
− 3, 0, 3, 6, 9, …}
⊆ Z
[1] =
[ −
2] =
[ −
8] =
[28] =
{…, −
8, −
5, −
2, 1, 4, 7, 10, …} ⊆
Z [2]
= [11]
= [47]
= [
− 1]
= {…,
− 7,
− 4,
− 1, 2, 5, 8, 11, …}
⊆ Z
sehingga Z
3
= {[0], [1], [2]}.
Teorema 2.4.2. Untuk setiap bilangan bulat positif n, maka Z
n
adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan dengan
[a] +
[b] =
[a +
b] dan [a] ⋅
[b] =
[ab] untuk setiap [a], [b]
∈ Z
n
.
BUKTI. Ditunjukkan dahulu kedua operasi terdefinisi dengan baik. Ambil sembarang [a
1
], [a
2
], [b
1
], [b
2
] ∈
Z
n
dengan [a
1
] =
[a
2
] dan [b
1
] =
[b
2
]. Akan ditunjukkan [a
1
+ b
1
] =
[a
2
+ b
2
] dan [a
1
b
1
] =
[a
2
b
2
]. Karena [a
1
] =
[a
2
] dan [b
1
] =
[b
2
], maka a
1
= a
2
+ sn dan b
1
= b
2
+ tn untuk suatu s, t
∈ Z.
Sekarang, a
1
+ b
1
= a
2
+ s n
+ b
2
+ tn
= a
2
+ b
2
+ s
+ tn
= a
2
+ b
2
+ un, u
∈
Z, sehingga
a
1
+ b
1
≡ a
2
+ b
2
mod n, yaitu [a
1
+ b
1
] =
[a
2
+ b
2
]. Kemudian, a
1
b
1
= a
2
+ sn b
2
+ tn
= a
2
b
2
+ a
2
tn +
b
2
sn +
tnsn =
a
2
b
2
+ a
2
t +
b
2
s +
tsnn =
a
2
b
2
+ vn untuk suatu v
∈
Z. Maka a
1
b
1
≡ a
2
b
2
mod n, yaitu [a
1
b
1
] =
[a
2
b
2
]. Selanjutnya dibuktikan Z
n
adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan.
